نسخة الفيديو النصية
يوضح الجدول التالي توزيع الأهداف المسجلة في الدور الأول من موسم كرة قدم. أوجد الانحراف المعياري لعدد الأهداف. قرب الإجابة لأقرب ثلاث منازل عشرية.
بالنظر إلى الجدول المعطى، يمكن أن نلاحظ أن البيانات موضحة في جدول تكراري. ويوضح الصف الأول عدد الأهداف المسجلة، ويوضح الصف الثاني عدد المباريات التي سجل فيها هذا العدد من الأهداف، أو، بعبارة أخرى، التكرارات. فعلى سبيل المثال، كانت هناك خمس مباريات سجل فيها صفر من الأهداف. إإذن، يمكن أن نضيف الرمز س ليمثل البيانات، وهي عدد الأهداف، والرمز ك ليمثل التكرارات.
والمطلوب منا إيجاد الانحراف المعياري لعدد الأهداف المسجلة، وهو مقياس لمدى تشتت البيانات أو تناثرها حول وسطها الحسابي. تذكر أنه بالنسبة لأي مجموعة بيانات س تحتوي على القيم س واحد، س اثنين، حتى س ن، لها تكرارات مناظرة ك واحد، ك اثنين، حتى ك ن ووسطها الحسابي س بار، فإن الانحراف المعياري الذي نشير إليه بالرمز 𝜎 يعطى بالعلاقة 𝜎 يساوي الجذر التربيعي لمجموع س ناقص س بار الكل تربيع مضروبًا في ك للعدد ن من الحدود على مجموع ك للعدد ن من الحدود.
وتذكر أيضًا أن الوسط الحسابي، س بار، لمجموعة بيانات موضحة في جدول تكراري يعطى بالعلاقة مجموع س مضروبًا في ك للعدد ن من الحدود على مجموع ك للعدد ن من الحدود.
عمليًّا، هذا يعني أنه عندما نحسب الانحراف المعياري لمجموعة بيانات موضحة في جدول تكراري، نحسب الوسط الحسابي س بار أولًا. وبعد ذلك، نطرح هذا من كل قيمة من قيم ﺱ، ونقوم بتربيع الناتج. ونضرب في تكرار قيمة س هذه ونوجد المجموع. وبعد ذلك، نقسم هذه الكمية على مجموع التكرارات أو التكرار الكلي. وبعد ذلك، نقسم هذه الكمية على ∑ التكرارات أو التكرار الكلي. وأخيرًا، نأخذ الجذر التربيعي.
ويمكننا تمديد الجدول المعطى لاستكمال العملية. فأول شيء علينا إيجاده لحساب الوسط الحسابي هو حاصل ضرب كل قيمة من قيم ﺱ في تكرارها المناظر. نحن لدينا صفر في خمسة، وهو ما يساوي صفرًا، وواحد في اثنين وهو ما يساوي اثنين، وثلاثة في سبعة، وهو ما يساوي ٢١، وأربعة في سبعة، وهو ما يساوي ٢٨، وستة في أربعة، وهو ما يساوي ٢٤. ومجموع هذه القيم الخمسة يساوي ٧٥.
وعلينا أيضًا أن نحسب التكرار الكلي بجمع القيم الموجودة في الصف الثاني من الجدول: خمسة زائد اثنين زائد سبعة زائد سبعة زائد أربعة، وهو ما يساوي ٢٥.
لإيجاد الوسط الحسابي، نقسم مجموع كل قيمة من قيم س مضروبًا في تكرارها، وهو ٧٥، على التكرار الكلي، وهو ٢٥، فنحصل على س بار يساوي ثلاثة. إذن، فقد حسبنا الوسط الحسابي، والآن علينا أن نحسب الانحراف المعياري. في الصف التالي من الجدول، سنطرح الوسط الحسابي ثلاثة من كل قيمة من قيم ﺱ. وهذا يعطينا سالب ثلاثة وسالب اثنين وصفرًا وواحدًا وثلاثة.
وفي الصف التالي من الجدول، نقوم بتربيع كل قيمة من هذه القيم، فيعطينا تسعة وأربعة وصفرًا وواحدًا وتسعة. وأخيرًا، نضرب كل قيمة من هذه القيم في تكرار قيمة ﺱ هذه. إذن، نحن نضرب القيم في الصف الخامس من الجدول في القيم في الصف الثاني، فيعطينا ٤٥ وثمانية وصفرًا وسبعة و٣٦.
الآن، بالعودة إلى صيغة الانحراف المعياري، يكون بسط الكسر تحت الجذر التربيعي هو مجموع كل قيمة لـ س ناقص الوسط الحسابي تربيع مضروبًا في التكرار. وبجمع القيم في الصف الأخير من الجدول نحصل على ٩٦. إذن، سيكون هذا هو بسط الكسر. ولقد أوجدنا بالفعل أن التكرار الكلي يساوي ٢٥.
إذن، لدينا الانحراف المعياري 𝜎 يساوي الجذر التربيعي لـ ٩٦ على ٢٥. وبشكل دقيق، يبسط هذا إلى أربعة جذر ستة على خمسة. لكن المطلوب منا أن نقرب الإجابة لأقرب ثلاث منازل عشرية. ولذا، فإن إيجاد قيمة هذا على صورة عدد عشري، يعطينا ١٫٩٥٩٥ وهكذا مع توالي الأرقام. والقيمة في المنزلة العشرية الرابعة هي خمسة، ومن ثم فإننا نقرب لأعلى.
وجدنا أن الانحراف المعياري لعدد الأهداف المسجلة في الدور الأول من موسم كرة القدم، مقربًا لأقرب ثلاث منازل عشرية، يساوي ١٫٩٦٠.
