نسخة الفيديو النصية
إذا كان ﺹ يساوي ستة ﺱ تكعيب مضروبًا في جا اثنين ﺱ أس أربعة زائد أربعة، فأوجد ﺩﺹ على ﺩﺱ.
المطلوب منا في السؤال هو إيجاد المشتقة الأولى لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ، ونلاحظ أن ﺹ هو حاصل ضرب دالتين. إنه حاصل ضرب ستة ﺱ تكعيب وجا اثنين ﺱ أس أربعة زائد أربعة. ولإيجاد مشتقة حاصل ضرب دالتين، علينا استخدام قاعدة الضرب للاشتقاق. تنص قاعدة الضرب إذا كان ﺹ هو حاصل ضرب دالتين ﻉﺱ وﻕﺱ، فإن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ﻕﺱ مضروبًا في ﺩﻉ على ﺩﺱ زائد ﻉﺱ مضروبًا في ﺩﻕ على ﺩﺱ. لاستخدام قاعدة مشتقة حاصل الضرب، سنجعل الدالة ﻉﺱ تساوي ستة ﺱ تكعيب، والدالة ﻕﺱ تساوي جا اثنين ﺱ أس أربعة زائد أربعة.
لكي نتمكن من استخدام قاعدة مشتقة حاصل الضرب، علينا إيجاد تعبيرين لكل من ﺩﻉ على ﺩﺱ، وﺩﻕ على ﺩﺱ. لنبدأ بإيجاد ﺩﻉ على ﺩﺱ. وهي مشتقة ستة ﺱ تكعيب بالنسبة إلى ﺱ. يمكننا حساب ذلك باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق. نضرب في أس الأساس ﺱ ثم نطرح واحدًا من هذا الأس. فنحصل على ١٨ﺱ تربيع. نريد الآن إيجاد تعبير لـ ﺩﻕ على ﺩﺱ. وهي إذن مشتقة جا اثنين ﺱ أس أربعة زائد أربعة بالنسبة إلى ﺱ. لكننا لا نستطيع حساب هذه المشتقة مباشرة لأنها ليست على الصورة القياسية، وإن كنا نستطيع أن نلاحظ أن هذه هي مشتقة لتركيب من دالتين. وهو عبارة عن جا اثنين ﺱ أس أربعة زائد أربعة.
ونعلم كيفية اشتقاق تركيب دالتين باستخدام قاعدة السلسلة. ونتذكر أن قاعدة السلسلة تقول إنه إذا كان لدينا ﻕ دالة في ﻭ وﻭ دالة في ﺱ، فإن ﺩﻕ على ﺩﺱ يساوي ﺩﻕ على ﺩﻭ مضروبًا في ﺩﻭ على ﺩﺱ. في هذه الحالة، لدينا ﻕ هو تركيب دالة الجيب وكثيرة الحدود. وعليه، إذا جعلنا ﻭ هي الدالة الداخلية اثنين ﺱ أس أربعة زائد أربعة، فإن ﻕﺱ تساوي جا ﻭ. إذن ﻕ هي دالة في ﻭ، وﻭ بدورها دالة في ﺱ. ما يعني أنه يمكننا حساب مشتقة ﻕ بالنسبة إلى ﺱ باستخدام قاعدة السلسلة. وقد عرفنا أن هذا يساوي ﺩﻕ على ﺩﻭ مضروبًا في ﺩﻭ على ﺩﺱ.
يمكننا إيجاد تعبيرين لكلتا هاتين المشتقتين. أولًا، ﺩﻕ على ﺩﻭ هو مشتقة ﻕ بالنسبة إلى ﻭ. ونعرف أن ﻕ يساوي جا ﻭ. إذن ﺩﻕ على ﺩﻭ يساوي مشتقة جا ﻭ بالنسبة إلى ﻭ. يمكننا فعل الأمر نفسه مع ﺩﻭ على ﺩﺱ. وهي مشتقة ﻭ بالنسبة إلى ﺱ. وﻭ يساوي اثنين ﺱ أس أربعة زائد أربعة. نستطيع الآن إيجاد قيمة هاتين المشتقتين. أولًا، نعرف أن مشتقة جا ﻭ بالنسبة إلى ﻭ تساوي جتا ﻭ. بعد ذلك، يمكننا حساب مشتقة اثنين ﺱ أس أربعة زائد أربعة بالنسبة إلى ﺱ باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق. نضرب في أس الأساس ﺱ ونطرح واحدًا من هذا الأس. فنحصل على ثمانية ﺱ تكعيب. وبالطبع، فإن مشتقة الثابت أربعة تساوي صفرًا.
وأخيرًا، بما أن هذا تعبير لـ ﺩﻕ على ﺩﺱ، فإننا نريد أن يكون الناتج بدلالة ﺱ. سنفعل ذلك باستخدام التعويض حيث ﻭ يساوي اثنين ﺱ أس أربعة زائد أربعة. وهذا يعطينا ﺩﻕ على ﺩﺱ يساوي ثمانية ﺱ تكعيب في جتا اثنين ﺱ أس أربعة زائد أربعة. نحن الآن جاهزون لإيجاد تعبير لـ ﺩﺹ على ﺩﺱ. ووفقًا لقاعدة الضرب، فإن ذلك يساوي ﻕﺱ مضروبًا في ﺩﻉ على ﺩﺱ زائد ﻉﺱ مضروبًا في ﺩﻕ على ﺩﺱ. بالتعويض بتعبيرات ﻉﺱ، وﻕﺱ، وﺩﻉ على ﺩﺱ، وﺩﻕ على ﺩﺱ، نحصل على ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي جا اثنين ﺱ أس أربعة زائد أربعة مضروبًا في ١٨ﺱ تربيع زائد ستة ﺱ تكعيب مضروبًا في ثمانية ﺱ تكعيب في جتا اثنين ﺱ أس أربعة زائد أربعة.
بتبسيط هذا التعبير وإعادة ترتيبه، نكون قد أوضحنا أنه إذا كان ﺹ يساوي ستة ﺱ تكعيب مضروبًا في جا اثنين ﺱ أس أربعة زائد أربعة. إذن تكون ﺩﺹ على ﺩﺱ تساوي ٤٨ﺱ أس ستة مضروبًا في جتا اثنين ﺱ أس أربعة زائد أربعة زائد ١٨ﺱ تربيع في جا اثنين ﺱ أس أربعة زائد أربعة.
