فيديو الدرس: صيغة هيرون الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

نسخة الفيديو النصية

سوف نتناول في هذا الدرس صيغة هيرون. وسوف نتعلم استخدام صيغة هيرون لإيجاد مساحة مثلث.

صيغة هيرون هي طريقة لإيجاد مساحة مثلث ما عندما تكون أطوال جميع أضلاعه الثلاثة معلومة. وبالإضافة إلى إيجاد مساحة المثلث باستخدام صيغة هيرون، سنوجد أيضًا مساحة الأشكال المركبة باستخدام الصيغة نفسها. قد يبدو لك اسم الصيغة غريبًا بعض الشيء. في الواقع، لم تسم صيغة هيرون تيمنًا بطائر الهيرون. فقد سميت صيغة هيرون، التي تعرف أحيانًا باسم صيغة هيرو، هكذا على اسم العالم هيرو السكندري الذي ابتكر هذه الصيغة بالفعل. حسنًا، قبل أن نبدأ في الدرس ونطرح الأسئلة التي ستوضح لنا طريقة استخدام الصيغة، علينا أولًا معرفة ما تعنيه.

ما تعنيه صيغة هيرون هو أن ﻡ، أي المساحة، تساوي الجذر التربيعي لـ ﺣ مضروبًا في ﺣ ناقص ﺃ شرطة مضروبًا في ﺣ ناقص ﺏ شرطة مضروبًا في ﺣ ناقص ﺟ شرطة، حيث ﺃ شرطة وﺏ شرطة وﺟ شرطة هي أضلاع المثلث. حسنًا، يبدو أن الأمور تسير بسلاسة على هذا النحو. لكن ما هو ﺣ؟ لم نر ذلك من قبل. حسنًا، ﺣ هو في الواقع نصف المحيط. أي نصف محيط المثلث، ولدينا صيغة له أيضًا. وتنص هذه الصيغة على أن ﺣ، أي نصف المحيط، يساوي ﺃ شرطة زائد ﺏ شرطة زائد ﺟ شرطة مقسومين على اثنين. وهذا منطقي؛ لأن مجموع ﺃ شرطة زائد ﺏ شرطة زائد ﺟ شرطة يعطينا محيط المثلث. وإذا قسمناه على اثنين، فسيكون لدينا نصف قيمة المحيط أو نصف المحيط.

لكن لماذا نستخدم صيغة هيرون؟ صيغة هيرون تساعدنا كثيرًا؛ لأنها تضمن لنا إيجاد مساحة أي مثلث عندما لا يكون معلومًا لدينا سوى أطوال أضلاعه الثلاثة. ومن ثم، لن يكون علينا حساب أطوال أي أضلاع أخرى أو إيجاد ارتفاع عمودي أو إيجاد طول ضلع آخر باستخدام نظرية فيثاغورس أو زاوية معينة أو أي شيء من هذا القبيل. بل يكفي أن يكون لدينا فقط أطوال الأضلاع الثلاثة وأن نستخدمها لإيجاد مساحة المثلث.

حسنًا، رائع. عرفنا الآن مضمون صيغة هيرون. وكيف نستخدمها. فلنتابع إذن ونستعرض بعض الأمثلة. في المثال الأول، سنلقي نظرة على مثال حيث سيكون علينا فقط التعويض بثلاث قيم في صيغة هيرون.

مساحة المثلث الذي أطوال أضلاعه ثلاثة سنتيمترات، وستة سنتيمترات، وسبعة سنتيمترات تساوي «فراغ» سنتيمتر مربع. المطلوب في هذا السؤال إذن هو إيجاد مساحة المثلث. ولدينا أطوال الأضلاع الثلاثة. ونعلم أنه إذا كان لدينا أطوال الأضلاع الثلاثة وأردنا إيجاد المساحة، فيمكننا استخدام صيغة هيرون. تنص صيغة هيرون على أنه إذا كان لدينا مثلث ﺃ شرطةﺏ شرطةﺟ شرطة، فإن المساحة تساوي الجذر التربيعي لـ ﺣ مضروبًا في ﺣ ناقص ﺃ شرطة مضروبًا في ﺣ ناقص ﺏ شرطة مضروبًا في ﺣ ناقص ﺟ شرطة، حيث ﺣ هو نصف محيط المثلث. ولدينا صيغة له؛ ﺣ يساوي ﺃ شرطة زائد ﺏ شرطة زائد ﺟ شرطة على اثنين.

رائع. بعد أن استرجعنا صيغة هيرون وصيغة نصف المحيط. يمكننا استخدام هذا لإيجاد مساحة المثلث. أولًا، يمكننا إيجاد قيمة ﺣ، أي نصف المحيط، لأنه يساوي ثلاثة زائد ستة زائد سبعة على اثنين، وهو ما يساوي ١٦ على اثنين، أي ثمانية. إذن، نعرف أن نصف المحيط يساوي ثمانية سنتيمترات. لدينا، إذن، قيمة نصف المحيط. وما يمكننا فعله هو التعويض بهذه القيمة في صيغة هيرون لحساب المساحة. ومن ثم، نجد أن المساحة تساوي الجذر التربيعي لثمانية مضروبًا في ثمانية ناقص ثلاثة مضروبًا في ثمانية ناقص ستة مضروبًا في ثمانية ناقص سبعة. ونظرًا لتكوين هذه الصيغة، لا يهم أي من الأضلاع يكون ﺃ شرطة أو ﺏ شرطة أو ﺟ شرطة، فهي تساوي الجذر التربيعي لثمانية مضروبًا في خمسة مضروبًا في اثنين مضروبًا في واحد، مما يعطينا جذر ٨٠.

ما سنفعله بعد ذلك هو تبسيط جذر ٨٠. وما سنحصل عليه هو جذر ١٦ مضروبًا في جذر خمسة. وذلك لأننا نطبق هنا أحد قوانين الجذور أو الجذور الصماء، وهو أن جذر ﺃ شرطة مضروبًا في جذر ﺏ شرطة يساوي جذر ﺃ شرطةﺏ شرطة. وعليه، يمكن القول إن مساحة المثلث الذي أطوال أضلاعه ثلاثة سنتيمترات، وستة سنتيمترات، وسبعة سنتيمترات، تساوي أربعة جذر خمسة سنتيمترات مربعة.

انتهينا إذن من مثالنا الأول. والآن سنلقي نظرة على مثال آخر مشابه، لكن سنستخدم فيه ترميزًا مختلفًا قليلًا.

‏‏ﺃﺏﺟ مثلث؛ حيث ﺏﺟ يساوي ٢٨ سنتيمترًا، وﺃﺟ يساوي ٢٠ سنتيمترًا، وﺃﺏ يساوي ٢٤ سنتيمترًا. أوجد مساحة ﺃﺏﺟ لأقرب سنتيمتر مربع.

أول ما فعلناه هو رسم شكل مبسط يساعدنا على تصور السؤال. لدينا إذن مثلث. وفي هذا المثلث، لدينا ثلاثة أضلاع، ونحن نعرف طول كل منها. وبما أننا نعلم أطوال أضلاع المثلث ونريد إيجاد المساحة، فما سنفعله هو استخدام صيغة هيرون. حسنًا، لنذكر أنفسنا سريعًا بصيغة هيرون، تنص على أنه إذا كان لدينا مثلث أطوال أضلاعه ﺃ شرطة وﺏ شرطة وﺟ شرطة، فإن مساحة هذا المثلث تساوي الجذر التربيعي لـ ﺣ مضروبًا في ﺣ ناقص ﺃ شرطة مضروبًا في ﺣ ناقص ﺏ شرطة مضروبًا في ﺣ ناقص ﺟ شرطة، حيث ﺣ هو نصف محيط المثلث. ويمكننا إيجاد ذلك بجمع جميع أطوال الأضلاع معًا، أي ﺃ شرطة زائد ﺏ شرطة زائد ﺟ شرطة، ثم قسمة الناتج على اثنين.

إذن، أول ما سنفعله هو إيجاد قيمة ﺣ. ولإيجاد ذلك، علينا جمع أطوال الأضلاع الثلاثة، ٢٨ زائد ٢٠ زائد ٢٤، ثم قسمة الناتج على اثنين. وسيعطينا هذا قيمة نصف محيط المثلث، وهي ٣٦ سنتيمترًا. وبذلك، فإن المساحة ستساوي الجذر التربيعي لـ ٣٦ مضروبًا في ٣٦ ناقص ٢٨ مضروبًا في ٣٦ ناقص ٢٠ مضروبًا في ٣٦ ناقص ٢٤، وهو ما يساوي الجذر التربيعي لـ ٥٥٢٩٦. وهذا يساوي ٢٣٥٫١٥١٠١٥٣. لكن، هل هذا هو الناتج النهائي؟ لا، لأنه إذا نظرنا مرة أخرى إلى السؤال، فسنجد أنه مطلوب منا تقريب الناتج لأقرب سنتيمتر مربع. وعليه، يمكننا القول إن مساحة المثلث لأقرب سنتيمتر مربع تساوي ٢٣٥ سنتيمترًا مربعًا.

ما استعرضناه حتى الآن هو مثالان حول كيفية استخدام صيغة هيرون لإيجاد مساحة مثلث. والآن سنلقي نظرة على مثال سنستخدم فيه صيغة هيرون لإيجاد مساحة معين.

محيط المعين الآتي ٢٩٢ سنتيمترًا، وطول ﺃﺟ يساوي ١١٦ سنتيمترًا. استخدم صيغة هيرون لحساب مساحته، لأقرب ثلاث منازل عشرية.

حسنًا، أول ما علينا فعله هو تذكر صيغة هيرون. تنص الصيغة أنه في أي مثلث ﺃﺏﺟ، المساحة تساوي الجذر التربيعي لـ ﺣ مضروبًا في ﺣ ناقص ﺃ شرطة مضروبًا في ﺣ ناقص ﺏ شرطة مضروبًا في ﺣ ناقص ﺟ شرطة، حيث ﺣ هو نصف المحيط، ويمكن إيجاد قيمته من خلال جمع جميع أطوال أضلاع المثلث الثلاثة، أي ﺃ شرطة زائد ﺏ شرطة زائد ﺟ شرطة، ثم قسمة الناتج على اثنين. إذن، سيفيدنا هذا. بالنظر إلى الشكل نجد أن لدينا معينًا. حسنًا، إذا نظرنا إلى القطر في المعين، فسنجد أن المعين يمكن تقسيمه إلى مثلثين متماثلين تمامًا. إلا أننا لا نعرف سوى طول ضلع واحد في المثلث. لكن ما يمكننا فعله هو استخدام محيط المعين ليساعدنا في معرفة أطوال الأضلاع الأخرى. وذلك لأن جميع أضلاع المعين متساوية في الطول.

وعليه، إذا أشرنا إلى طول كل ضلع من أضلاع المعين بالحرف ﺱ، فيمكننا القول إن ﺱ يساوي ٢٩٢ مقسومًا على أربعة. هذا يساوي ٧٣. يمكننا إذن القول إن طول كل ضلع في المعين يساوي ٧٣ سنتيمترًا. وأهم من ذلك، إذا نظرنا إلى المثلث البرتقالي، فسنجد أن لدينا مثلثًا جميع أطوال أضلاعه الثلاثة معلومة، وهي ١١٦ و٧٣ و٧٣. أول ما سنفعله إذن هو حساب قيمة نصف المحيط. وذلك بجمع أطوال الأضلاع معًا، أي ١١٦ زائد ٧٣ زائد ٧٣، ثم نقسم مجموعها على اثنين. ذلك يعطينا قيمة نصف المحيط وهي ١٣١ سنتيمترًا.

عظيم. ما سنفعله الآن هو التعويض بهذه القيمة وأطوال الأضلاع في الصيغة لدينا، أي صيغة هيرون. وبذلك نحصل على المساحة التي تساوي الجذر التربيعي لـ ١٣١ مضروبًا في ١٣١ ناقص ١١٦ مضروبًا في ١٣١ ناقص ٧٣ مضروبًا في ١٣١ ناقص ٧٣، وهو ما يساوي ٢٥٧١٫٠٤٢٥ وهكذا مع توالي الأرقام. ربما يدور في ذهنك الآن: «رائع! لقد أوجدنا المساحة. هل يمكننا الانتهاء عند هذه المرحلة؟» الإجابة لا. لماذا؟ حسنًا، إذا نظرنا مرة أخرى إلى المعين، فسنرى أنه في الحقيقة عبارة عن مثلثين متماثلين. لذا، علينا ضرب الناتج في اثنين. وبذلك، نحصل على ٥١٤٢٫٠٨٥١٨ وهكذا مع توالي الأرقام. ثم إذا نظرنا مرة أخرى إلى السؤال لمعرفة دقة الناتج المطلوبة، فسنرى أننا نريد تقريبه لأقرب ثلاث منازل عشرية. إذن، بعد التقريب، يمكننا القول إن مساحة المعين تساوي ٥١٤٢٫٠٨٥ سنتيمترًا مربعًا، وهكذا قربنا الناتج لأقرب ثلاث منازل عشرية.

استعرضنا حتى الآن مجموعة متنوعة من الأسئلة. وستناول مثالين آخرين. في المثال الأول، سنلقي نظرة على شكل مركب، وهو شكل مركب أكثر تعقيدًا. وسنستخدم صيغة هيرون لإيجاد مساحته، وبذلك نكون تعرضنا لأحد أهداف الدرس. أما المسألة الأخيرة، فإنها مسألة تتعلق بحل المسائل، حيث سنحاول إيجاد طول نصف القطر لدائرة.

أوجد مساحة الشكل التالي لأقرب ثلاث منازل عشرية باستخدام صيغة هيرون.

إذن، أول ما سنفعله هو تذكر صيغة هيرون. تخبرنا صيغة هيرون بكيفية إيجاد مساحة مثلث إذا كانت أطوال الأضلاع الثلاثة معلومة. إذن، على سبيل المثال، إذا كان لدينا المثلث ﺃ شرطة ﺏ شرطة ﺟ شرطة، فالمساحة تساوي الجذر التربيعي لـ ﺣ مضروبًا في ﺣ ناقص ﺃ شرطة مضروبًا في ﺣ ناقص ﺏ شرطة مضروبًا في ﺣ ناقص ﺟ شرطة، حيث ﺣ هو نصف المحيط الذي يمكننا إيجاده عن طريق جمع أطوال الأضلاع الثلاثة معًا، ﺃ شرطة زائد ﺏ شرطة زائد ﺟ شرطة، ثم قسمة مجموعها على اثنين.

حسنًا، إذا نظرنا إلى الشكل، فسنجد أنه شكل مركب يتكون من مثلثين، هما: المثلث ﺃ والمثلث ﺏ. في الواقع، ما سنفعله هو أننا سنبدأ بالمثلث ﺏ. وذلك لأن المثلث ﺏ أطوال أضلاعه الثلاثة معلومة. إذن، أول ما يمكننا فعله هو إيجاد نصف محيط المثلث ﺏ. وهذا يساوي مجموع أطوال الأضلاع الثلاثة مقسومًا على اثنين، أي ٢٠ زائد ٢٣ زائد ١٦ على اثنين، وهو ما يعطينا قيمة نصف المحيط وهي ٢٩٫٥ سنتيمترًا.

حسنًا، رائع. وهكذا، يمكننا الآن التعويض بهذه القيمة في صيغة هيرون لإيجاد مساحة المثلث ﺏ. إذن، مساحة المثلث تساوي الجذر التربيعي لـ ٢٩٫٥ مضروبًا في ٢٩٫٥ ناقص ٢٠ مضروبًا في ٢٩٫٥ ناقص ٢٣ مضروبًا في ٢٩٫٥ ناقص ١٦، وهو ما يساوي ١٥٦٫٨١٨١٦٦ سنتيمترًا مربعًا وهكذا مع توالي الأرقام. حسنًا، رائع. يجب ألا نقرب الناتج في هذه المرحلة؛ لأننا لا نريد أي أخطاء في التقريب قبل أن نصل إلى الناتج النهائي. توصلنا إذن إلى مساحة المثلث ﺏ.

هيا ننتقل إلى المثلث ﺃ. حسنًا، في المثلث ﺃ، نلاحظ أن لدينا طولي ضلعين فقط، وما علينا فعله هو إيجاد طول الضلع الآخر، كي يتسنى لنا إيجاد مساحة المثلث. سأسمي طول الضلع الآخر ﺱ. ولأن لدينا مثلثًا قائم الزاوية، فيمكننا استخدام نظرية فيثاغورس. وتنص نظرية فيثاغورس أنه إذا كان لدينا مثلث قائم الزاوية، فإن ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع يساوي ﺟ تربيع، حيث ﺟ هو طول الوتر أو الضلع الأطول. لكننا سنعيد ترتيب ذلك لأننا نحاول إيجاد طول الضلع الأقصر. إذن، سنحصل على ﺱ تربيع يساوي ٢٠ تربيع ناقص ١٦ تربيع. إذن، ﺱ سيساوي جذر ١٤٤. وعليه، فطول الضلع ﺱ يساوي ١٢ سنتيمترًا.

نعلم الآن أطوال أضلاع المثلث الثلاثة. إذن يمكننا استخدام صيغة هيرون. لكن وفقًا للمثلث لدينا، سنستخدم، بدلًا من ذلك، صيغة مساحة المثلث، وهي نصف طول القاعدة في الارتفاع؛ لأننا نعلم كلًا من طول القاعدة والارتفاع العمودي. إذن، مساحة المثلث ﺃ تساوي نصفًا مضروبًا في ١٢ في ١٦، وهو ما يساوي ٩٦ سنتيمترًا مربعًا. الخطوة الأخيرة، إذن، لإيجاد المساحة الكلية هي إضافة هذه القيمة إلى مساحة المثلث ﺏ. وبذلك، نحصل على ٢٥٢٫٨١٨١ وهكذا مع توالي الأرقام. لكن المطلوب في السؤال هو تقريب الناتج لأقرب ثلاث منازل عشرية، وهو ما يعطينا الناتج النهائي ٢٥٢٫٨١٨ سنتيمترًا مربعًا مقربًا لأقرب ثلاث منازل عشرية.

حسنًا، رائع. والآن، سننتقل إلى المثال الأخير.

أطوال أضلاع مثلث هي ١٢ سنتيمترًا، وخمسة سنتيمترات، و١١ سنتيمترًا. أوجد نصف قطر الدائرة الداخلية التي تلامس الأضلاع باستخدام الصيغة نق يساوي مساحة المثلث ﺃﺏﺟ على ﻝ، حيث ﻝ هو نصف محيط المثلث.

حسنًا، لكي نتمكن من استخدام صيغة نصف قطر الدائرة، علينا إيجاد مساحة المثلث. موضح في رأس المسألة أطوال الأضلاع الثلاثة في المثلث، وهي ١٢ وخمسة و١١. فإذا كان لدينا أطوال الأضلاع الثلاثة في مثلث، فيمكننا إذن استخدام صيغة هيرون لإيجاد المساحة. تنص صيغة هيرون على أن المساحة تساوي الجذر التربيعي لـ ﺣ مضروبًا في ﺣ ناقص ﺃ شرطة مضروبًا في ﺣ ناقص ﺏ شرطة مضروبًا في ﺣ ناقص ﺟ شرطة، حيث ﺃ شرطة وﺏ شرطة وﺟ شرطة هي أطوال أضلاع المثلث. وﺣ يساوي ﺃ شرطة زائد ﺏ شرطة زائد ﺟ شرطة على اثنين؛ لأنه نصف محيط المثلث. هذا يرتبط بصيغة نصف القطر لدينا، لأنه ورد في رأس المسألة أن نصف القطر يساوي مساحة المثلث مقسومة على ﻝ، حيث ﻝ هو نصف محيط المثلث. هذا في الواقع هو ﺣ نفسه؛ لأن كليهما يمثل نصف محيط المثلث.

ولذا، أول ما علينا فعله هو إيجاد مساحة المثلث. وللقيام بذلك، علينا أولًا إيجاد قيمة نصف المحيط أو ﻝ، أي نصف قيمة محيط المثلث. حسنًا، هذا يساوي ١٢ زائد خمسة زائد ١١ على اثنين. إذن، هذا يساوي ١٤ سنتيمترًا. رائع، الخطوة التالية الآن هي التعويض بهذه القيمة في صيغة هيرون. وبذلك، سنجد أن المساحة تساوي الجذر التربيعي لـ ١٤ مضروبًا في ١٤ ناقص ١٢ مضروبًا في ١٤ ناقص خمسة مضروبًا في ١٤ ناقص ١١، وهو ما يساوي جذر ٧٥٦. وإذا بسطنا ذلك، فإننا نحصل على ستة جذر ٢١. وسنحتفظ بالناتج في صورة الجذر الأصم مراعاة للدقة، ووحدة القياس هنا هي السنتيمتر المربع لأنها وحدة قياس المساحة.

ممتاز. إذن، لدينا الآن جميع القيم التي نحتاجها للتعويض في الصيغة لإيجاد نصف القطر. ما فعلناه هنا هو أننا رسمنا ما نحاول إيجاده؛ لأن ما نحاول إيجاده هو نصف قطر الدائرة الداخلية التي تلامس أضلاع المثلث. يمكننا القول إذن إن طول نصف القطر يساوي ستة جذر ٢١ على ١٤. ونعرف ذلك لأن ١٤ هي قيمة ﺣ، أي نصف المحيط. وقد سبق وذكرنا أن ذلك هو نفسه ﻝ. سيعطينا ذلك إذن الإجابة النهائية، وهي أن نصف قطر الدائرة الداخلية يساوي ثلاثة على سبعة مضروبًا في جذر ٢١ سنتيمتر.

حسنًا، رائع، تناولنا مجموعة متنوعة من الأمثلة التي تغطي جميع أهداف الدرس على اختلافها. وسنلقي الآن نظرة على النقاط الرئيسية مرة أخرى. النقطة الأولى والأساسية هي تعريف صيغة هيرون. إن صيغة هيرون تتيح لنا إيجاد مساحة المثلث عندما تكون أطوال أضلاعه الثلاثة معلومة. وتنص الصيغة أن ﻡ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺣ مضروبًا في ﺣ ناقص ﺃ شرطة مضروبًا في ﺣ ناقص ﺏ شرطة مضروبًا في ﺣ ناقص ﺟ شرطة، حيث ﺣ هو نصف المحيط. هذا هو نصف قيمة محيط المثلث. ونحصل عليه عن طريق جمع أطوال الأضلاع معًا، أي ﺃ شرطة زائد ﺏ شرطة زائد ﺟ شرطة، ثم قسمة المجموع على اثنين.

يتطرق الدرس أيضًا إلى صيغة معدلة مثيرة للاهتمام لصيغة هيرون تتيح لنا إيجاد نصف قطر دائرة داخلية تلامس أضلاع المثلث. وهذه الصيغة هي نق يساوي مساحة المثلث، والذي يمكننا إيجادها باستخدام صيغة هيرون، مقسومًا على ﻝ، أو بالأحرى ﺣ؛ لأنه يمثل نصف محيط المثلث.