فيديو الدرس: ضرب المصفوفات الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحدد شروط ضرب المصفوفات، ونوجد ناتج حاصل ضرب مصفوفتين، إن أمكن.

١٦:٠٠

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحدد شروط ضرب المصفوفات، ونوجد ناتج حاصل ضرب مصفوفتين، إن أمكن. تذكر أن المصفوفة عبارة عن شبكة من الصفوف والأعداد تتكون غالبًا من أعداد نسميها العناصر، ولكن يمكن أن تتكون المصفوفة أيضًا من رموز أو تعبيرات. عادة ما نستخدم الأحرف الكبيرة لتمثيل المصفوفات. يمكننا وصف المصفوفة بواسطة أبعادها. فإذا كانت مصفوفة ما تحتوي على ﻡ من الصفوف وﻥ من الأعمدة، فإننا نقول إنها مصفوفة ﻡ في ﻥ. على سبيل المثال، هذه مصفوفة رتبتها اثنان في اثنين، وهذه مصفوفة رتبتها ثلاثة في أربعة.

هناك نوعان من عمليات الضرب يمكننا إجراؤهما على المصفوفات؛ وهما: الضرب في عدد ثابت والضرب في مصفوفة. الضرب في عدد ثابت يعني ضرب المصفوفة في عدد ثابت. ويعني ذلك ضرب المصفوفة في عدد ما. على سبيل المثال، في حالة المصفوفة ﺏ، يمكننا إيجاد ثلاثة ﺏ بضرب كل عنصر من عناصر المصفوفة ﺏ في ثلاثة. فذلك هو الضرب في عدد ثابت. أما عملية الضرب في مصفوفة فهي أصعب قليلًا من ذلك؛ حيث إنها تتضمن ضرب مصفوفتين معًا. ولضرب مصفوفتين، علينا الانتباه إلى أبعاد المصفوفتين اللتين نريد ضربهما معًا. فلا يمكننا ببساطة ضرب أي مصفوفتين معًا.

فبالنسبة إلى المصفوفتين ﺃ وﺏ، لإيجاد حاصل ضربهما ﺃﺏ، إذا كانت أبعاد المصفوفة ﺃ هي ﻡ في ﻥ، فإن أبعاد المصفوفة ﺏ يجب أن تكون ﻥ في ﻝ لكي تنجح عملية الضرب. بعبارة أخرى، يجب أن يكون عدد الأعمدة في المصفوفة ﺃ هو نفس عدد الصفوف في المصفوفة ﺏ. يمكننا أيضًا تحديد أبعاد المصفوفة الناتجة ﺃﺏ. فالمصفوفة الناتجة ستكون أبعادها ﻡ في ﻝ. لنوضح ذلك بمثال.

لدينا المصفوفة ﺃ رتبتها واحد في اثنين، والمصفوفة ﺏ رتبتها اثنان في واحد. وحاصل ضربهما ﺃﺏ يجب أن يكون موجودًا؛ لأن عدد الأعمدة في المصفوفة ﺃ هو نفس عدد الصفوف في المصفوفة ﺏ. ويمكننا القول أيضًا إن أبعاد ﺃﺏ هي واحد في واحد. وعملية ضرب هاتين المصفوفتين مشابهة جدًا لطريقة الضرب القياسي. إذ نبدأ بضرب اثنين في سبعة ثم نجمع ثلاثة مضروبًا في واحد. وهذا يعطينا ١٤ زائد ثلاثة، وهو ما يساوي ١٧.

لنلق نظرة الآن على مثال أصعب.

انظر المصفوفتين ﺃ وﺏ. أوجد ﺃﺏ، إن أمكن.

دعونا أولًا نتحقق مما إذا كان ضرب هاتين المصفوفتين ممكنًا. المصفوفة ﺃ تحتوي على ثلاثة صفوف وعمودين، والمصفوفة ﺏ تحتوي على صفين وثلاثة أعمدة. يتضح أن عدد الأعمدة في المصفوفة ﺃ هو نفس عدد الصفوف في المصفوفة ﺏ، وبذلك نعلم أن المصفوفة الناتجة موجودة. بالإضافة إلى ذلك، يمكننا تحديد أبعاد المصفوفة الناتجة بملاحظة أن المصفوفة ﺃ تحتوي على ثلاثة صفوف وأن المصفوفة ﺏ تحتوي على ثلاثة أعمدة. ومن ثم، فإن المصفوفة الناتجة ستكون مصفوفة رتبتها ثلاثة في ثلاثة. نوجد العنصر الأول في المصفوفة ﺃﺏ بضرب الصف العلوي من المصفوفة ﺃ في العمود الأيمن من المصفوفة ﺏ. تذكر أن ذلك يماثل إيجاد الضرب القياسي للصف الأول هذا من المصفوفة ﺃ في العمود الأيمن من المصفوفة ﺏ.

هذا يساوي ١١ مضروبًا في سالب ثمانية زائد سالب اثنين مضروبًا في سالب أربعة. ولإيجاد العنصر العلوي الأوسط، نضرب الصف العلوي من المصفوفة ﺃ في العمود الأوسط من المصفوفة ﺏ. هذا يساوي ١١ مضروبًا في سالب تسعة زائد سالب اثنين مضروبًا في ثمانية. ولإيجاد العنصر العلوي الأيسر، نضرب الصف العلوي من المصفوفة ﺃ في العمود الأيسر من المصفوفة ﺏ. هذا يساوي ١١ مضروبًا في ستة زائد سالب اثنين مضروبًا في تسعة. ثم يمكننا إيجاد العنصر الأوسط الأيمن بضرب الصف الأوسط من المصفوفة ﺃ في العمود الأيمن من المصفوفة ﺏ.

نوجد العنصر الأوسط بضرب الصف الأوسط من المصفوفة ﺃ في العمود الأوسط من المصفوفة ﺏ. ونوجد العنصر الأوسط الأيسر بضرب الصف الأوسط من المصفوفة ﺃ في العمود الأيسر من المصفوفة ﺏ. ونتبع النمط نفسه مع العنصر السفلي الأيمن، والعنصر السفلي الأوسط، والعنصر السفلي الأيسر. يمكننا بعد ذلك تبسيط كل عنصر. وذلك يعطينا الإجابة النهائية، وهي كما رأينا مصفوفة ثلاثة في ثلاثة.

ثمة أمر مهم علينا ملاحظته وهو أن ضرب المصفوفات ليس إبداليًا. ويعني ذلك أن ﺃﺏ لا يساوي ﺏﺃ. يمكننا أن نرى كيف ينطبق ذلك بالرجوع إلى أبعاد المصفوفتين الواردتين في المثال السابق. فإذا أردنا إيجاد أبعاد المصفوفة الناتجة في هذه الحالة، فسنجد أننا سنحصل على مصفوفة رتبتها اثنان في اثنين، في حين أن ﺃﺏ أعطانًا مصفوفة رتبتها ثلاثة في ثلاثة. يمكننا استخدام خاصية ضرب المصفوفات لإيجاد قوى المصفوفات.

لنلق نظرة على مثال.

إذا كانت ﺃ تساوي سالب ستة، واحدًا، سالب خمسة، خمسة، فأوجد ﺃ تربيع.

تذكر أن ﺃ تربيع يعني ببساطة ﺃ مضروبًا في ﺃ. أي إن المصفوفة ﺃ مضروبة في المصفوفة ﺃ. ونظرًا لأن ﺃ مصفوفة رتبتها اثنان في اثنين، فإننا نضرب مصفوفة رتبتها اثنان في اثنين في مصفوفة رتبتها اثنان في اثنين. ونعلم أن هذا ممكن؛ لأن عدد الأعمدة في المصفوفة ﺃ هو بالطبع نفس عدد الصفوف في المصفوفة ﺃ. والمصفوفة الناتجة ستكون مصفوفة رتبتها اثنان في اثنين. نوجد العنصر العلوي الأيمن في المصفوفة الناتجة بضرب الصف العلوي من المصفوفة الأولى في العمود الأيمن من المصفوفة الثانية. هذا يساوي سالب ستة في سالب ستة زائد واحد في سالب خمسة.

بعد ذلك، نوجد العنصر العلوي الأيسر بضرب الصف العلوي من المصفوفة الأولى في العمود الأيسر من المصفوفة الثانية، وهو ما يساوي سالب ستة في واحد زائد واحد في خمسة. يمكننا بعد ذلك إيجاد العنصر السفلي الأيمن بضرب الصف السفلي من المصفوفة الأولى في العمود الأيمن من المصفوفة الثانية. هذا يساوي سالب خمسة في سالب ستة زائد خمسة في سالب خمسة. ونوجد العنصر السفلي الأيسر بضرب الصف السفلي من المصفوفة الأولى في العمود الأيسر من المصفوفة الثانية. هذا يساوي سالب خمسة في واحد زائد خمسة في خمسة.

أول ما سنفعله هو حساب القيم الناتجة عن كل عملية من عمليات الضرب هذه. وعلينا أن ننتبه هنا بشدة حيث لدينا الكثير من الإشارات السالبة. وأخيرًا، يمكننا التبسيط للحصول على الإجابة النهائية. ‏‏ﺃ تربيع يساوي ٣١، سالب واحد، خمسة، ٢٠. ثمة أمر علينا ملاحظته وهو أنه يمكننا استخدام هذه العملية لإيجاد قوى أعلى للمصفوفة ﺃ. على سبيل المثال، يمكننا إيجاد ﺃ تكعيب عن طريق ضرب ﺃ تربيع في ﺃ على اليسار. وستبدو بهذا الشكل.

لنر مثالًا آخر على عملية ضرب مصفوفتين.

إذا كانت ﺃ تساوي سالب ثلاثة، سالب سبعة، سالب واحد، ثلاثة، أربعة، واحدًا؛ وﺏ تساوي ستة، سالب أربعة، ثلاثة، فأوجد ﺃﺏ إن أمكن.

تذكر أنه في حالة ضرب المصفوفتين ﺃ وﺏ، إذا كانت أبعاد المصفوفة ﺃ هي ﻡ في ﻥ، حيث ﻡ هو عدد الصفوف وﻥ هو عدد الأعمدة، فيجب أن تكون أبعاد المصفوفة ﺏ هي ﻥ في ﻝ لكي تنجح عملية ضرب المصفوفتين. بعبارة أخرى، يجب أن يكون عدد الأعمدة في المصفوفة ﺃ هو نفس عدد الصفوف في المصفوفة ﺏ. تحتوي المصفوفة ﺃ على صفين وثلاثة أعمدة، إذن فإن أبعادها هي اثنان في ثلاثة. وتحتوي المصفوفة ﺏ على ثلاثة صفوف وعمود واحد، إذن فإن أبعادها هي ثلاثة في واحد. وبما أن عدد أعمدة المصفوفة ﺃ هو نفس عدد صفوف المصفوفة ﺏ، فإن حاصل الضرب موجود.

يمكننا كذلك معرفة أبعاد المصفوفة الناتجة. في حالة المصفوفة ﺃ التي أبعادها ﻡ في ﻥ والمصفوفة ﺏ التي أبعادها ﻥ في ﻝ، تكون أبعاد المصفوفة ﺃﺏ هي ﻡ في ﻝ. إذن في هذا السؤال، يمكننا القول إن المصفوفة الناتجة ستكون أبعادها اثنين في واحد. يجدر بنا دائمًا التحقق من ذلك قبل البدء في إجابة سؤال ضرب المصفوفات لتجنب ارتكاب أي أخطاء.

لنبدأ الحل ونضرب هاتين المصفوفتين معًا. نوجد العنصر العلوي في ﺃﺏ بضرب الصف العلوي من المصفوفة ﺃ في عمود المصفوفة ﺏ. هذا يساوي سالب ثلاثة في ستة زائد سالب سبعة في سالب أربعة زائد سالب واحد في ثلاثة. ونوجد الصف السفلي في المصفوفة ﺃﺏ بضرب الصف السفلي من المصفوفة ﺃ في عمود المصفوفة ﺏ. هذا يساوي ثلاثة في ستة زائد أربعة في سالب أربعة زائد واحد في ثلاثة. يمكننا بعد ذلك حساب ناتج الضرب في كل حد ثم التبسيط للحصول على الناتج النهائي. وكما توقعنا تمامًا، فإن أبعاد المصفوفة الناتجة ﺃﺏ هي اثنان في واحد.

يمكننا استخدام ضرب المصفوفات لإيجاد قيم مدخلة مجهولة في مصفوفات تمثل جزءًا من حاصل الضرب. على سبيل المثال، دعونا نقل إننا نعلم أن حاصل ضرب المصفوفة ثلاثة، اثنان، خمسة، ﺱ في المصفوفة واحد، ثلاثة يساوي تسعة، سالب واحد. إننا نعلم أن العدد تسعة ينتج عن ضرب الصف العلوي من المصفوفة الأولى في عمود المصفوفة الثانية. بينما العدد سالب واحد ينتج عن ضرب الصف السفلي من المصفوفة الأولى في عمود المصفوفة الثانية. هذا يساوي خمسة في واحد زائد ﺱ في ثلاثة. بعبارة أخرى، نحن نعلم أن خمسة زائد ثلاثة ﺱ لا بد أن يعطينا سالب واحد. إذن، ثلاثة ﺱ لا بد أن يساوي سالب ستة. إذن، ﺱ يساوي سالب اثنين.

لنتناول مثالًا أصعب من ذلك.

أوجد قيمتي ﺱ وﺹ بمعلومية ما يلي: المصفوفة واحد، ثلاثة، سالب اثنين، واحد مضروبة في المصفوفة اثنان، صفر، ﺱ، ﺹ تساوي المصفوفة ثمانية، سالب تسعة، سالب اثنين، سالب ثلاثة.

لحل هذا لإيجاد قيمتي ﺱ وﺹ، يمكننا التفكير في كيفية الحصول على بعض العناصر في المصفوفة الناتجة. لنبدأ بالعنصر العلوي الأيمن، وهو ثمانية. نعرف أننا لا بد أننا حصلنا على ثمانية بضرب الصف العلوي من المصفوفة الأولى في العمود الأيمن من المصفوفة الثانية. أي واحد في اثنين زائد ثلاثة في ﺱ يساوي ثمانية، أو اثنان زائد ثلاثة ﺱ يساوي ثمانية. ثم نحصل على ثلاثة ﺱ يساوي ستة بطرح اثنين من كلا الطرفين. وسنجد أن ﺱ يجب أن يساوي اثنين.

والآن إذا فكرنا في كيفية الحصول على سالب تسعة، فبما أنه العنصر العلوي الأيسر، فهو ينتج عن ضرب الصف العلوي من المصفوفة الأولى في العمود الأيسر من المصفوفة الثانية. أي واحد في صفر زائد ثلاثة في ﺹ يجب أن يساوي سالب تسعة. ذلك يبسط إلى ثلاثة ﺹ يساوي سالب تسعة. وعليه، فإن ﺹ يجب أن يساوي سالب ثلاثة. يمكننا حينئذ التحقق من صحة إجابتنا بالتحقق من أن هاتين القيمتين ﺱ وﺹ صحيحتان بالنسبة إلى القيمتين السفليتين في المصفوفة الناتجة.

للحصول على القيمة السفلية اليمنى في المصفوفة الناتجة وهي سالب اثنين، علينا ضرب الصف السفلي من المصفوفة الأولى في العمود الأيمن من المصفوفة الثانية. ذلك يعطينا سالب اثنين في اثنين زائد واحد في ﺱ، أي اثنان، يساوي سالب اثنين. ذلك يعطينا سالب أربعة زائد اثنين يساوي سالب اثنين، وهذا صحيح. إذن قيمة ﺱ صحيحة. ويمكننا التحقق من العنصر السفلي الأيسر في المصفوفة الناتجة بضرب الصف السفلي من المصفوفة الأولى في العمود الأيسر من المصفوفة الثانية. هذا يعطينا سالب اثنين في صفر زائد واحد في سالب ثلاثة يساوي سالب ثلاثة. أي صفر زائد سالب ثلاثة يساوي سالب ثلاثة، وهذا صحيح. إذن، نعرف بذلك أن قيمة ﺹ صحيحة أيضًا. من الأفضل دائمًا، إن أمكن، التأكد من صحة قيمتي ﺱ وﺹ اللتين أوجدتهما.

لنلخص الآن النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الفيديو. يوجد نوعان من عمليات ضرب المصفوفات: الضرب في عدد ثابت وضرب المصفوفة. ضرب المصفوفات ليس إبداليًا. فبالنسبة إلى المصفوفتين ﺃ وﺏ، ﺃ مضروبة في ﺏ لا تساوي ﺏ مضروبة في ﺃ. لا يكون ضرب مصفوفتين ممكنًا إلا عندما يكون عدد الأعمدة في المصفوفة الأولى هو نفس عدد الصفوف في المصفوفة الثانية. ويمكننا استخدام أبعاد المصفوفتين اللتين نضربهما معًا لإيجاد أبعاد المصفوفة الناتجة. يمكننا كذلك استخدام ضرب المصفوفات لإيجاد قوى المصفوفات. كما يمكننا استخدام ضرب المصفوفات لإيجاد قيم مجهولة في معادلات المصفوفات بالتفكير في كيفية الحصول على عناصر معينة في المصفوفة الناتجة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.