نسخة الفيديو النصية
يستند صندوق كتلته ٣٣ جرامًا إلى نضد أفقي أملس ببكرة ملساء مثبتة عند كل طرف. مر خيط خفيف غير مرن فوق إحدى البكرتين ﺽﺃ، وربط الصندوق بجسم ﺃ كتلته ٢٦ جرامًا كان معلقًا تعليقًا حرًّا رأسيًّا أسفل البكرة. مر خيط آخر مشابه فوق البكرة ﺽﺏ، وربط الصندوق بجسم ﺏ كتلته ٢٤ جرامًا كان معلقًا تعليقًا حرًّا رأسيًّا أسفل تلك البكرة. بدأ النظام الحركة من السكون. أوجد القوة المبذولة على كلتا البكرتين ﺽﺃ وﺽﺏ، لأقرب منزلتين عشريتين. ﺩ يساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة.
سنبدأ برسم شكل توضيحي لتمثيل هذه المسألة. لدينا صندوق كتلته ٣٣ جرامًا يستند إلى نضد أفقي أملس. هذا يعني أنه لن يكون ثمة وجود لقوة احتكاك بين الصندوق والنضد. نعرف من المعطيات أنه توجد بكرة ملساء مثبتة عند كل طرف. لدينا جسمان كتلتاهما ٢٦ جرامًا و٢٤ جرامًا معلقان تعليقًا حرًّا أسفل هاتين البكرتين، وهما متصلان بخيطين خفيفين غير مرنين. هذا يعني أن الخيطين ليس لهما كتلة وطولهما ثابت. وبما أن الخيط غير مرن، فإننا نعرف أيضًا أن عجلة النظام ستكون متساوية. وبما أن البكرتين ملساوان، فقوى الشد بين كلا الخيطين ستكون متساوية.
في الخيط الأيسر سنفترض أن الشد ﺵﺃ، والشد في الخيط الأيمن ﺵﺏ. من خلال حساب قيمتي ﺵﺃ وﺵﺏ، يمكننا إيجاد القوة المؤثرة على كلتا البكرتين. الأجسام الثلاثة التي كتلتها ٣٣ جرامًا و٢٦ جرامًا و٢٤ جرامًا سيكون لها قوة وزن تؤثر رأسيًّا لأسفل. هذه القوة تساوي الكتلة مضروبة في عجلة الجاذبية. علمنا أن ﺩ يساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة.
لكن بما أن الكتل معطاة بالجرام، فسنستخدم وحدة السنتيمتر لكل ثانية مربعة. إذن، ﺩ يساوي ٩٨٠. ٢٦ مضروبًا في ٩٨٠ يساوي ٢٥٤٨٠. هذا يعني أن الجسم الذي كتلته ٢٦ جرامًا له قوة لأسفل تساوي ٢٥٤٨٠ داين. وبالطريقة نفسها، الجسم الذي كتلته ٢٤ جرامًا له قوة لأسفل تساوي ٢٣٥٢٠ داين. الصندوق الذي كتلته ٣٣ جرامًا له قوة تؤثر لأسفل تساوي ٣٢٣٤٠ داين. وهذه القوة تساوي قوة رد الفعل العمودي المؤثرة رأسيًّا لأعلى.
عندما يبدأ النظام في الحركة من السكون، يتسارع الجسم الذي كتلته ٢٦ جرامًا لأسفل، ويتسارع الجسم الذي كتلته ٢٤ جرامًا لأعلى، ويتسارع الصندوق الذي كتلته ٣٣ جرامًا إلى اليسار. وكما ذكرنا من قبل، بما أن الخيط غير مرن، فإن قيمة ﺟ ستظل كما هي على طول الخيط. وبذلك، يكون مقدار العجلة ثابتًا في النظام كله. باستخدام قانون نيوتن الثاني، أي القوة تساوي الكتلة مضروبة في العجلة، سنكتب الآن ثلاث معادلات في ثلاثة مجاهيل لمساعدتنا في حساب ﺵﺃ وﺵﺏ.
بعد أن نفرغ بعض المساحة، نبدأ بتناول الجسم الذي كتلته ٢٦ جرامًا. بما أن هذا الجسم يتسارع لأسفل، فسنعتبر أن هذا هو الاتجاه الموجب، ومجموع قواه يساوي ٢٥٤٨ ناقص ﺵﺃ. هذا لا بد أن يساوي الكتلة مضروبة في العجلة، أي في هذه الحالة ٢٦ﺟ. يمكننا إعادة ترتيب هذه المعادلة بحيث ﺵﺃ يساوي ٢٥٤٨٠ ناقص ٢٦ﺟ. سنسمي هذه بالمعادلة واحد. دعونا الآن نركز على الجسم الذي كتلته ٢٤ جرامًا. بما أن هذا الجسم يتسارع لأعلى، فسنعتبر أن هذا هو الاتجاه الموجب. وهذا يعني أن مجموع القوى يساوي ﺵﺏ ناقص ٢٣٥٢٠. مرة أخرى، هذا يساوي الكتلة مضروبة في العجلة، وهو ما يساوي ٢٤ﺟ. بتبسيط هذه المعادلة، نحصل على ﺵﺏ يساوي ٢٣٥٢٠ زائد ٢٤ﺟ. سنسمي هذه بالمعادلة اثنين.
وكما ذكرنا من قبل، عند تناول الصندوق الذي كتلته ٣٣ جرامًا، نعرف أن قوة رد الفعل العمودي ﺭ تساوي ٣٢٣٤٠ داين. عند التحليل أفقيًّا بحيث يكون الاتجاه الموجب جهة اليسار، أي اتجاه تسارع الجسم، فإن مجموع القوى يساوي ﺵﺃ ناقص ﺵﺏ، وهو ما يساوي ٣٣ﺟ.
يمكننا الآن التعويض بمقداري ﺵﺃ وﺵﺏ في هذه المعادلة. يصبح الطرف الأيمن ٢٥٤٨٠ ناقص ٢٦ﺟ ناقص ٢٣٥٢٠ زائد ٢٤ﺟ. وهذا لا بد أن يساوي ٣٣ﺟ. ٢٥٤٨٠ ناقص ٢٣٥٢٠ يساوي ١٩٦٠، وسالب ٢٦ﺟ ناقص ٢٤ﺟ يساوي سالب ٥٠ﺟ. يمكن تبسيط المعادلة إلى ١٩٦٠ ناقص ٥٠ﺟ يساوي ٣٣ﺟ. يمكننا إضافة ٥٠ﺟ إلى كلا الطرفين بحيث يكون ٨٣ﺟ يساوي ١٩٦٠. بقسمة الطرفين على ٨٣، نجد أن ﺟ يساوي ١٩٦٠ مقسومًا على ٨٣. مقدار عجلة النظام يساوي ١٩٦٠ على ٨٣ سنتيمترًا لكل ثانية مربعة.
يمكننا الآن التعويض بهذه القيمة في المعادلة واحد والمعادلة اثنين. بتفريغ بعض المساحة مرة أخرى، نحصل على ﺵﺃ يساوي ٢٥٤٨٠ ناقص ٢٦ مضروبًا في ١٩٦٠ على ٨٣. هذا يساوي ٢٤٨٦٦٫٠٢٤١. يمكننا تكرار هذه العملية مع ﺵﺏ، الذي يساوي ٢٣٥٢٠ زائد ٢٤ مضروبًا في ١٩٦٠ على ٨٣. بكتابة ذلك على الآلة الحاسبة نحصل على ٢٤٠٨٦٫٧٤٦٩٩. تقاس كلتا قوتي الشد بوحدة الداين. بما أن قوتي الشد المؤثرتين على البكرتين تشكلان زاويتين قائمتين إحداهما مع الأخرى، يمكننا استخدام مثلث القوى ونظرية فيثاغورس لحساب مقدار القوة المؤثرة على البكرة نفسها. بتناول البكرة ﺃ، لدينا قوتا شد تؤثران على البكرة كما هو موضح. القوة المحصلة ﺽﺃ ستنصف زاوية هاتين القوتين. يمكننا بعد ذلك رسم مثلث قائم الزاوية كما هو موضح.
تنص نظرية فيثاغورس على أن ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع يساوي ﺟ تربيع؛ حيث ﺟ هو طول الضلع الأطول المعروف باسم الوتر. ﺽﺃ تربيع يساوي ﺵﺃ تربيع زائد ﺵﺃ تربيع. نبسط الطرف الأيسر إلى اثنين ﺵﺃ تربيع. يمكننا بعد ذلك أخذ الجذر التربيعي لكلا طرفي هذه المعادلة بحيث ﺽﺃ يساوي الجذر التربيعي لاثنين ﺵﺃ تربيع. يمكننا الآن التعويض بقيمة ﺵﺃ لحساب ﺽﺃ. إذن، ﺽﺃ يساوي ٣٥١٦٥٫٨٦٨٥٢.
مطلوب منا تقريب هذا الناتج لأقرب منزلتين عشريتين. ومن ثم، فإن القوة المؤثرة على البكرة ﺽﺃ تساوي ٣٥١٦٥٫٨٧ داين. يمكننا تكرار هذه العملية مع ﺽﺏ حيث تساوي الجذر التربيعي لاثنين مضروبًا في ﺵﺏ تربيع. بالتعويض بقيمة ﺵﺏ والتقريب لأقرب منزلتين عشريتين، نحصل على ٣٤٠٦٣٫٨٠. إذن، القوة المؤثرة على ﺽﺏ تساوي ٣٤٠٦٣٫٨٠ داين. وبذلك، نكون قد حسبنا القوى المؤثرة على كلتا البكرتين.
