فيديو السؤال: تكوين دالة الهدف لإيجاد أقل تكلفة بمعلومية التمثيل البياني للقيود الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

يستطيع مزارع تحسين جودة إنتاجه في حال استخدامه ١٨ وحدة على الأقل من مركبات النيتروجين، وست وحدات على الأقل من مركبات الفوسفات. يمكن للمزارع استخدام نوعين من الأسمدة: ﺃ، وﺏ. يوضح الجدول تكلفة كل نوع من الأسمدة ومحتوياته. إذا كان التمثيل البياني الموضح يمثل القيود المذكورة في الجدول، فأوجد أقل تكلفة يدفعها المزارع لشراء الأسمدة؛ ليوفر كمية كافية من مركبات كلا النوعين.

حسنًا، يوضح الجدول نوعين من الأسمدة، ﺃ، وﺏ. ويحتوي كل منهما على عدد وحدات معين من مركبات النيتروجين لكل كيلوجرام، وعدد وحدات معين من مركبات الفوسفات لكل كيلوجرام. بالإضافة إلى ذلك، نعرف أيضًا التكلفة بالجنيه المصري للكيلوجرام الواحد من كل نوع من الأسمدة. وإلى جانب الجدول، لدينا تمثيل بياني يوضح القيود المفروضة في هذه الحالة. والمطلوب منا هو إيجاد أقل تكلفة يدفعها المزارع لشراء الأسمدة، ليوفر كميات كافية من مركبات كلا النوعين.

دعونا نحذف النص بأكمله باستثناء الجملة الأولى. وهذه الجملة مفيدة لأنها تتضمن القيود الممثلة بيانيًّا. كما ذكرنا، هدفنا هو إيجاد أقل تكلفة إجمالية يدفعها المزارع لشراء الأسمدة. بمعلومية نوعي السماد وتكلفة الكيلوجرام من كل منهما، يمكننا القول إن التكلفة الإجمالية التي سيدفعها المزارع ستساوي ١٧٠ مضروبًا في عدد كيلوجرامات نوع السماد ﺃ زائد ١٢٠ مضروبًا في عدد كيلوجرامات نوع السماد ﺏ. إذن هذه هي دالة الهدف لدينا. وهي الدالة التي نريد إيجاد القيمة الصغرى لها، بالقيدين المعطيين لنا.

ويوضح التمثيل البياني هذين القيدين. على سبيل المثال، حقيقة أن السماد يجب أن يحتوي على ١٨ وحدة على الأقل من مركبات النيتروجين تخبرنا أن ثلاثة في ﺃ زائد ستة في ﺏ لا بد أن يكون أكبر من أو يساوي ١٨. من الجدول الذي لدينا، نلاحظ أن كل كيلوجرام من نوع السماد ﺃ يحتوي على ثلاث وحدات من مركبات النيتروجين، بينما كل كيلوجرام من نوع السماد ﺏ يحتوي على ست وحدات منها. هذا إذن أحد القيود. القيد الثاني هو أن السماد يجب أن يحتوي على ست وحدات على الأقل من مركبات الفوسفات. ويمكننا كتابة ذلك على الصورة: اثنان في ﺃ زائد ﺏ أكبر من أو يساوي ستة. وهذا لأن كل كيلوجرام من نوع السماد ﺃ يحتوي على وحدتين من مركبات الفوسفات، بينما كل كيلوجرام من نوع السماد ﺏ يحتوي على وحدة واحدة من هذه المركبات.

المتباينة التي كوناها لمركبات الفوسفات يوضحها على التمثيل البياني الخط باللون الوردي. وكذلك يمثل القيد الأول بالخط ذي اللون الوردي الثاني. ولأن هذين القيدين يوضحان أن إجمالي عدد الكيلوجرامات من نوعي السماد ﺃ وﺏ يجب أن يكون أكبر من أو يساوي عددًا ما، فإنه بالنظر إلى التمثيل البياني نرى أن المنطقة المظللة باللون الرمادي هي منطقة الحل المسموح بها. أي إن أي نقطة في هذه المساحة المظللة باللون الرمادي ستحقق الشرطين المتعلقين بجودة السماد. لذا، عندما نبحث عن أقل تكلفة تحقق هذين الشرطين، فإن النقاط التي سيكون علينا التفكير فيها هي النقاط التي تحدد المنطقة المظللة باللون الرمادي في التمثيل البياني.

توجد ثلاث نقاط يمكننا اعتبارها رءوسًا: نقطة هنا، ونقطة هنا، ونقطة هنا. وبالمناسبة، لاحظ أن قيم ﺱ السالبة وقيم ﺹ السالبة على التمثيل البياني لن يحقق أي منها الشرطين لدينا؛ لأن القيمة السالبة في أي من الاتجاهين ستشير إلى عدد سالب من الكيلوجرامات من كل نوع سماد. بعدما أوضحنا كل ما سبق، سنركز على الربع الأول من التمثيل البياني وتحديدًا على المساحة المظللة باللون الرمادي. من بين كل هذه النقاط، حيث يوجد عدد لا نهائي من النقاط في المنطقة المظللة باللون الرمادي، فإن النقاط الثلاث المحددة باللون البرتقالي هي فقط التي ستعطينا القيمة الصغرى لدالة الهدف.

دعونا نفكر في إحداثيات هذه النقاط الثلاث. بالنظر إلى أعلى نقطة، نجد أن قيمة ﺱ لها تساوي صفرًا، وقيمة ﺹ تساوي ستة. إحداثيا النقطة التالية أسفل هذه النقطة هي اثنان، اثنان. أما النقطة الثالثة، فإحداثياها ستة، صفر. والآن، سنعوض بكل من النقاط الثلاث في دالة التكلفة. ثم نفكر في مخرجات تلك العمليات الحسابية. بالنسبة إلى النقطة الأولى، فإن التكلفة تساوي ١٧٠ في صفر زائد ١٢٠ في ستة، وهو ما يساوي ٧٢٠. وبالنسبة إلى النقطة الثانية، ستكون التكلفة ١٧٠ في اثنين زائد ١٢٠ في اثنين، وهو ما يساوي ٥٨٠. وأخيرًا، لدينا ١٧٠ في ستة زائد ١٢٠ في صفر يساوي ١٠٢٠.

نتذكر أننا نريد إيجاد القيمة الصغرى للتكلفة الإجمالية للسماد، وهي أدنى قيمة من بين القيم الثلاث. إذن، أقل مبلغ مالي يدفعه المزارع للسماد مع تحقيق شرطي الجودة هو ٥٨٠ جنيهًا مصريًّا.