نسخة الفيديو النصية
في الشكل المعطى، إذا كانت ﺃﺩ لا تساوي ﺃﺏ التي لا تساوي ﺏﺟ، فأي مما يأتي مماس للدائرة التي تمر برءوس المثلث ﺃﺏﻫ؟ أ: القطعة المستقيمة ﺃﺩ، ب: القطعة المستقيمة ﺏﺟ، ج: الشعاع ﺏﺹ، د: القطعة المستقيمة ﻫﺟ، هـ: القطعة المستقيمة ﻫﺩ.
لفهم السؤال، دعونا أولًا نوضح على الشكل موضع الدائرة التي تمر برءوس المثلث ﺃﺏﻫ. نلاحظ هنا المثلث ﺃﺏﻫ والدائرة التي تمر بهذه الرءوس الثلاثة.
بالنظر إلى الخيارات لدينا للمماسات الممكنة لهذه الدائرة الجديدة، نجد أنه يبدو منطقيًّا أن تكون القطعة المستقيمة ﺃﺩ مماسًّا؛ وهي القطعة المستقيمة المذكورة في الخيار أ. يبدو منطقيًّا أيضًا أن تكون القطعة المستقيمة ﺏﺟ مماسًّا، وهي القطعة المستقيمة المذكورة في الخيار ب. لكن يمكننا استبعاد الشعاع ﺏﺹ، أي الخيار ج، لأنه يمر عبر الدائرة مباشرة. كذلك يمكننا استبعاد القطعة المستقيمة ﻫﺟ؛ لأنها امتداد للوتر ﺃﻫ، ولهذا السبب نفسه يمكننا استبعاد القطعة المستقيمة ﻫﺩ أيضًا.
لتضييق نطاق الإجابة أكثر فيما بين الخيارين المتبقيين، أي الخيار أ والخيار ب، علينا التفكير في الزوايا الموجودة داخل هذا الشكل. نلاحظ في الشكل لدينا أن القطعة المستقيمة ﺏﺩ موازية للشعاع 𝑋ﺟ، والشعاع 𝑋ﺟ مماس للدائرة الأكبر. وبما أن القطعة المستقيمة ﺏﺟ تتقاطع مع خطين مستقيمين متوازيين، إذن فهي قاطع، ومن ثم سيكون قياسا الزاويتين 𝑋ﺟﺏ، ﺟﺏﻫ متساويين. وبما أن المثلث ﺃﺟﺏ مرسوم داخل الدائرة الأكبر، والنقطة ﺟ نقطة تماس، فإنه وفقًا لنظرية القطاع المتبادل، سيكون قياس الزاوية ﺏﺃﺟ مساويًا لقياس الزاوية 𝑋ﺟﺏ.
تذكر أن نظرية القطاع المتبادل تنص على أنه إذا كانت ﺃ، ﺏ نقطتين على دائرة وﺟ نقطة تماس على الدائرة، فإن قياس الزاوية المماسية ﺏﺟ𝑆 يساوي قياس الزاوية ﺏﺃﺟ في القطاع المتبادل. ونظرًا لأنه قد تبين أن قياس الزاوية ﺟﺏﻫ يساوي قياس الزاوية ﺏﺃﻫ، فإنه وفقًا لعكس نظرية القطاع المتبادل، القطعة المستقيمة ﺏﺟ يجب أن تكون مماسًّا للدائرة التي تمر برءوس المثلث ﺃﺏﻫ. إذن، باستخدام خواص المستقيمات المتوازية ونظرية القطاع المتبادل وعكسها، تمكنا من إثبات أن القطعة المستقيمة ﺏﺟ مماس للدائرة التي تمر برءوس المثلث ﺃﺏﻫ.
لإكمال عملية استبعاد الخيارات، فإنه عند التفكير في الوتر ﺃﺩ، نجد أننا نعلم أن طوله لا يساوي طول الوتر ﺏﺟ. وإذا وضعنا في اعتبارنا حقيقة أن الزاويتين المقابلتين لنفس القوس متساويتان في القياس، فسنجد أن الزاويتين ﺃﺏﺩ، ﺃﺟﺩ متساويتان في القياس، وكذلك أيضًا الزاويتان ﺏﺃﺟ، ﺏﺩﺟ. لكن زوجي الزوايا هذين ليسا متساويين في القياس؛ لأن طولي القوسين اللذين يقابلانهما غير متساويين. ونلاحظ في الدائرة الأكبر أن هذا يعني أن قياس الزاوية ﺃﺏﺩ، ولنسمها 𝜑، لن يساوي قياس الزاوية ﺏﺃﺟ، أي الزاوية 𝜃.
دعونا نفرغ بعض المساحة، ونفترض أن القطعة المستقيمة ﺃﺩ مماس للدائرة التي تمر بالرءوس ﺃ، ﺏ، ﻫ. وفقًا لنظرية القطاع المتبادل، فإن الزاوية ﺃﺏﺩ، أي 𝜑، والزاوية ﺩﺃﻫ يجب أن يكونا متساويتين في القياس. وباستخدام حقيقة أن الزوايا المقابلة لنفس القوس متساوية في القياس مرة أخرى، نجد أن قياس الزاوية ﺩﺃﺟ يساوي قياس الزاوية ﺟﺏﺩ. لكننا أوضحنا بالفعل أن قياس الزاوية ﺟﺏﻫ، ومن ثم قياس الزاوية ﺟﺏﺩ أيضًا، يساوي 𝜃. هذا يجب أن يعني أن قياس الزاوية ﺩﺃﺟ، أي الزاوية ﺩﺃﻫ، يساوي أيضًا 𝜃. لكن قياس الزاوية ﺩﺃﻫ يساوي 𝜑، وقد عرفنا بالفعل أنها لا تساوي الزاوية 𝜃 في القياس. وعليه، يكون لدينا تناقض. بذلك نكون قد أثبتنا بالتناقض أن القطعة المستقيمة ﺃﺩ لا يمكن أن تكون مماسًّا للدائرة التي تمر برءوس المثلث ﺃﺏﻫ. ولذا نستبعد الخيار أ.
ومن ثم الخيار ب فقط، أي القطعة المستقيمة ﺏﺟ، هو الخيار الوحيد الذي يتضمن مماسًّا للدائرة التي تمر بالرءوس ﺃ، ﺏ، ﻫ.