نسخة الفيديو النصية
إذا كان ﺱ يساوي ﻫ أس سالب ﻥ، وﺹ يساوي جا ﻥ، فأوجد المشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ.
في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد المشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. لكن ﺹ غير معطى باعتباره دالة في ﺱ. بدلًا من ذلك، لدينا زوج من المعادلات البارامترية بدلالة المتغير ﻥ. وهذا يعني أنه لا يمكننا اشتقاق ﺹ بالنسبة إلى ﺱ مرتين لإيجاد ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع. بل، علينا استخدام الاشتقاق البارامتري.
دعونا نبدأ إذن بتذكر كيفية إيجاد المشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ، حيث ﺹ معطى باعتباره دالة في ﻥ، وكذلك ﺱ معطى باعتباره دالة في ﻥ. يمكننا فعل ذلك باستخدام هذه الصيغة. هذه المشتقة تساوي مشتقة ﺩﺹ على ﺩﺱ بالنسبة إلى ﻥ مقسومة على مشتقة ﺱ بالنسبة إلى ﻥ. ثمة أمر جدير بالملاحظة هنا. وهو أن هذه الصيغة تستخدم ﺩﺹ على ﺩﺱ. ولا يمكننا إيجاد ﺩﺹ على ﺩﺱ مباشرة لأن ﺹ دالة في ﻥ، وكذلك ﺱ دالة في ﻥ.
لذا، علينا أيضًا تذكر صيغة أخرى لإيجاد ﺩﺹ على ﺩﺱ. أو يمكننا اشتقاق ذلك بتطبيق قاعدة السلسلة. نتذكر أيضًا أنه يمكن إيجاد ﺩﺹ على ﺩﺱ بإيجاد ﺩﺹ على ﺩﻥ، ثم القسمة على ﺩﺱ على ﺩﻥ. ومع أن المقادير مثل ﺩﺹ على ﺩﺱ، وﺩﺹ على ﺩﻥ، وﺩﺱ على ﺩﻥ ليست كسورًا، يمكننا التعامل معها على أنها كسور لمساعدتنا في تذكر نتائج معينة. على سبيل المثال، إذا تعاملنا معها على أنها كسور، يمكننا التفكير في الضرب في مقلوب الكسر. ومن ثم، سنتمكن من حذف العامل المشترك ﺩﻥ من البسط والمقام. وحينئذ، سيعطينا هذا ﺩﺹ على ﺩﺱ. وبالطبع، ليس هذا ما يحدث بالضبط. ومع ذلك، فهذه طريقة مفيدة تساعدنا لتذكر هذه النتيجة.
إذن، لإيجاد المشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ، علينا البدء بإيجاد ﺩﺹ على ﺩﺱ. ولنفعل ذلك، علينا اشتقاق ﺹ بالنسبة إلى ﻥ واشتقاق ﺱ بالنسبة إلى ﻥ. دعونا نبدأ بإيجاد مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﻥ. وهي تساوي مشتقة جا ﻥ بالنسبة إلى ﻥ. ويمكننا إيجادها بتذكر أن مشتقة دالة الجيب هي دالة جيب التمام. وعليه، فهذا يساوي جتا ﻥ فقط.
هيا نوجد الآن مشتقة ﺱ بالنسبة إلى ﻥ. وهي تساوي مشتقة ﻫ أس سالب ﻥ بالنسبة إلى ﻥ. ويمكننا فعل ذلك بتذكر أنه لأي ثابت حقيقي 𝑎، فإن مشتقة ﻫ أس 𝑎 في 𝜃 بالنسبة إلى 𝜃 تساوي 𝑎 في ﻫ أس 𝑎𝜃. علينا فقط الضرب في معامل المتغير الموجود في الأس. وفي هذه الحالة، هذا المعامل يساوي سالب واحد. لذلك، نحصل على سالب ﻫ أس سالب ﻥ.
والآن، بعد أن أوجدنا ﺩﺹ على ﺩﻥ وﺩﺱ على ﺩﻥ، يمكننا حساب خارج القسمة هذا لإيجاد ﺩﺹ على ﺩﺱ. يصبح لدينا إذن مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ تساوي جتا ﻥ مقسومًا على سالب ﻫ أس سالب ﻥ. ويمكننا تبسيط ذلك باستخدام قوانين الأسس لكي ننقل ﻫ أس سالب ﻥ ونكتبه في البسط. نحصل إذن على سالب ﻫ أس ﻥ في جتا ﻥ. والآن، يمكننا التعويض بالمقدارين اللذين يعبران عن ﺩﺹ على ﺩﺱ وﺩﺱ على ﺩﻥ في الصيغة التي لدينا لـ ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع. لكن هذا سيجعلنا نحصل على مقدار معقد للغاية. إذن، بدلًا من ذلك دعونا نحسب قيمة البسط أولًا.
علينا اشتقاق المقدار الذي يعبر عن ﺩﺹ على ﺩﺱ بالنسبة إلى ﻥ. أي إنه علينا إيجاد مشتقة سالب ﻫ أس ﻥ في جتا ﻥ بالنسبة إلى ﻥ. إن هذه هي مشتقة حاصل ضرب دالتين قابلتين للاشتقاق. لذا، علينا استخدام قاعدة الضرب. وهي تنص على أنه إذا كانت ﺩﻥ وﺭﻥ دالتين قابلتين للاشتقاق، فإن مشتقة ﺩﻥ مضروبة في ﺭﻥ بالنسبة إلى ﻥ تساوي ﺩ شرطة ﻥ في ﺭﻥ زائد ﺩﻥ مضروبًا في ﺭ شرطة ﻥ. إذن لتطبيق قاعدة الضرب، علينا إيجاد مقدارين يعبران عن مشتقتي هذين العاملين.
لنبدأ بمشتقة سالب ﻫ أس ﻥ. ﺩ شرطة ﻥ ستساوي سالب ﻫ أس ﻥ. وبالمثل، سنجعل ﺭﻥ تساوي جتا ﻥ، ونحن نعرف أن مشتقة دالة جيب التمام تساوي سالب دالة الجيب. إذن، يصبح لدينا ﺭ شرطة ﻥ تساوي سالب جا ﻥ. بالتعويض بهذين المقدارين في قاعدة الضرب، نحصل على سالب ﻫ أس ﻥ في جتا ﻥ زائد سالب ﻫ أس ﻥ مضروبًا في سالب جا ﻥ. ويمكننا تبسيط هذا المقدار. ففي الحد الثاني، سالب واحد في سالب واحد يساوي واحدًا. وبذلك نحصل على سالب ﻫ أس ﻥ في جتا ﻥ زائد ﻫ أس ﻥ في جا ﻥ. يمكننا أيضًا إخراج العامل المشترك ﻫ أس ﻥ. وبذلك، يتبقى لدينا ﻫ أس ﻥ مضروبًا في جا ﻥ ناقص جتا ﻥ.
ولكننا لم ننته بعد. نتذكر أنه لا يزال علينا قسمة ذلك على ﺩﺱ على ﺩﻥ لإيجاد المشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. لذا لنفرغ بعض المساحة ونعوض بهذين المقدارين في الصيغة الموجودة لدينا. ومن ثم، نجد أن المشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ﻫ أس ﻥ مضروبًا في جا ﻥ ناقص جتا ﻥ الكل مقسوم على سالب ﻫ أس سالب ﻥ. ويمكننا تبسيط هذا المقدار. في البداية، القسمة على ﻫ أس سالب ﻥ تكافئ الضرب في ﻫ أس ﻥ. ومن ثم، يصبح لدينا عاملان من ﻫ أس ﻥ في البسط. ويمكننا تبسيطهما لنحصل على ﻫ أس اثنين ﻥ. وعند نقل العامل سالب واحد إلى البسط، نحصل على سالب ﻫ أس اثنين ﻥ مضروبًا في جا ﻥ ناقص جتا ﻥ.
والآن، كل ما علينا فعله هو توزيع السالب على القوسين ثم إعادة ترتيب الحدين داخل القوسين. ومن ثم نحصل على الإجابة النهائية. وبهذا نكون قد أوضحنا أنه إذا كان ﺱ يساوي ﻫ أس سالب ﻥ وﺹ يساوي جا ﻥ، فإن المشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ﻫ أس اثنين ﻥ مضروبًا في جتا ﻥ ناقص جا ﻥ.
