فيديو السؤال: إيجاد فترات تزايد وتناقص دالة تتضمن دالة مثلثية الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

أوجد الفترات التي تكون فيها الدالة دﺱ تساوي اثنين ﺱ ناقص جا ﺱ تزايدية أو تناقصية؛ حيث ﺱ أكبر من أو يساوي صفرًا وأقل من أو يساوي أربعة ‏𝜋‏‎.

لدينا هنا الدالة دﺱ تساوي اثنين ﺱ ناقص جا ﺱ، وأخبرنا السؤال اعتبار أن مجموعة قيم ﺱ تقع بين صفر وأربعة ‏𝜋‏‎، مع تضمين صفر وأربعة ‏𝜋‏‎. ضمن مجموعة قيم ﺱ من صفر إلى أربعة ‏𝜋‏‎، مطلوب منا إيجاد فترات تزايد أو تناقص الدالة د.

تذكر أن الدالة د تزايدية على الفترة ﻑ، إذا كانت قيم مشتقتها الأولى د شرطة ﺱ موجبة لجميع قيم ﺱ في ﻑ. وتكون الدالة د تناقصية على الفترة ﻑ، إذا كانت قيم مشتقتها الأولى سالبة لجميع قيم ﺱ في ﻑ. بعبارة أخرى، تكون الدالة تزايدية على الفترة ﻑ، إذا كانت دالة ميلها، أو الميل موجبًا على ﻑ؛ وتكون تناقصية على الفترة ﻑ إذا كان ميلها سالبًا على ﻑ.

دعونا نحدد دالة الميل، أو المشتقة الأولى للدالة المعطاة في السؤال. ولفعل ذلك، سنشتق الدالتين اثنين ﺱ وجا ﺱ ونطرح مشتقتيهما، بهذا الترتيب. نجد أن مشتقة اثنين ﺱ تساوي اثنين. استخدمنا للتو الصيغة القياسية لاشتقاق الحدود التي تكون على الصورة ﺃﺱ أس ﻥ، حيث نضرب المعامل ﺃ في الأس ﻥ ونقلل الأس بمقدار واحد.

في هذه الحالة، المعامل هو اثنان. والأس هو واحد. ومشتقة جا ﺱ هي جتا ﺱ. هذه مجرد مشتقة قياسية علينا أن نحفظها. بعد أن أوجدنا المشتقة الأولى لـ د، علينا إيجاد فترات قيم ﺱ ضمن صفر وأربعة ‏𝜋‏‎ التي تكون قيم المشتقة عندها موجبة؛ أي تكون د تزايدية، والتي تكون قيم المشتقة عندها سالبة، أي تكون د تناقصية.

لاحظ أن مشتقة دالة ما تكون غير معرفة عند طرفي مجالها، حيث لا يمكننا رسم مماس وحيد عند هاتين النقطتين. إذن، مشتقة الدالة د في السؤال غير معرفة عند صفر وأربعة ‏𝜋‏‎، بافتراض أن مجال ﺱ يبدأ عند صفر وينتهي عند أربعة ‏𝜋‏‎. ومن ثم، لا يمكننا المقارنة بين مشتقة د والقيمة صفر عند قيمتي ﺱ، صفر وأربعة ‏𝜋‏‎. ومن ثم، لا يمكننا تضمين صفر وأربعة ‏𝜋‏‎ في فترات قيم ﺱ التي تكون عندها د تزايدية أو تناقصية. ونجد أن مشتقة د تكون موجبة لقيم ﺱ التي تقع بين صفر وأربعة ‏𝜋‏‎، حيث يكون اثنان أكبر من جتا ﺱ، وتكون المشتقة سالبة لقيم ﺱ التي تقع بين صفر وأربعة ‏𝜋‏‎ حيث يكون اثنان أصغر من جتا ﺱ.

والآن، تذكر أن الدالة ﺹ تساوي جتا ﺱ لها قيمة صغرى لـ ﺹ تساوي سالب واحد وقيمة عظمى لـ ﺹ تساوي واحدًا لأي قيمة من قيم ﺱ، وبالتحديد لقيم ﺱ التي تقع بين صفر وأربعة ‏𝜋‏‎. وبما أن اثنين أكبر من واحد دائمًا، فإن اثنين دائمًا أكبر من جتا ﺱ لأي قيمة لـ ﺱ، وبالتحديد لجميع قيم ﺱ التي تقع بين صفر وأربعة ‏𝜋‏‎. وعليه، فإن الدالة د تزايدية على الفترة المفتوحة لقيم ﺱ من صفر إلى أربعة ‏𝜋‏‎.

وعليه، نستنتج أن د تزايدية لجميع قيم ﺱ التي تكون مشتقتها معرفة عندها. وعليه، فهي لا بد أن تكون تناقصية لقيم ﺱ التي تكون مشتقة الدالة غير معرفة عندها. بعبارة أخرى، لا تكون الدالة تناقصية عند أي قيم من قيم ﺱ من صفر إلى أربعة ‏𝜋‏‎. وهذا الأمر صحيح بالفعل؛ لأن حقيقة أن جتا ﺱ يكون أصغر من أو يساوي واحدًا دائمًا ينطوي على أن جتا ﺱ لا يكون إطلاقًا أكبر من اثنين. إذن، إجابة السؤال هي أن د تزايدية على الفترة المفتوحة لقيم ﺱ من صفر إلى أربعة ‏𝜋‏‎.