تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: حل المتباينات التربيعية بيانيًّا

أحمد لطفي

يوضِّح الفيديو طريقة حل المتباينات التربيعية في متغير واحد باستخدام التمثيل البياني للدوال التربيعية المرتبطة بالمتباينات.

١١:٥٥

‏نسخة الفيديو النصية

هنتكلم عن حل المتباينات التربيعية بيانيًّا، وهنعرف إزاي نقدر نحل المتباينات التربيعية في متغير واحد عن طريق استخدام التمثيل البياني للدوال التربيعية المرتبطة بيها.

في البداية بالنسبة للمتباينات التربيعية، لو عندنا متباينة على الشكل أ س تربيع زائد ب س زائد جـ أصغر من الصفر، فهنمثل بيانيًّا الدالة التربيعية المرتبطة بالمتباينة، اللي هي هتكون ص بتساوي أ س تربيع زائد ب س زائد جـ، وهنحدد قيم س اللي بيكون فيها المنحنى تحت محور السينات، عشان المتباينة أصغر من الصفر، وهيكون عندنا حالتين. أول حالة لو أ أكبر من الصفر، وبيكون التمثيل البياني للدالة التربيعية المرتبطة بالمتباينة بالشكل ده، وهنلاحظ إن الحل هو قيم س اللي بيكون فيها المنحنى تحت محور السينات، يعني قيم س اللي في المنطقة اللي باللون الأصفر، وبالتالي لو عايزين نكتب مجموعة الحل، فهتكون بالشكل ده، هي المجموعة س؛ حيث س واحد أصغر من س، و س أصغر من س اتنين.

ودة بالنسبة للحالة الأولى لما كانت أ أكبر من الصفر، طب لو كان عندنا أ أصغر من الصفر، فهيكون التمثيل البياني للدالة التربيعية المرتبطة بالمتباينة بالشكل ده، وهنلاحظ إن الحل هيكون هو قيم س اللي بيكون فيها المنحنى تحت محور السينات، يعني قيم س اللي في المنطقة اللي باللون الأخضر. ولو عايزين نكتب مجموعة الحل فهتكون بالشكل ده، هي المجموعة س؛ حيث س أصغر من س واحد، أو س أكبر من س اتنين.

ويبقى كده قدرنا نحدد مجموعة الحل لما تكون أ أصغر من الصفر.

ويبقى لما يكون عندنا متباينة على صورة أ س تربيع زائد ب س زائد جـ أصغر من الصفر، هيكون الحل هي قيم س اللي بيكون فيها المنحنى تحت محور السينات. ولو كانت عندنا المتباينة أصغر من أو بتساوي الصفر، فهنضيف للحل نقاط تقاطُع المنحنى مع محور السينات. بالنسبة لو كانت عندنا المتباينة على صورة أ س تربيع زائد ب س زائد جـ أكبر من الصفر، فهنمثل بيانيًّا الدالة التربيعية المرتبطة بيها، وهتكون على الصورة ص بتساوي أ س تربيع زائد ب س زائد جـ، وهنحدد قيم س اللي بيكون فيها المنحنى فوق محور السينات. وهيكون عندنا حالتين. أول حالة إذا كان أ أكبر من الصفر، فهنلاحظ إن التمثيل البياني للدالة التربيعية المرتبطة بالمتباينة، هيكون بالشكل ده، وهيكون الحل هو قيم س اللي بيكون فيها المنحنى فوق محور السينات، يعني قيم س اللي في المنطقة اللي باللون الأحمر.

ولو عايزين نكتب مجموعة الحل، فمجموعة الحل هتكون بالشكل ده المجموعة س؛ حيث س أصغر من س واحد، أو س أكبر من س اتنين. وده بالنسبة لو كانت أ أكبر من الصفر، طب لو كانت أ أصغر من الصفر، فالتمثيل البياني للدالة التربيعية المرتبطة بالمتباينة هيكون بالشكل ده، وهيكون الحل هو قيم س اللي بيكون المنحنى فيها فوق محور السينات، يعني قيم س في المنطقة اللي باللون الأزرق. ولو عايزين نكتب مجموعة الحل فمجموعة الحل هتكون بالشكل ده، المجموعة س؛ حيث س واحد أصغر من س، و س أصغر من س اتنين.

يبقى لو عندنا متباينة على صورة أ س تربيع زائد ب س زائد جـ أكبر من الصفر، فهيكون الحل هو قيم س اللي بيكون فيها منحنى الدالة التربيعية المرتبطة بالمتباينة فوق محور السينات. ولو كانت المتباينة أكبر من أو بتساوي الصفر، فهنضيف للحل نقاط تقاطع المنحنى مع محور السينات.

وبكده نكون عرفنا الحالات المختلفة للمتباينات التربيعية، وإزاي نقدر نوجد حلولها بيانيًّا. في صفحة جديدة هناخد مثال، لو عندنا مثال بالشكل ده، مطلوب حل المتباينة س تربيع زائد اتنين س ناقص تمنية أصغر من الصفر بيانيًّا. في البداية هنقول إن الحل يحتوي على قيم س اللي بيكون فيها منحنى التمثيل البياني للدالة المرتبطة بالمتباينة تحت محور السينات، عشان المتباينة أصغر من الصفر. في البداية هنوجد جذور الدالة التربيعية المرتبطة بالمتباينة، هتكون بالشكل ده. تاني خطوة هنرسم بيانيًّا القطع المكافئ اللي بيقطع محور السينات عند سالب أربعة واتنين. وهنلاحظ إن القطع المكافئ هيكون مفتوحًا إلى أعلى، عشان أ اللي هو معامل س تربيع أكبر من الصفر، فهيكون بالشكل ده. وهنلاحظ إن المنحنى بيقع تحت محور السينات في المنطقة اللي باللون الأخضر، وبالتالي مجموعة الحل هتكون المجموعة س؛ حيث سالب أربعة أصغر من س، و س أصغر من اتنين، أو ممكن نكتبها في صورة الفترة المفتوحة من سالب أربعة إلى اتنين. وبكده نكون قدرنا نوجد حل المتباينة س تربيع زائد اتنين س ناقص تمنية أصغر من الصفر بيانيًّا.

هنلاحظ إن التمثيل البياني للدالة التربيعية المرتبطة بالمتباينة في المثال ده غير ضروري؛ حيث أن أصفار الدالة تم إيجادها بالطريقة الجبرية، وبالتالي قدرنا نستخدمها في إيجاد الحلول، يعني كنا ممكن نقدر نوجد حلول المتباينة بدون استخدام التمثيل البياني للدالة التربيعية المرتبطة بيها.

في صفحة جديدة هناخد مثال آخر، لو عندنا مثال بالشكل ده، مطلوب حل المتباينة التربيعية اتنين س تربيع زائد أربعة س ناقص خمسة أكبر من أو بتساوي صفر بيانيًّا. في البداية هنقول إن الحل بيحتوي على قيم س اللي بيكون فيها منحنى التمثيل البياني للدالة التربيعية المرتبطة بالمتباينة فوق محور السينات، بالإضافة إلى قيم س اللي بيكون فيها المنحنى بيتقاطع مع محور السينات عشان عندنا المتباينة أكبر من أو بتساوي الصفر.

أول خطوة هنوجد جذور الدالة التربيعية المرتبطة بالمتباينة، وهتكون بالشكل ده، هنلاحظ إن جذور الدالة التربيعية المرتبطة بالمتباينة هي س تقريبًا بتساوي سبعة وتمانين من مية، أو س تقريبًا بتساوي سالب اتنين وسبعة وتمانين من مية. هنرسم بيانيًّا القطع المكافئ، اللي بيقطع محور السينات عند سالب اتنين وسبعة وتمانين من مية، وسبعة وتمانين من مية، والقطع المكافئ هيكون مفتوحًا إلى أعلى عشان أ أكبر من صفر، اللي هي معامل س تربيع، فهيكون بالشكل ده، وهيكون الحل هي قيم س عَ المنحنى اللي بتقطع محور السينات، واللي بيكون فيها المنحنى فوق محور السينات، يعني قيم س في المنطقة اللي باللون الأزرق؛ وبالتالي مجموعة الحل هتكون المجموعة س؛ حيث س أصغر من أو بتساوي سالب اتنين وسبعة وتمانين من مية، أو س أكبر من أو بتساوي سبعة وتمانين من مية. ممكن نكتب مجموعة الحل على الصورة الفترة المفتوحة عند سالب ما لا نهاية ومغلقة عند سالب اتنين وسبعة وتمانين من مية اتحاد الفترة المغلقة عند سبعة وتمانين من مية ومفتوحة عند ما لا نهاية.

ويبقى كده قدرنا نوجد حل المتباينة التربيعية اتنين س تربيع زائد أربعة س ناقص خمسة أكبر من أو بتساوي صفر بيانيًّا. في صفحة جديدة هناخد مثال آخر، لو عندنا مثال بالشكل ده، في إحدى المباريات ركل أحد اللاعبين الكرة باتجاه المرمى، تمثل د ن ارتفاع الكرة عن الأرض بالمتر عند اللحظة ن؛ حيث د ن بتساوي سالب واحد من عشرة ن تربيع زائد اتنين وأربعة من عشرة ن ناقص تمنية. إذا كان ارتفاع المرمى اتنين وأربعة من عشرة متر، فحدد الزمن الذي تدخل فيه الكرة المرمى.

الدالة المعطاة د ن بتمثل ارتفاع الكرة عن الأرض بالمتر، هنبقى عايزين نشوف إمتى ارتفاع الكرة بيكون أقل من اتنين وأربعة من عشرة، عشان نقدر نحدد الزمن اللي بتدخل فيه الكورة المرمى، يعني عايزين نشوف د ن أصغر من اتنين وأربعة من عشرة. هنعوض عن د ن بقيمتها، فهتكون بالشكل ده سالب واحد من عشرة ن تربيع زائد اتنين وأربعة من عشرة ن ناقص تمنية أصغر من اتنين وأربعة من عشرة. هنطرح اتنين وأربعة من عشرة من الطرفين، فهتكون بالشكل ده سالب واحد من عشرة ن تربيع زائد اتنين وأربعة من عشرة ن ناقص عشرة وأربعة من عشرة أصغر من صفر. هنرسم الدالة التربيعية المرتبطة بالمتباينة، وهتكون بالشكل ده، هنلاحظ إن أصفار الدالة هم تقريبًا النقطتين خمسة وستمية خمسة وسبعين من ألف، وتمنتاشر وتلتمية خمسة وعشرين من ألف؛ وبالتالي الحل هيكون هو قيم ن اللي بيكون فيها منحنى الدالة التربيعية المرتبطة بالمتباينة تحت محور السينات، يعني الحل هو قيم ن في الفترة اللي بتقع في المنطقة اللي باللون الأخضر.

وهنلاحظ إننا خدنا قيم ن الموجبة فقط عشان ن بتمثل الزمن، وبالتالي لا يمكن أن تكون سالبة. ويبقى نقدر نقول: يمكن للكرة أن تدخل المرمى في أول خمسة وستمية خمسة وسبعين من ألف ثوان تقريبًا بعد ركلها، كما يمكن أن تدخل المرمى بعد مرور تمنتاشر وتلتمية خمسة وعشرين من ألف ثوان تقريبًا حتى تصل إلى الأرض، يعني هنقول إن الكرة ممكن بتدخل المرمى لو وصلت للمرمى في الفترة ما بين صفر وخمسة وستمية خمسة وسبعين من ألف ثانية تقريبًا بعد ركلها، أو لو وصلت المرمى في الفترة ما بين تمنتاشر وتلتمية خمسة وعشرين من ألف ثانية تقريبًا حتى تصل إلى الأرض. وبالتالي نكون قدرنا نحدد الزمن اللي هتدخل فيه الكرة المرمى.

ويبقى في النهاية عرفنا الحالات المختلفة لحل المتباينات التربيعية بيانيًّا، وعرفنا نحل المتباينات التربيعية بيانيًّا باستخدام الأمثلة المختلفة.