فيديو السؤال: استخدام معادلة الاستمرارية لتمثيل سريان مائع قابل للانضغاط الفيزياء

نسخة الفيديو النصية

يسري غاز بانسيابية عبر أنبوب. تقل مساحة مقطع الأنبوب من 0.075 متر مربع إلى 0.025 متر مربع. يدخل الغاز الأنبوب بسرعة 1.8 متر لكل ثانية، ويخرج من الأنبوب بسرعة 2.0 متر لكل ثانية. كثافة الغاز عند دخوله الأنبوب تساوي 1.4 كيلوجرام لكل متر مكعب. ما نسبة كثافة الغاز عندما يدخل الأنبوب إلى كثافته عندما يخرج من الأنبوب؟ قرب إجابتك لأقرب منزلة عشرية.

سنبدأ برسم مخطط يوضح هذه الحالة. لدينا أنبوب تقل مساحة مقطعه من مساحة سنسميها ‪𝐴‬‏ واحد إلى مساحة سنسميها ‪𝐴‬‏ اثنين. يسري غاز بانسيابية عبر هذا الأنبوب، ويدخله بسرعة سنطلق عليها ‪𝑣‬‏ واحدًا. يخرج هذا الغاز من الأنبوب بسرعة سنطلق عليها ‪𝑣‬‏ اثنين. قبل أن تقل مساحة المقطع، تكون للغاز كثافة سنسميها ‪𝜌‬‏ واحدًا. وبعد أن تقل مساحة المقطع، تكون له كثافة سنسميها ‪𝜌‬‏ اثنين.

يطلب منا السؤال حساب نسبة كثافة الغاز عندما يدخل الأنبوب إلى كثافته عندما يخرج منه. إذن يطلب منا السؤال حساب ‪𝜌‬‏ واحد مقسومًا على ‪𝜌‬‏ اثنين. مذكور في معطيات السؤال أن مساحة مقطع الأنبوب تقل من 0.075 متر مربع إلى 0.025 متر مربع. هذا يعني أن ‪𝐴‬‏ واحدًا تساوي 0.075 متر مربع، و‪𝐴‬‏ اثنين تساوي 0.025 متر مربع.

مذكور في السؤال أيضًا أن الغاز يدخل الأنبوب بسرعة 1.8 متر لكل ثانية، ويخرج منه بسرعة 2.0 متر لكل ثانية. إذن ‪𝑣‬‏ واحدًا تساوي 1.8 متر لكل ثانية، و‪𝑣‬‏ اثنان تساوي 2.0 متر لكل ثانية. وأخيرًا، مذكور في السؤال أن كثافة الغاز عند دخوله الأنبوب تساوي 1.4 كيلوجرام لكل متر مكعب. إذن ‪𝜌‬‏ واحد تساوي 1.4 كيلوجرام لكل متر مكعب.

قبل استكمال الحل، من المهم ملاحظة أن كل القيم لدينا معطاة بوحدات النظام الدولي ‪(SI)‬‏. هذا يعني أننا لسنا بحاجة إلى تحويل أي منها قبل التعويض بها في أي معادلات أو استخدامها في أي عمليات حسابية. للإجابة عن هذا السؤال، سنستخدم معادلة الاستمرارية للموائع التي تنص على أن كثافة المائع مضروبة في مساحة مقطع الأنبوب الذي يسري فيه هذا المائع مضروبة في سرعة المائع تساوي ثابتًا. هذا يعني أنه يمكننا القول إن الكثافة مضروبة في مساحة المقطع مضروبة في السرعة قبل أن تقل مساحة مقطع الأنبوب تساوي الكثافة مضروبة في مساحة المقطع مضروبة في السرعة بعد أن قلت مساحة مقطع الأنبوب. علينا إعادة ترتيب هذه المعادلة للحصول على تعبير لـ ‪𝜌‬‏ واحد مقسومًا على ‪𝜌‬‏ اثنين.

سنبدأ بقسمة طرفي المعادلة على ‪𝜌‬‏ اثنين. نلاحظ في الطرف الأيمن أن حدي ‪𝜌‬‏ اثنين سيحذفان معًا. بعد ذلك سنقسم طرفي المعادلة على ‪𝐴‬‏ واحد مضروبًا في ‪𝑣‬‏ واحد. نلاحظ أن حدي ‪𝐴‬‏ واحد سيحذفان معًا. وسيحذف أيضًا حدا ‪𝑣‬‏ واحد معًا في الطرف الأيسر. هذا يعطينا تعبيرًا لـ ‪𝜌‬‏ واحد مقسومًا على ‪𝜌‬‏ اثنين، وهو يساوي ‪𝐴‬‏ اثنين في ‪𝑣‬‏ اثنين مقسومًا على ‪𝐴‬‏ واحد في ‪𝑣‬‏ واحد. نلاحظ هنا أننا لا نحتاج إلى قيمة ‪𝜌‬‏ واحد لحساب قيمة ‪𝜌‬‏ واحد مقسومة على ‪𝜌‬‏ اثنين.

بإفراغ بعض المساحة، يمكننا استكمال الحل الآن والتعويض بقيم ‪𝐴‬‏ واحد، و‪𝑣‬‏ واحد، و‪𝐴‬‏ اثنين، و‪𝑣‬‏ اثنين في هذه المعادلة، وهو ما يعطينا ‪𝜌‬‏ واحد مقسومًا على ‪𝜌‬‏ اثنين يساوي 0.025 متر مربع في 2.0 متر لكل ثانية مقسومًا على 0.075 متر مربع في 1.8 متر لكل ثانية. بحساب قيمة هذا التعبير وتقريب الناتج إلى أقرب منزلة عشرية، نجد أن ‪𝜌‬‏ واحد مقسومًا على ‪𝜌‬‏ اثنين يساوي 0.4. لاحظ أن هذا عدد فقط دون وحدات. إذن، نسبة كثافة الغاز عندما يدخل الأنبوب إلى كثافته عندما يخرج من الأنبوب تساوي 0.4.