فيديو الدرس: إيجاد قيم الدوال المثلثية للزوايا ٣٠ و٤٥ و٦٠ الرياضيات • الصف الثالث الإعدادي

نسخة الفيديو النصية

إيجاد قيم الدوال المثلثية للزوايا ٣٠ و٤٥ و٦٠

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد قيم الدوال المثلثية للزوايا التي قياساتها ٣٠ و٤٥ و٦٠ درجة. وسنوجد هذه النتائج هندسيًّا من خلال تكوين مثلثات قائمة الزاوية. وسنرى أيضًا كيف يمكننا إجراء هذه العملية بطريقة عكسية من خلال تناول هذين السؤالين: ماذا لو كان لدينا طولا ضلعين في مثلث قائم الزاوية؟ هل يمكننا عندئذ إيجاد قياسات الزوايا في المثلث القائم الزاوية؟

لفعل ذلك، دعونا نبدأ بتذكر كيف نعرف الدوال المثلثية بالنسبة إلى الزاوية 𝜃. إننا نعلم أن الدوال المثلثية تعرف بناء على نسب أطوال الأضلاع في المثلث القائم الزاوية. ولإيجاد قيم الدوال المثلثية عند زاوية قياسها 𝜃، نبدأ برسم مثلث قائم الزاوية يتضمن الزاوية 𝜃. ثم نسمي أضلاع هذا المثلث القائم الزاوية بناء على مواضعها بالنسبة إلى الزاوية 𝜃. إذ يكون وتر المثلث القائم الزاوية هو الضلع الأطول في المثلث القائم الزاوية. إنه الضلع المقابل للزاوية القائمة. ثم، يعرف الضلع الذي يقابل الزاوية 𝜃 باسم «الضلع المقابل». وأخيرًا، يعرف الضلع المتبقي الذي يجاور الزاوية 𝜃 باسم «الضلع المجاور».

يسمح لنا ذلك بتعريف الدوال المثلثية عند الزاوية 𝜃. لدينا أولًا جا 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل للزاوية 𝜃 مقسومًا على طول الوتر. بعد ذلك، جتا 𝜃 يساوي طول الضلع المجاور للزاوية 𝜃 مقسومًا على طول الوتر. وأخيرًا، ظا 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل للزاوية 𝜃 مقسومًا على طول الضلع المجاور للزاوية 𝜃.

وبناء على ما سبق، إذا تمكنا من تكوين مثلث قائم الزاوية بمعلومية أطوال أضلاع المثلث القائم الزاوية وقياسات زواياه الداخلية، يمكننا إذن إيجاد قيم الدوال المثلثية عند هذه الزاوية باستخدام المثلث القائم الزاوية. وهناك العديد من الطرق التي يمكننا بها تكوين مثلثات قائمة الزاوية بمعلومية قياسات الزوايا الداخلية وأطوال الأضلاع. دعونا نتناول طريقتين منها.

في البداية، سنفترض أن لدينا مربعًا طول ضلعه يساوي وحدة طول واحدة. يمكننا إذن تكوين مثلثين قائمي الزاوية بتقسيم المربع عن طريق أحد قطريه. وفي الواقع، يكون هذان المثلثان قائما الزاوية متطابقين؛ وفقًا لمسلمة التطابق بضلعين والزاوية المحصورة بينهما على سبيل المثال. لاستخدام أحد هذين المثلثين القائمي الزاوية لإيجاد قيم الدوال المثلثية، فإننا نحتاج إلى معرفة أطوال أضلاعه الثلاثة وقياسات زواياه الداخلية الثلاثة.

هيا نبدأ بإيجاد قياسات الزوايا الداخلية. لفعل ذلك، يمكننا البدء بملاحظة أن المثلثين القائمي الزاوية هما مثلثان متساويا الساقين. ويخبرنا هذا بالتحديد أن الزاويتين غير القائمتين في هذا المثلث القائم الزاوية لهما القياس نفسه. سنشير إليهما بالرمز 𝜃، وبما أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية في المثلث يساوي ١٨٠ درجة وقياس الزاوية القائمة يساوي ٩٠ درجة، فإننا نعرف إذن أن 𝜃 زائد 𝜃 زائد ٩٠ درجة يساوي ١٨٠ درجة. يمكننا بعد ذلك حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة 𝜃. بطرح ٩٠ درجة من طرفي المعادلة، نحصل على اثنين 𝜃 يساوي ٩٠ درجة. وبعد ذلك، نقسم الطرفين على اثنين، فنحصل على 𝜃 يساوي ٤٥ درجة. وهذا منطقي بالطبع. لأنه عند تقسيم المربع إلى نصفين، فإن هذا يعني تقسيم الزاوية إلى نصفين أيضًا.

والآن، دعونا نوجد الطول المجهول في هذا المثلث القائم الزاوية. علينا إيجاد طول الوتر بمعلومية طولي الضلعين الآخرين. ويمكننا فعل ذلك باستخدام نظرية فيثاغورس. وتنص نظرية فيثاغورس على أنه في أي مثلث قائم الزاوية، فإن مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الأقصر في المثلث القائم الزاوية. الوتر تربيع يساوي واحدًا تربيع زائد واحد تربيع. يمكننا بعد ذلك حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة الوتر. واحد تربيع زائد واحد تربيع يساوي اثنين. إذن، لدينا الوتر تربيع يساوي اثنين. ثم نأخذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة. تذكر أن الوتر عبارة عن طول؛ لذا يجب أن تكون قيمته موجبة. وعليه، فإن الوتر يساوي الجذر التربيعي لاثنين.

يمكننا الآن كتابة هذه القيمة على الشكل. ونلاحظ هنا أن لدينا مثلثًا قائم الزاوية نعرف جميع أطوال أضلاعه وقياسات زواياه الداخلية. وبهذا، نكون مستعدين تقريبًا لاستخدام هذا المثلث القائم الزاوية لإيجاد قيم الدوال المثلثية. لكن، تذكر أننا ما زلنا بحاجة إلى تسمية أضلاع هذا المثلث القائم الزاوية بناء على مواضعها بالنسبة إلى الزاوية لدينا. في البداية، كما ذكرنا سابقًا، الضلع الذي طوله جذر اثنين هو الوتر في هذا المثلث القائم الزاوية؛ لأنه الضلع الأطول المقابل للزاوية القائمة. بعد ذلك، يكون الضلع المقابل للزاوية التي قياسها ٤٥ درجة هو الضلع المقابل. وأخيرًا، يكون الضلع المتبقي الذي يجاور الزاوية المحددة التي قياسها ٤٥ درجة هو الضلع المجاور.

والآن، يمكننا استخدام هذا المثلث القائم الزاوية لإيجاد قيم الدوال المثلثية عند هذه القيم. كل ما علينا فعله هو التعويض بـ 𝜃 يساوي ٤٥ درجة، وبطول الضلع المجاور الذي يساوي واحدًا، وبطول الضلع المقابل الذي يساوي واحدًا أيضًا، وبطول الوتر الذي يساوي جذر اثنين. هيا نبدأ بدالة الجيب. سنجد أن لدينا جا ٤٥ درجة يساوي واحدًا مقسومًا على الجذر التربيعي لاثنين. يمكننا أن نترك الناتج بهذا الشكل. لكن، يمكننا تبسيط ذلك عن طريق إنطاق المقام. سنضرب كلًّا من البسط والمقام في جذر اثنين لنحصل على جذر اثنين مقسومًا على اثنين. وبذلك، نكون قد أوضحنا أن جا ٤٥ درجة يساوي جذر اثنين على اثنين.

يمكننا اتباع العملية نفسها مع دالة جيب التمام. فنحصل على جتا ٤٥ درجة يساوي واحدًا على جذر اثنين، وهذا يساوي بالضبط القيمة نفسها التي حصلنا عليها بالأعلى. وهنا، يمكننا إنطاق المقام بالطريقة نفسها لتوضيح أن جتا ٤٥ درجة يساوي جذر اثنين على اثنين أيضًا. وأخيرًا، باستخدام قيم هذا المثلث القائم الزاوية، يمكننا توضيح أن ظا ٤٥ درجة يساوي واحدًا مقسومًا على واحد، وهو ما يمكن تبسيطه بالطبع ليعطينا واحدًا. إذن، باستخدام مربع الوحدة، ونظرية فيثاغورس، وتعريف الدوال المثلثية، تمكنا من إيجاد قيمة كل من جا ٤٥ درجة وجتا ٤٥ درجة وظا ٤٥ درجة.

والآن قبل أن نستخدم هذه النتائج للإجابة عن الأسئلة التي تتضمن إيجاد قيم مقادير الدوال المثلثية، هناك مثلث آخر يمكننا استخدامه لإيجاد قيم الدوال المثلثية عند زاويتين مختلفتين. هذه المرة، بدلًا من البدء بمربع الوحدة، سنبدأ بمثلث متساوي الأضلاع. تذكر أن قياس كل زاوية من الزوايا الداخلية في المثلث المتساوي الأضلاع يساوي ٦٠ درجة. وجدير بالذكر هنا أن بإمكاننا اختيار أي طول نريده للضلع في المثلث المتساوي الأضلاع. على سبيل المثال، يمكننا استخدام واحد ليكون طول الضلع. ولكن، عادة ما تكون العمليات الحسابية أسهل إذا استخدمنا اثنين ليكون طول الضلع. لذا، سنختار أن يكون طول الضلع هو اثنين. ولكن، يمكننا استخدام أي طول نريده للضلع.

يمكننا بعد ذلك تكوين مثلثين قائمي الزاوية من هذا المثلث المتساوي الأضلاع عن طريق تقسيمه إلى نصفين باستخدام خط المتوسط. وبما أن هذا الخط هو أحد متوسطات المثلث، يمكننا إذن إيجاد طول قاعدة المثلث القائم الزاوية. طولها يساوي واحدًا؛ وذلك نظرًا لأن المتوسط يقسم الطول اثنين إلى نصفين. ويمكننا أيضًا إيجاد قياس الزاوية الداخلية المجهولة في هذا المثلث القائم الزاوية حيث إن مجموع قياسات الزوايا الداخلية في المثلث القائم الزاوية يساوي ١٨٠ درجة. ويمكننا ملاحظة أن ٦٠ درجة زائد ٣٠ درجة زائد ٩٠ درجة يساوي ١٨٠ درجة. إذن، قياس الزاوية المجهولة هو ٣٠ درجة.

وأخيرًا، يمكننا إيجاد طول الضلع المجهول، ﻝ، في هذا المثلث القائم الزاوية باستخدام نظرية فيثاغورس. مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الأقصر. إذن، اثنان تربيع يساوي ﻝ تربيع زائد واحد تربيع. يمكننا بعد ذلك حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﻝ. لدينا أولًا اثنان تربيع يساوي أربعة، وواحد تربيع يساوي واحدًا. بعد ذلك، يمكننا طرح واحد من طرفي المعادلة لنحصل على ثلاثة يساوي ﻝ تربيع. وأخيرًا، نأخذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة. إننا نعلم أن ﻝ عبارة عن طول، إذن، قيمته موجبة. وهذا يعطينا ﻝ يساوي الجذر التربيعي لثلاثة. يمكننا إذن كتابة هذا الناتج على الشكل لدينا.

والآن، نلاحظ أن لدينا مثلثًا قائم الزاوية جميع أطوال أضلاعه وجميع قياسات زواياه الداخلية معلومة. إذن، مرة أخرى، يمكننا استخدام هذا المثلث القائم الزاوية لإيجاد قيم الدوال المثلثية. ولفعل ذلك، علينا تسمية أضلاع هذا المثلث القائم الزاوية بناء على مواضعها بالنسبة إلى الزاوية. ولكن هذه المرة، لدينا خياران. يمكننا تسمية الأضلاع إما بناء على مواضعها بالنسبة إلى الزاوية التي قياسها ٦٠ درجة أو بناء على مواضعها بالنسبة إلى الزاوية التي قياسها ٣٠ درجة. وكلاهما يتيح لنا إيجاد قيم الدوال المثلثية عند الزاويتين ٦٠ درجة و٣٠ درجة.

هيا نبدأ بتسمية أضلاع هذا المثلث بناء على مواضعها بالنسبة إلى الزاوية التي قياسها ٦٠ درجة. وسنفعل ذلك بإعادة رسم المثلث القائم الزاوية. في البداية، كما ذكرنا سابقًا، الوتر في هذا المثلث القائم الزاوية هو الضلع الذي طوله اثنان؛ لأنه الضلع الأطول المقابل للزاوية القائمة. بعد ذلك، لدينا الضلع الذي يقابل الزاوية التي قياسها ٦٠ درجة؛ إنه الضلع المقابل. وهو الضلع الذي طوله جذر ثلاثة. وأخيرًا، لدينا الضلع المتبقي الذي يجاور الزاوية التي قياسها ٦٠ درجة؛ إنه الضلع المجاور. وهو الضلع الذي طوله واحد.

والآن، يمكننا استخدام هذا المثلث لإيجاد قيمة كل من جيب الزاوية ٦٠ درجة وجيب تمامها وظلها. هيا نبدأ بإيجاد جا ٦٠ درجة. إنه يساوي طول الضلع المقابل للزاوية التي قياسها ٦٠ درجة مقسومًا على طول الوتر. وهذا يساوي جذر ثلاثة مقسومًا على اثنين. لدينا بعد ذلك جتا ٦٠ درجة يساوي طول الضلع المجاور مقسومًا على طول الوتر. وهذا يساوي واحدًا مقسومًا على اثنين؛ أي نصفًا. وأخيرًا، لدينا ظا ٦٠ درجة يساوي طول الضلع المقابل مقسومًا على طول الضلع المجاور. وهذا يساوي جذر ثلاثة مقسومًا على واحد، وهو ما يمكن تبسيطه ليعطينا جذر ثلاثة.

إذن، ساعدنا ذلك في إيجاد قيم الدوال المثلثية عند الزاوية التي قياسها ٦٠ درجة. والآن، دعونا نعد تسمية أضلاع المثلث القائم الزاوية بناء على مواضعها بالنسبة إلى الزاوية التي قياسها ٣٠ درجة لإيجاد قيم الدوال المثلثية عند هذه الزاوية. مرة أخرى، سنفعل ذلك بإعادة رسم المثلث القائم الزاوية. الوتر يظل كما هو؛ لأنه ما يزال الضلع المقابل للزاوية القائمة. ولكن، يتبدل الضلعان المقابل والمجاور؛ لأن الضلع الذي طوله واحد هو المقابل للزاوية ٣٠ درجة، أما الضلع الذي طوله جذر ثلاثة، فهو المجاور للزاوية ٣٠ درجة.

والآن، يمكننا استخدام هذا المثلث القائم الزاوية لإيجاد قيمة كل من جيب الزاوية ٣٠ درجة وجيب تمامها وظلها. ‏جا ٣٠ درجة يساوي طول الضلع المقابل مقسومًا على طول الوتر. هذا يساوي نصفًا. وجتا ٣٠ درجة يساوي طول الضلع المجاور مقسومًا على طول الوتر. هذا يساوي جذر ثلاثة على اثنين. وظا ٣٠ درجة يساوي طول الضلع المقابل مقسومًا على طول الضلع المجاور. هذا يساوي واحدًا على جذر ثلاثة. ويمكننا تبسيط هذا الناتج عن طريق إنطاق المقام. سنضرب كلًّا من البسط والمقام في جذر ثلاثة لنحصل على جذر ثلاثة على ثلاثة. وهذا يعني أننا قد أوضحنا كيف نوجد قيم الدوال المثلثية الثلاثة عند الزوايا التي قياساتها ٣٠ درجة و٤٥ درجة و٦٠ درجة.

يمكننا إفراغ بعض المساحة وإنشاء جدول نستعرض فيه النتائج التي أوضحناها توًّا. في أعمدة هذا الجدول، لدينا قياسات الزوايا بالدرجات. وفي صفوف الجدول، لدينا الدوال المثلثية. إذن، القيمة الموجودة في الصف هي قيمة الدالة المثلثية عند الزاوية المحددة في العمود. يمكننا إذن استخدام هذا الجدول لإيجاد قيم الدوال المثلثية عند هذه الزوايا الثلاثة. على سبيل المثال، إذا أردنا إيجاد قيمة جتا ٦٠ درجة، فإننا ننظر في هذا الجدول إلى الصف الذي يحتوي على دالة جيب التمام، والعمود الذي يحتوي على الزاوية ٦٠ درجة. ومن ثم، تكون القيمة التي نريدها موجودة في هذا الصف عند الزاوية المحددة في العمود. ‏جتا ٦٠ درجة يساوي نصفًا.

من المفيد جدًّا حفظ هذا الجدول، وذلك حتى لا نحتاج إلى استخدام الرسم الهندسي في كل مرة. ولكن، ما يزال من المفيد أن نتذكر الرسم الهندسي لنتمكن من إثبات هذه النتائج. سنتناول الآن مثالًا مطلوب فيه إيجاد قيمة دالة مثلثية.

أوجد القيمة الدقيقة لـ جا ٣٠ درجة.

في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد القيمة الدقيقة لدالة مثلثية. يمكننا ملاحظة أن زاوية هذه الدالة المثلثية هي ٣٠ درجة. وهناك عدة طرق للإجابة عن هذا السؤال. على سبيل المثال، يمكننا كتابة جا ٣٠ درجة على الآلة الحاسبة، وسنحصل على إجابة دقيقة. ولكن، من الممكن الإجابة عن هذا السؤال دون استخدام الآلة الحاسبة، لذا دعونا نفعل هذا.

هناك طريقتان لإيجاد قيمة هذا المقدار دون استخدام الآلة الحاسبة. يمكننا أولًا تذكر أن الزاوية ٣٠ درجة هي إحدى الزوايا الخاصة. وعلينا أن نحفظ جميع الدوال المثلثية للزوايا التي قياساتها ٣٠ درجة و٤٥ درجة و٦٠ درجة. وإحدى طرق ذلك هي استخدام الجدول التالي. في أعمدة هذا الجدول، لدينا الزوايا التي قياساتها ٣٠ درجة و٤٥ درجة و٦٠ درجة. وفي صفوف هذا الجدول، لدينا الدوال المثلثية الثلاثة.

يمكننا عندئذ تذكر الصف الذي يتضمن دالة الجيب بتذكر أن جا ٣٠ درجة يساوي جذر واحد على اثنين، وجا ٤٥ درجة يساوي جذر اثنين على اثنين، وجا ٦٠ درجة يساوي جذر ثلاثة على اثنين. أي إن البسط هنا هو الجذر التربيعي لواحد، ثم الجذر التربيعي لاثنين، ثم الجذر التربيعي لثلاثة. يتضمن الصف الخاص بدالة جيب التمام القيم نفسها ولكن بترتيب معكوس. فالقيمة الأخيرة هي جذر واحد على اثنين. والقيمة الثانية هي جذر اثنين على اثنين. والقيمة الأولى هي جذر ثلاثة على اثنين.

حسنًا، نحن نعلم أن ظا 𝜃 يساوي جا 𝜃 مقسومًا على جتا 𝜃. إذن، يمكننا إيجاد قيم صف الظل في الجدول عن طريق قسمة القيم بصف الجيب على القيم بصف جيب التمام الموجودين في الجدول. على أي حال، يمكننا استخدام هذا الجدول لإيجاد قيمة جا ٣٠ درجة. علينا أن نوجد من الجدول القيمة التي في عمود الزاوية ٣٠ درجة وفي صف جا 𝜃. يمكننا ملاحظة أن هذه القيمة تساوي نصفًا. إذن، هذا يمكننا من استنتاج أن جا ٣٠ درجة يساوي نصفًا.

يمكننا التوقف هنا. ولكن، قد يكون من الصعب حفظ هذا الجدول. لذا، يمكننا أيضًا أن نتناول باختصار طريقة هندسية لإيجاد قيمة جا ٣٠ درجة. في البداية، نحن نعلم أن الدوال المثلثية هي نسب أطوال الأضلاع في المثلث القائم الزاوية. إذن، يمكننا استخدام مثلث قائم الزاوية مشهور لإيجاد قيم هذه الدوال المثلثية. في هذه الحالة، سنرسم مثلثًا قائم الزاوية باستخدام مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه يساوي اثنين.

تذكر أنه في المثلث المتساوي الأضلاع، قياس أي من الزوايا الداخلية يساوي ٦٠ درجة. يمكننا تقسيم هذا المثلث المتساوي الأضلاع إلى نصفين باستخدام عموده المنصف. وهو يقسم قاعدة المثلث إلى نصفين، وبهذا نجد أن طول قاعدة المثلث القائم الزاوية يساوي واحدًا. حسنًا، نحن نعلم أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية في المثلث القائم الزاوية يساوي ١٨٠ درجة. إذن، قياس الزاوية المجهولة في هذا المثلث القائم الزاوية يساوي ٣٠ درجة.

وأخيرًا، يمكننا إيجاد طول الضلع المجهول باستخدام نظرية فيثاغورس. وتنص نظرية فيثاغورس على أنه في المثلث القائم الزاوية، مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الأقصر. لذا، إذا قلنا إن طول الضلع الناقص هو ﻝ، فسيكون لدينا ﻝ تربيع زائد واحد تربيع يساوي اثنين تربيع. ويمكننا حل ذلك لإيجاد قيمة ﻝ. بإعادة ترتيب المعادلة، يصبح لدينا ﻝ تربيع يساوي ثلاثة. ثم نأخذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة، مع تذكر أن ﻝ عبارة عن طول؛ أي إن قيمته موجبة. إذن، ﻝ يساوي الجذر التربيعي لثلاثة.

ووالآن، بتذكر تعريف دالة الجيب ، نعرف أن جا 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل للزاوية 𝜃 مقسومًا على طول الوتر. إننا نريد تطبيق ذلك على الزاوية 𝜃 التي قياسها ٣٠ درجة. أولًا، نلاحظ أن الوتر هو الضلع المقابل للزاوية القائمة. إنه الضلع الذي طوله اثنان. ثانيًا، نلاحظ أن الضلع المقابل للزاوية التي قياسها ٣٠ درجة هو الضلع الذي طوله واحد. وبالتعويض بهاتين القيمتين في تعريفنا لدالة الجيب، نجد أن جا ٣٠ درجة يساوي واحدًا على اثنين.

وبهذا، نكون قد تمكنا من إيجاد القيمة الدقيقة لـ جا ٣٠ درجة بطريقتين مختلفتين. وفي كلتا الحالتين، أثبتنا أن جا ٣٠ درجة يساوي نصفًا.

في المثال التالي، سنوجد القيمة الدقيقة لمقدار مثلثي يتضمن دالتين مثلثيتين عند الزاويتين ٣٠ درجة و٤٥ درجة.

أوجد قيمة اثنين جتا ٤٥ درجة في جا ٣٠ درجة.

في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد قيمة مقدار يتضمن دالتين مثلثيتين. ويمكننا ملاحظة أن زاويتي الدالتين المثلثيتين هما ٤٥ درجة و٣٠ درجة. وهاتان زاويتان من الزوايا الخاصة. وعلينا أن نحفظ قيم جميع الدوال المثلثية عند الزوايا التي قياساتها ٣٠ درجة و٤٥ درجة و٦٠ درجة. وإحدى طرق ذلك هي استخدام جدول قيم كما هو موضح. في الأعمدة، لدينا الزوايا التي قياساتها ٣٠ درجة و٤٥ درجة و٦٠ درجة. وفي الصفوف، لدينا الدوال المثلثية. وعلى وجه التحديد، يحتوي الصف الأول من هذا الجدول على جذر واحد على اثنين، وجذر اثنين على اثنين، وجذر ثلاثة على اثنين. ويحتوي الصف الثاني من هذا الجدول على نفس ما يحتويه الصف الأول من الجدول ولكن بترتيب معكوس؛ فهو يحتوي على جذر ثلاثة على اثنين، ثم جذر اثنين على اثنين، وبعده جذر واحد على اثنين.

يمكننا إذن استخدام هذا الجدول لإيجاد قيمة جتا ٤٥ درجة. نلاحظ أن القيمة التي في صف جتا 𝜃 وفي عمود الزاوية ٤٥ درجة هي جذر اثنين على اثنين. وهذا يخبرنا إذن أن جتا ٤٥ درجة يساوي جذر اثنين على اثنين. ويمكننا فعل الأمر نفسه مع جا ٣٠ درجة. سنجد أنه يساوي نصفًا. وسنعوض الآن بهاتين القيمتين في المقدار لدينا. هذا يعطينا اثنين جتا ٤٥ درجة جا ٣٠ درجة يساوي اثنين في جذر اثنين على اثنين مضروبًا في نصف. بعد ذلك، يمكننا حذف العامل المشترك اثنين لنحصل على الإجابة النهائية؛ وهي جذر اثنين مقسومًا على اثنين.

حسنًا، لقد استخدمنا حتى الآن المثلثات القائمة الزاوية لتساعدنا في إيجاد قيم الدوال المثلثية. ولكن، من الممكن أيضًا إجراء هذه العملية بطريقة عكسية. إذا علمنا النسب بين أطوال الأضلاع في المثلث القائم الزاوية، فيمكننا استخدام هذه المعلومات لإيجاد قياس الزاوية المطلوبة في المثلث القائم الزاوية. على سبيل المثال، سنفترض أننا نعلم أن طول الضلع المقابل مقسومًا على طول الضلع المجاور يساوي واحدًا. إذن، هناك العديد من الطرق التي يمكننا من خلالها إيجاد قياس الزاوية 𝜃.

وتتمثل إحدى هذه الطرق في ملاحظة أن طول الضلع المقابل يساوي طول الضلع المجاور؛ أي إن لدينا مثلثًا قائم الزاوية متساوي الساقين. وهذا يعني أن قياس الزاوية المجهولة الأخرى يساوي 𝜃 أيضًا. إذن، قياس الزاوية 𝜃 يساوي ٤٥ درجة. وبكتابة ذلك على الشكل، يمكننا أن نلاحظ شيئًا مثيرًا للاهتمام بشأن هذا المثلث القائم الزاوية. هذا المثلث القائم الزاوية يشبه المثلث القائم الزاوية الذي أطوال أضلاعه هي واحد وواحد وجذر اثنين؛ وفقًا لمسلمة تطابق مثلثين بتطابق ثلاث زوايا. هذا هو المثلث القائم الزاوية الذي ساعدنا في إيجاد أن ظا ٤٥ درجة يساوي واحدًا. إذن، الطريقة الأخرى لحل هذا السؤال هي ملاحظة أن هذين المثلثين القائمي الزاوية متشابهان، ثم تصغير هذا المثلث القائم الزاوية إلى المثلث القائم الزاوية المعطى. بعد ذلك، يمكننا استخدام حقيقة أن ظا ٤٥ درجة يساوي واحدًا لاستنتاج أن قياس الزاوية هو ٤٥ درجة.

لمساعدتنا في فهم هذه العلاقة على نحو أفضل، دعونا نتعرف على الدوال المثلثية العكسية وبعض خواصها. حسنًا، إذا كان ﺃ أكبر من صفر وأصغر من واحد، فإن 𝜃 يساوي الدالة العكسية لـ جا ﺃ هو الحل الوحيد الذي يمثل زاوية حادة للمعادلة جا 𝜃 يساوي ﺃ، و𝜃 يساوي الدالة العكسية لـ جتا ﺃ هو الحل الوحيد الذي يمثل زاوية حادة للمعادلة جتا 𝜃 يساوي ﺃ.

بعد ذلك، إذا كان ﺃ موجبًا، فإن 𝜃 يساوي الدالة العكسية لـ ظا ﺃ هو الحل الوحيد الذي يمثل زاوية حادة للمعادلة ظا 𝜃 يساوي ﺃ. تأخذ الدوال المثلثية العكسية النسبة التي قيمتها ﺃ كقيمة مدخلة، وتكون القيمة المخرجة هي 𝜃، وهي الزاوية في المثلث القائم الزاوية لهذه النسبة. وتخبرنا هذه الخواص بالتحديد أن الزاوية وحيدة. لذا، فنحن لا نحتاج إلا إلى النسبة بين أطوال الأضلاع في المثلث القائم الزاوية لإيجاد قياس الزاوية.

هيا نتناول مثالًا على تطبيق الدوال المثلثية العكسية لمساعدتنا في حل معادلة.

إذا كان جتا ﺱ يساوي نصفًا، فأوجد قيمة ﺱ؛ حيث صفر درجة أصغر من ﺱ أصغر من ٩٠ درجة.

في هذا السؤال، لدينا معادلة مثلثية تتضمن ﺱ. ومطلوب منا إيجاد قيمة ﺱ، وعلمنا من السؤال أن ﺱ زاوية حادة. وبما أن ﺱ زاوية حادة؛ فهذا يعني أن ﺱ يمكن أن تكون زاوية في مثلث قائم الزاوية. يمكننا تذكر أن جيب تمام الزاوية الحادة يساوي نسبة طول الضلع المجاور للزاوية مقسومًا على طول الوتر في المثلث القائم الزاوية. وعليه، فإن المعادلة جتا ﺱ يساوي نصفًا تخبرنا بالنسبة بين طولي ضلعين في مثلث قائم الزاوية. نتذكر بعد ذلك أنه يمكننا حل ذلك باستخدام الدوال المثلثية العكسية. على وجه التحديد، 𝜃 يساوي الدالة العكسية لـ جتا ﺃ هو الحل الوحيد الذي يمثل زاوية حادة للمعادلة جتا 𝜃 يساوي ﺃ؛ حيث يجب أن تكون قيمة ﺃ بين صفر وواحد.

في هذه المعادلة، يمكننا ملاحظة أن قيمة ﺃ، أي النسبة، تساوي نصفًا. ومن ثم، فإن هذه الخاصية توضح أن ﺱ يساوي الدالة العكسية لـ جتا نصف. ويمكننا إيجاد قيمة الدالة العكسية لـ جتا نصف بتذكر أن جتا ٦٠ درجة يساوي نصفًا. وتذكر أن هذه الخاصية توضح أن الحل الذي يمثل زاوية حادة هو حل وحيد. وبما أن جتا ٦٠ درجة يساوي نصفًا، يمكننا إذن ملاحظة أن ﺱ يساوي ٦٠ درجة هو حل المعادلة. وعليه، فإن الدالة العكسية لـ جتا نصف تساوي ٦٠ درجة، وﺱ يساوي ٦٠ درجة هو حل المعادلة.

دعونا الآن نستعرض بعض النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الفيديو. في البداية، أوضحنا أنه يمكننا إيجاد قيم الدوال المثلثية من خلال رسم مثلثات قائمة الزاوية ذات أطوال أضلاع وقياسات زوايا معلومة. وعلى وجه التحديد، يمكننا استخدام النتائج الهندسية لإنشاء هذين المثلثين القائمي الزاوية. يمكننا إنشاء المثلث القائم الزاوية الأول عن طريق تقسيم مربع وحدة باستخدام أحد قطريه. ويمكننا إنشاء المثلث القائم الزاوية الثاني عن طريق تقسيم مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه اثنان باستخدام أحد متوسطاته. وبعد ذلك، يمكننا تطبيق حساب المثلثات للمثلثات القائمة الزاوية على هذين المثلثين القائمي الزاوية لإيجاد قيم دوال الجيب وجيب التمام والظل عند الزوايا التي قياساتها ٣٠ درجة و٤٥ درجة و٦٠ درجة. يمكننا بعد ذلك إنشاء جدول قيم ليساعدنا على تذكر كل هذه القيم.

وأخيرًا، عرفنا أنه يمكننا استخدام الدوال المثلثية العكسية لحل المعادلات وإيجاد قياسات الزوايا المجهولة. وعلى وجه التحديد، تعطينا هذه الدوال المثلثية العكسية حلولًا وحيدة للزوايا الحادة. فعندما نعرف قيم دوال الجيب وجيب التمام والظل للزوايا التي قياساتها ٣٠ درجة و٤٥ درجة و٦٠ درجة، يمكننا استخدام هذه القيم بالإضافة إلى حقيقة أن الحلول التي تمثل الزوايا الحادة هي حلول وحيدة لكي نحل كل هذه المعادلات.