نسخة الفيديو النصية
إذا كان لدينا مصفوفتان رتبتاهما اثنان في اثنين، وهما ﺃ يساوي واحدًا، واحدًا، صفرًا، صفرًا، وﺏ يساوي صفرًا، واحدًا، صفرًا، واحدًا. فهل ﺃﺏ تساوي ﺏﺃ؟
في هذا المثال، نريد إيجاد حاصل ضرب مصفوفتين رتبتاهما اثنان في اثنين بكلا الترتيبين. إذا كانت ﺃﺏ تساوي ﺏﺃ، فيمكننا القول إن عملية ضرب المصفوفتين في هذه الحالة عملية إبدالية. لعلنا نتذكر أن عملية ضرب المصفوفات بشكل عام ليست عملية إبدالية. كما نتذكر أيضًا أنه لا يمكن إجراء عملية ضرب المصفوفات إلا في ظروف معينة، بناء على رتبة كل مصفوفة.
دعونا نفترض أن المصفوفة ﺃ رتبتها ﻡ في ﻥ، والمصفوفة ﺏ رتبتها ﻥ في ﻝ. يعني هذا أن المصفوفة ﺃ بها عدد ﻡ من الصفوف وعدد ﻥ من الأعمدة، والمصفوفة ﺏ بها عدد ﻥ من الصفوف وعدد ﻝ من الأعمدة. لإجراء عملية ضرب المصفوفتين ﺃﺏ، فإن عدد الأعمدة في المصفوفة ﺃ يجب أن يساوي عدد الصفوف في المصفوفة ﺏ. من ناحية أخرى لإجراء عملية ضرب المصفوفتين ﺏﺃ، فإن عدد الأعمدة في المصفوفة ﺏ يجب أن يساوي عدد الصفوف في المصفوفة ﺃ. بعبارة أخرى يجب أن يكون ﻡ مساويًا لـ ﻝ. في هذا المثال، كلتا المصفوفتين رتبتاهما اثنان في اثنين. لذا لن تواجهنا مشكلة في الضرب بأي ترتيب؛ لأن عدد الأعمدة يساوي عدد الصفوف.
دعونا نفرغ بعض المساحة لإجراء عملية الضرب الأولى للمصفوفتين. لنبدأ بإيجاد ﺃﺏ. بما أن ﺃ مصفوفة رتبتها اثنان في اثنين وﺏ مصفوفة رتبتها اثنان في اثنين، فإن ﺃﺏ ستكون أيضًا مصفوفة رتبتها اثنان في اثنين. لتوضيح عملية الضرب، دعونا نجر خطوات عملية الضرب على الصف الأول. نضرب العنصر الأول من الصف الأول للمصفوفة ﺃ في العنصر الأول من العمود الأول للمصفوفة ﺏ، أي نضرب واحدًا في صفر. بعد ذلك نضيف إلى ذلك حاصل ضرب العنصر الثاني من الصف الأول للمصفوفة ﺃ في العنصر الثاني من العمود الأول للمصفوفة ﺏ، أي نضرب واحدًا في صفر. بحساب قيمة هذا المقدار، نحصل على صفر، وسيكون ذلك هو العنصر الأول في مصفوفة حاصل الضرب.
لإيجاد العنصر الثاني في مصفوفة حاصل الضرب، نكرر هذه الخطوات مع الصف الأول من المصفوفة ﺃ والعمود الثاني من المصفوفة ﺏ. وبذلك يكون لدينا واحد في واحد زائد واحد في واحد، وهو ما يساوي اثنين. إذن، اثنان هو العنصر الثاني في مصفوفة حاصل الضرب.
والآن بعد أن أوجدنا الصف الأول بالكامل من مصفوفة حاصل الضرب، ننتقل إلى الصف الثاني من المصفوفة ﺃ ونستخدم هذين العنصرين في العمليات الحسابية النهائية. نجد أن العنصر التالي في مصفوفة حاصل الضرب هو صفر، والعنصر الأخير هو صفر أيضًا. نحن الآن مستعدون لإجراء عملية ضرب المصفوفتين بالترتيب الآخر، أي ﺏ في ﺃ. للحفاظ على الاتساق سنستمر في استخدام اللون الوردي للإشارة إلى عناصر المصفوفة ﺏ واللون البرتقالي للإشارة إلى عناصر المصفوفة ﺃ.
باستخدام الخطوات السابقة نفسها، نجد أن العنصر الأول في مصفوفة حاصل الضرب هو صفر. العنصر الثاني هو صفر أيضًا، وكذلك العنصر الثالث والعنصر الرابع أيضًا. إذا نظرنا إلى العنصر الثاني في الصف الأول من كل مصفوفة من مصفوفتي حاصل ضرب، فسنجد أن اثنين لا يساوي صفرًا، وهو ما يعني أن المصفوفتين غير متساويتين. إذن، إجابتنا على هذا السؤال هي: لا، عملية ضرب هاتين المصفوفتين تحديدًا ليست عملية إبدالية، لأن ﺃﺏ لا تساوي ﺏﺃ.
