فيديو: امتحان التفاضل والتكامل للعام السابق • ٢٠١٨/٢٠١٧ • السؤال السادس

امتحان التفاضل والتكامل للعام السابق • ٢٠١٨/٢٠١٧ • السؤال السادس

١٠:٣٢

‏نسخة الفيديو النصية

إذا كانت المشتقة الأولى للدالة د س بتساوي سالب اتنين س زائد ستة، فأيّ العبارات الآتية ليس صوابًا؟ معطى أربع عبارات؛ العبارة أ: منحنى الدالة د محدَّب لأعلى في الفترة المفتوحة من سالب ما لا نهاية لما لا نهاية. العبارة ب: الدالة د لها قيمة صغرى محلِّيَّة عند س بتساوي تلاتة. العبارة ج: منحنى الدالة د ليس له نقاط انقلاب. العبارة د: الدالة د تناقصية في الفترة المفتوحة من تلاتة لما لا نهاية.

في البداية، لو افترضنا عندنا أيّ دالة، ولتكن مثلًا الدالة ر س، فمن خلال المشتقة الأولى للدالة ر س نقدر نحدّد فترات تزايد وتناقص الدالة. ونقدر نحدِّد القيم القصوى المحلِّيَّة. ونقدر نحدِّد القيم القصوى المطلَقة. ومن خلال المشتقة التانية للدالة ر س، بنقدر نحدِّد تحدُّب منحنى الدالة ونقاط الانقلاب. يعني هنلاحظ إننا هنختبر صواب العبارة ب والعبارة د من خلال المشتقة الأولى للدالة. وهنختبر صواب العبارة أ والعبارة ج من خلال المشتقة التانية للدالة.

أول حاجة هنختبر صواب العبارة د باستخدام المشتقة الأولى للدالة. وعشان نقدر نختبر صواب العبارة؛ إن الدالة د تناقصية في الفترة المفتوحة من تلاتة لما لا نهاية. فمحتاجين نحدِّد فترات تزايد وتناقص الدالة من خلال بعض الخطوات. اللي هتكون أول خطوة: محتاجين نوجد المشتقة الأولى للدالة د س. تاني خطوة: هنحلّ المعادلة إن المشتقة الأولى للدالة د س بتساوي صفر. تالت خطوة: هنبحث إشارة المشتقة الأولى للدالة د س. لو كانت المشتقة الأولى للدالة د س أكبر من الصفر، فالدالة د هتكون تزايدية على الفترة. لو كانت إشارة المشتقة الأولى للدالة د س أصغر مِ الصفر، فالدالة د هتكون تناقصية على الفترة.

وبتنفيذ الخطوات، أول خطوة: محتاجين نوجد المشتقة الأولى للدالة د س. فهنلاحظ إن معطى عندنا المشتقة الأولى للدالة د س، واللي بتساوي سالب اتنين س زائد ستة. يبقى كده قدرنا نوجد أول خطوة. بالنسبة لتاني خطوة، محتاجين نحلّ المعادلة إن المشتقة الأولى للدالة د س بتساوي صفر. فعند المشتقَّة الأولى للدالة د س بتساوي صفر هيكون عندنا سالب اتنين س زائد ستة هيساوي صفر. هنطرح ستة مِ الطرفين، فهيكون عندنا سالب اتنين س هتساوي سالب ستة. هنقسم الطرفين على اتنين، فَـ س هتساوي تلاتة. يبقى عند المشتقة الأولى للدالة د س بتساوي صفر هنجد إن س بتساوي تلاتة. ويبقى كده قدرنا نحلّ المعادلة إن المشتقة الأولى للدالة د س بتساوي صفر.

محتاجين نبحث إشارة المشتقة الأولى للدالة د س. فمن خلال الجدول الآتي أول صفّ هيكون عندنا قيم س. تاني صفّ هيكون عندنا إشارة المشتقة الأولى للدالة د س. تالت صفّ هيكون عندنا سلوك الدالة د س. بالنسبة لقيم س، قدرنا نوجد إن س هتساوي تلاتة لمَّا تكون المشتقة الأولى للدالة د س بتساوي صفر. وهيكون عندنا بداية ونهاية الفترة. يعني هيكون عندنا سالب ما لا نهاية وما لا نهاية. هنلاحظ إن هيكون عندنا فترتين؛ أول فترة من سالب ما لا نهاية إلى تلاتة، وتاني فترة من تلاتة إلى ما لا نهاية.

بالنسبة لأول فترة من سالب ما لا نهاية إلى تلاتة، محتاجين ندرس إشارة المشتقة الأولى للدالة د س في الفترة. فهنختار أيّ قيمة لِـ س بداخل الفترة، ولتكن مثلًا عند س بصفر. وهنعوَّض في المشتقة الأولى للدالة د س عن س بصفر. يعني هتساوي سالب اتنين في صفر، زائد ستة، يعني هتساوي ستة. وبما إن إشارة المشتقة الأولى للدالة د س كانت موجبة، يعني الدالة هتكون تزايدية في الفترة. فسلوك الدالة هيكون بالشكل ده.

بالنسبة لتاني فترة، وهي الفترة من تلاتة لما لا نهاية، هنختار أيّ قيمة لِـ س بداخل الفترة، ولتكن مثلًا عند س بتساوي أربعة. هنعوَّض عن س بأربعة في المشتقة الأولى للدالة د س. فهيكون عندنا سالب اتنين في أربعة، زائد ستة، يعني هتساوي سالب اتنين. فهنلاحظ إن إشارة المشتقة الأولى للدالة د س هتكون سالبة. وبالتالي الدالة هتكون تناقصية في الفترة، يعني سلوك الدالة د س هيكون بالشكل ده. وبكده نكون قدرنا نبحث إشارة المشتقة الأولى للدالة د س. فهنقدر نلاحظ إن الدالة د هتكون تزايدية في الفترة المفتوحة من سالب ما لا نهاية إلى تلاتة. والدالة د هتكون تناقصية في الفترة المفتوحة من تلاتة لما لا نهاية. وبالتالي العبارة د هتكون عبارة صحيحة. يبقى كده قدرنا نختبر صواب العبارة د.

محتاجين نختبر صواب العبارة ب. فعشان نقدر نختبر صواب إن الدالة د لها قيمة صغرى محلِّيَّة عند س بتساوي تلاتة، هنستخدم المشتقة الأولى للدالة د س. وهنوجد القيم القصوى المحلِّيَّة للدالة د من خلال بعض الخطوات؛ أول خطوة: محتاجين نوجد المشتقة الأولى للدالة د س. تاني خطوة: محتاجين نحدِّد النقاط الحرجة. تالت خطوة: محتاجين نبحث إشارة المشتقَّة الأولى للدالة د س. لو كانت إشارتها تغيّرت من موجبة إلى سالبة، فهيكون عندنا قيمة عظمى محلِّيَّة. ولو كانت إشارتها تغيّرت من سالبة إلى موجبة، هيكون عندنا قيمة صغرى محلِّيَّة.

وبتنفيذ الخطوات، أول خطوة: محتاجين نوجد المشتقة الأولى للدالة د س. فهنلاحظ إن معطى عندنا المشتقة الأولى للدالة د س بتساوي سالب اتنين س زائد ستة. يبقى كده قدرنا نوجد أول خطوة.

بالنسبة لتاني خطوة: محتاجين نحدِّد النقاط الحرجة. فالنقاط الحرجة بتكون هي النقاط اللي بتجعل المشتقة الأولى للدالة د س بتساوي صفر. أو النقاط اللي بتجعل المشتقة الأولى للدالة د س غير موجودة. وبما إن المشتقة الأولى للدالة د س معرَّفة لجميع قيم س الحقيقية، فليس هناك قيم لِـ س بتجعل المشتقة الأولى للدالة د س غير موجودة. يبقى النقاط الحرجة هتكون هي النقاط اللي بتجعل المشتقة الأولى للدالة د س بتساوي صفر. من الخطوات السابقة، قدرنا نوجد إن لمَّا تكون المشتقة الأولى للدالة د س بتساوي صفر، س هتساوي تلاتة. يبقى كده قدرنا نحدِّد النقاط الحرجة.

تالت خطوة: محتاجين نبحث إشارة المشتقة الأولى للدالة د س. من الخطوات السابقة، قدرنا نكوِّن الجدول اللي بنبحث فيه إشارة المشتقة الأولى للدالة د س، واللي كان بالشكل ده. يبقى كده نكون قدرنا نبحث إشارة المشتقة الأولى للدالة د س. من الجدول، هنلاحظ إن إشارة المشتقة الأولى للدالة د س تغيَّرت من موجبة إلى سالبة عند س بتساوي تلاتة. وبالتالي هيكون عندنا قيمة عظمى محلِّيَّة عند س بتساوي تلاتة. هنلاحظ إن معطى في العبارة ب إن الدالة لها قيمة صغرى محلِّيَّة عند س بتساوي تلاتة. وبالتالي العبارة ب هتكون عبارة خاطئة. يبقى كده قدرنا نختبر صواب العبارة ب.

محتاجين نختبر صواب العبارة أ. وعشان نقدر نختبر صواب العبارة أ، محتاجين نستخدم المشتقة التانية للدالة د س. وعشان نقدر نوجد تحدُّب منحنى الدالة، محتاجين ننفّذ بعض الخطوات؛ أول خطوة: محتاجين نوجد المشتقة التانية للدالة د س. تاني خطوة: محتاجين نحلّ المعادلة إن المشتقة التانية للدالة د س بتساوي صفر. تالت خطوة: محتاجين نبحث إشارة المشتقة التانية للدالة د س. لو كانت المشتقة التانية للدالة د س أكبر من صفر، فهيكون منحنى الدالة محدَّب لأسفل في الفترة. ولو كانت المشتقة التانية للدالة د س أصغر مِ الصفر، فهيكون منحنى الدالة محدَّب لأعلى في الفترة.

وبتنفيذ الخطوات، أول خطوة: محتاجين نوجد المشتقة التانية للدالة د س. معطى عندنا المشتقة الأولى للدالة د س، واللي بتساوي سالب اتنين س زائد ستة. فالمشتقة التانية للدالة د س هتساوي … مشتقة سالب اتنين س هتساوي سالب اتنين، ومشتقَّة ستة هتساوي صفر. يبقى المشتقة التانية للدالة د س هتساوي سالب اتنين. وبكده نكون قدرنا نوجد المشتقة التانية للدالة د س. محتاجين نحلّ المعادلة إن المشتقة التانية للدالة د س بتساوي صفر. هنلاحظ إن المشتقة التانية للدالة د س بتساوي سالب اتنين. يعني هيكون ليس هناك قيم لِـ س بتجعل المشتقة التانية للدالة د س بتساوي صفر. وبالتالي يبقى قدرنا ننفِّذ تاني خطوة.

بالنسبة لتالت خطوة، محتاجين نبحث إشارة المشتقة التانية للدالة د س. فمن خلال الجدول، أول صفّ هيكون عندنا قيم س. تاني صفّ هيكون عندنا إشارة المشتقة التانية للدالة د س. تالت صفّ هيكون عندنا تحدُّب منحنى الدالة د س بالنسبة لقيم س، بما إن لا يوجد قيم لِـ س بتجعل المشتقة التانية للدالة د س بتساوي صفر. فهيكون عندنا بداية ونهاية الفترة فقط، اللي هي سالب ما لا نهاية وما لا نهاية.

محتاجين ندرس إشارة المشتقة التانية للدالة د س بداخل الفترة من سالب ما لا نهاية إلى ما لا نهاية. هنختار أيّ قيمة لِـ س مثلًا عند س بتساوي صفر. فهنجد إن المشتقة التانية للدالة د س عند س بتساوي صفر هتساوي سالب اتنين. بالتالي إشارتها هتكون سالبة. يعني هيكون عندنا منحنى الدالة محدَّب لأعلى في الفترة من سالب ما لا نهاية لما لا نهاية. يعني هيكون بالشكل ده. يبقى كده قدرنا نبحث إشارة المشتقة التانية للدالة د س. ونقدر نلاحظ إن منحنى الدالة د محدَّب لأعلى في الفترة المفتوحة من سالب ما لا نهاية لما لا نهاية. وبالتالي العبارة أ هتكون صواب. يبقى كده قدرنا نختبر صواب العبارة أ.

آخر حاجة، محتاجين نختبر صواب العبارة ج. عشان نقدر نختبر صواب إن منحنى الدالة د ليس له نقط انقلاب، محتاجين نستخدم المشتقة التانية للدالة د س. وهنحدِّد نقط انقلاب منحنى الدالة من خلال بعض الخطوات؛ أول خطوة: محتاجين نوجد المشتقة التانية للدالة د س. تاني خطوة: محتاجين نحلّ المعادلة للمشتقة التانية للدالة د س بتساوي صفر. تالت خطوة: محتاجين نبحث إشارة المشتقة التانية للدالة د س. ولو تغيَّر منحنى الدالة من محدَّب لأعلى إلى محدَّب لأسفل هيكون عندنا نقطة انقلاب. وأيضًا لو تغيَّر منحنى الدالة من محدَّب لأسفل إلى محدَّب لأعلى هيكون عندنا نقطة انقلاب.

وبتنفيذ الخطوات، أول خطوة: محتاجين نوجد المشتقة التانية للدالة د س. فمن الخطوات السابقة قدرنا نوجد إن المشتقة التانية للدالة د س هتساوي سالب اتنين. كده نكون قدرنا نوجد أول خطوة. بالنسبة لتاني خطوة، محتاجين نحلّ المعادلة إن المشتقة التانية للدالة د س بتساوي صفر. ومن الخطوات السابقة، قدرنا نستنتج إن لا يوجد قيم لِـ س بتجعل المشتقَّة التانية للدالة د س بتساوي صفر. كده نكون نفّذنا تاني خطوة.

بالنسبة لتالت خطوة، محتاجين نبحث إشارة المشتقة التانية للدالة د س. فمن الخطوات السابقة، قدرنا نكوِّن الجدول اللي بنبحث فيه إشارة المشتقة التانية للدالة د س، وكان بالشكل ده. هنلاحظ إن منحنى الدالة د س كان محدَّب لأعلى في الفترة من سالب ما لا نهاية إلى ما لا نهاية. وبالتالي لم يتغيَّر منحنى الدالة د س من محدَّب لأعلى إلى محدَّب لأسفل، أو من محدَّب لأسفل إلى محدَّب لأعلى. وبالتالي منحنى الدالة هيكون ليس له نقط انقلاب. وبالتالي العبارة ج هتكون صواب.

وبكده نقدر نلاحظ إن العبارة ب هتكون ليس صوابًا. يعني الإجابة هتكون: العبارة ب.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.