نسخة الفيديو النصية
أوجد مجموعة القيم التي تحقق المعادلة أربعة في جا تربيع 𝜃 ناقص واحد يساوي صفرًا، إذا كانت 𝜃 أكبر من صفر درجة وأقل من ١٨٠ درجة.
دعونا نبدأ بإيجاد قيمة جا 𝜃. سنضيف واحدًا إلى طرفي المعادلة. وهكذا، يصبح لدينا أربعة في جا تربيع 𝜃 يساوي واحدًا. بعد ذلك، نقسم كل طرف على أربعة. وهذا يعطينا جا تربيع 𝜃 يساوي ربعًا. بحساب ذلك، نجد أن جا 𝜃 يساوي الجذر التربيعي الموجب والسالب لربع. لتبسيط الجذر التربيعي الناتج لأي خارج قسمة، نوجد الجذر التربيعي لكل من البسط والمقام. إذن جا 𝜃 يساوي موجب وسالب نصف. بما أن دالة الجيب دالة دورية، فسيكون لهذه المعادلة عدد لا نهائي من الحلول إذا لم تكن لدينا قيود على 𝜃. وقد علمنا من السؤال أن 𝜃 أكبر من صفر درجة وأقل من ١٨٠ درجة.
يمكننا الآن تذكر التمثيل البياني المعتاد لجيب زاوية ما مقابل هذه الزاوية. نلاحظ هنا أن جا 𝜃 يساوي نصفًا مرتين في الفترة المفتوحة من صفر إلى ١٨٠ درجة. ولقد حددنا هذين الموضعين بعلامتين باللون الأزرق. لكن، بما أن جا 𝜃 لا يمكن أبدًا أن يساوي سالب نصف بين صفر و١٨٠ درجة، فهذا يعني أنه ليس لدينا حلول للمعادلة جا 𝜃 يساوي سالب نصف.
علينا الآن إيجاد قيمتي 𝜃 اللتين تجعلان جا 𝜃 يساوي نصفًا. لا يتضح الحلان الدقيقان بمجرد النظر إلى التمثيل البياني. لكننا نلاحظ أن أحد الحلين أقل من ٩٠ درجة، والحل الآخر أقرب إلى ١٨٠ درجة. لكن إذا أخذنا الدالة العكسية للجيب لطرفي المعادلة، فسنحصل على المعادلة 𝜃 تساوي الدالة العكسية لـ جا نصف. بعد ذلك، يمكننا استخدام الآلة الحاسبة بعد ضبطها على وضع الدرجات لإيجاد الناتج الأول وهو ٣٠ درجة. لكن عندما نستخدم الدالة العكسية للجيب، نحصل على حل واحد فقط من الحلين اللذين يقعان بين صفر و١٨٠ درجة. وذلك لأن الدالة العكسية للجيب تعرف فقط على الفترة بين سالب ٩٠ درجة و٩٠ درجة. ومن ثم فهي تعطينا قيمة واحدة فقط لـ 𝜃.
لإيجاد القيمة الثانية لـ 𝜃، علينا تذكر العلاقة بين أضلاع المثلث القائم الزاوية ذي الزوايا الخاصة التي قياساتها ٣٠ و٦٠ و٩٠ درجة. دعونا نفرغ بعض المساحة لنبين ما نقصده. لغرض التوضيح، سنرسم مثلثًا مرجعيًّا يحتوي على زوايا قياساتها ٣٠ و٦٠ و٩٠ درجة على المستوى الإحداثي ﺱﺹ؛ حيث الوتر هو الضلع النهائي لزاوية قياسها ٣٠ درجة في الوضع القياسي. وفقًا لتعريف الدوال المثلثية بدلالة قيم الإحداثيات، إذا افترضنا أن ﺭ؛ أي طول الوتر، يساوي واحدًا، فإن جيب الزاوية يساوي ﺹ وجيب تمام الزاوية يساوي ﺱ. في المثلث الذي يحتوي على زوايا قياساتها ٣٠ و٦٠ و٩٠ درجة، طول الضلع المقابل للزاوية التي قياسها ٣٠ درجة يساوي دائمًا نصف طول الوتر. وطول الضلع المجاور للزاوية التي قياسها ٣٠ درجة يساوي دائمًا الجذر التربيعي لثلاثة في طول الضلع المقابل. يعني هذا أن ﺹ يساوي نصفًا وﺱ يساوي الجذر التربيعي لثلاثة على اثنين. هذا المثلث المرجعي الذي رسمناه يؤكد أن جا ٣٠ درجة يساوي نصفًا.
سنبحث الآن في الربع الثاني عن الحل الثاني للمعادلة؛ حيث تقع 𝜃 بين ٩٠ درجة و١٨٠ درجة. سنرسم مثلثًا مرجعيًّا آخر يحتوي على زوايا قياساتها ٣٠ و٦٠ و٩٠ درجة في الربع الثاني في الاتجاه السالب للمحور ﺱ وبنفس قياسات المثلث القائم الزاوية السابق. بما أن قيم ﺱ في الربع الثاني ستكون دائمًا سالبة، فإننا نعلم أن ﺱ يساوي الجذر التربيعي السالب لثلاثة على اثنين. لكن الأهم من ذلك أن قيمة ﺹ تظل كما هي. وهذا يعني أن جيب الزاوية لا يزال يساوي نصفًا.
لا يزال قياس الزاوية المرجعية في الربع الثاني يساوي ٣٠ درجة. لكن علينا إيجاد قياس هذه الزاوية في الوضع القياسي. نحن نعلم أن قياس أي زاوية يكون ضلعها النهائي على الجزء السالب للمحور ﺱ يساوي ١٨٠ درجة. الزاوية التي لدينا تكافئ الدوران بمقدار ٣٠ درجة في اتجاه عقارب الساعة من الجزء السالب للمحور ﺱ. وهذا يذكرنا بإحدى المتطابقات المثلثية للزاويتين المتتامتين للجيب، والتي توضح أن جا 𝜃 يساوي جا ١٨٠ درجة ناقص 𝜃. وتر المثلث الأول هو الضلع النهائي للزاوية 𝜃، ووتر المثلث الثاني هو الضلع النهائي للزاوية ١٨٠ درجة ناقص 𝜃.
لقد أوجدنا أن قياس الزاوية 𝜃 في الربع الأول يساوي ٣٠ درجة. ومن ثم وفقًا للمتطابقة المثلثية للزاويتين المتتامتين التي ذكرناها الآن، فإن جا ٣٠ درجة يساوي جا ١٨٠ درجة ناقص ٣٠ درجة، وهذا يساوي ١٥٠ درجة. بذلك نكون أوضحنا أن كلًّا من جا ٣٠ درجة وجا ١٥٠ درجة يساوي نصفًا. إذن، المجموعة التي تحتوي على ٣٠ درجة و١٥٠ درجة هي المجموعة التي تحقق المعادلة أربعة في جا تربيع 𝜃 ناقص واحد يساوي صفرًا، إذا كانت 𝜃 أكبر من صفر درجة وأقل من ١٨٠ درجة.
