نسخة الفيديو النصية
أوجد مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ، إذا كان ﺹ يساوي ﺱ أس تسعة زائد ثمانية في جا خمسة ﺱ.
نعلم أن ﺹ هو مجموع دالتين. فهو يساوي ﺱ أس تسعة زائد ثمانية في جا خمسة ﺱ. علينا استخدام ذلك لإيجاد مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. وفي الواقع، نعرف كيفية إيجاد هذا حدًّا بحد. أولًا، يمكننا اشتقاق كثيرات الحدود باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق. بعد ذلك، نعرف كيف نشتق الدوال المثلثية البسيطة. إذن، يمكننا إيجاد قيمة هذه المشتقة مباشرة. أولًا، ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي مشتقة ﺱ أس تسعة زائد ثمانية في جا خمسة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.
ثم نشتق هذا حدًّا بحد. علينا إيجاد مشتقة ﺱ أس تسعة بالنسبة إلى ﺱ، وعلينا إضافة مشتقة ثمانية جا خمسة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. والآن، يمكننا إيجاد قيمة كل مشتقة على حدة. أولًا، لاشتقاق كثيرات الحدود، علينا أن نتذكر قاعدة القوة للاشتقاق. وتنص هذه القاعدة على أنه لأي ثابتين حقيقيين ﺃ وﻥ، فإن مشتقة ﺃ في ﺱ أس ﻥ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ﺃ في ﻥ مضروبًا في ﺱ أس ﻥ ناقص واحد. نضرب في أس الـ ﺱ ثم نطرح واحدًا من الأس.
في هذه الحالة، أس الـ ﺱ هو تسعة. لذا، علينا الضرب في هذا الأس الذي يساوي تسعة ثم نطرح واحدًا من الأس. هذا يعطينا تسعة ﺱ أس ثمانية.
علينا الآن إيجاد المشتقة الثانية. لفعل ذلك، علينا أن نتذكر إحدى مشتقات الدوال المثلثية القياسية. لأي ثابتين حقيقيين ﺃ وﻙ، فإن مشتقة ﺃ في جا ﻙﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ﺃ في ﻙ مضروبًا في جتا ﻙﺱ.
في هذه الحالة، معامل ﺱ يساوي خمسة. ومن ثم، سنستخدم قيمة ﻙ تساوي خمسة في ناتج المشتقة المثلثية. وهذا يعطينا ثمانية في خمسة مضروبًا في جتا خمسة ﺱ. وبالطبع، يمكننا تبسيط ذلك بإيجاد قيمة ثمانية في خمسة لتساوي ٤٠. هذا يعطينا تسعة ﺱ أس ثمانية زائد ٤٠ جتا خمسة ﺱ.
وبذلك، نكون قد أثبتنا أنه إذا كان ﺹ يساوي ﺱ أس تسعة زائد ثمانية جا خمسة ﺱ، فإن ﺩﺹ على ﺩﺱ سيساوي تسعة ﺱ أس ثمانية زائد ٤٠ في جتا خمسة ﺱ.
