فيديو الدرس: القيم المتوقعة للمتغيرات العشوائية المتقطعة الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحسب القيمة المتوقعة أو المتوسط للمتغيرات العشوائية المتقطعة من كل من الجدول والتمثيل البياني. دعونا نبدأ بتذكر ما نعنيه بالمتغير العشوائي المتقطع للتوزيع الاحتمالي. يصف التوزيع الاحتمالي احتمالية الحصول على القيم الممكنة التي يمكن أن يأخذها المتغير العشوائي. ويمكن كتابته على صورة دالة أو جدول قيم أو حتى على صورة تمثيل بياني. وعليه، فإن المتغير المتقطع هو متغير يمكن أن يأخذ فقط عددًا يمكن عده من القيم. في هذا المثال، ﺱ متغير متقطع لأنه يأخذ فقط القيم واحدًا، واثنين، وثلاثة، وأربعة، وخمسة، وستة.

في هذا الفيديو، نحن مهتمون بإيجاد صيغة يمكن أن تساعدنا في إيجاد القيمة المتوقعة، أو بعبارة أخرى؛ إيجاد متوسط المتغير العشوائي المتقطع. لمساعدتنا على توضيح هذه الصيغة، سنتناول مثالًا.

نتج عن تجربة ما المتغير العشوائي المتقطع ﺱ ذو التوزيع الاحتمالي الموضح. إذا أجري عدد كبير جدًا من المحاولات، فما المتوسط المتوقع لجميع النواتج؟

دعونا نتخيل أن التجربة هي تدوير قرص دوار مكتوب عليه الأرقام اثنان، وثلاثة، وأربعة، وخمسة. يوضح الجدول احتمال تحقيق كل نتيجة من تلك النتائج في تدويرة واحدة. ومن ثم، نرى على سبيل المثال، أن احتمال استقرار القرص الدوار عند الرقم خمسة أكبر من احتمال استقراره عند الرقم اثنين. هيا نضف جدولًا آخر، يوضح عدد مرات تدوير القرص الدوار مقابل عدد المرات التي نتوقع استقراره فيها عند كل رقم. لنفترض أنه كان علينا تدوير القرص الدوار ١٠ مرات؛ فإننا نتوقع أن يستقر القرص الدوار عند الرقم اثنين ٠٫١ من هذه المرات. حسنًا، ٠٫١ من ١٠، بعبارة أخرى ٠٫١ في ١٠، يساوي واحدًا. بعد ذلك، نتوقع أن يستقر القرص الدوار عند الرقم ثلاثة ٠٫٣ من المرات. ‏‏٠٫٣ من ١٠ أو ٠٫٣ في ١٠ يساوي ثلاثة. ونتوقع أن يستقر القرص الدوار عند الرقم أربعة ٠٫٢ من المرات، إذن هذا يساوي مرتين. ونتوقع أن يستقر القرص الدوار عند الرقم خمسة ٠٫٤ من المرات، أي أربع مرات.

بعد ذلك، لنفكر فيما سيحدث إذا كان علينا تدويره ٢٠ مرة. نتوقع أن يستقر عند الرقم اثنين ٠٫١ من هذه المرات، إذن هذا يساوي مرتين. ونتوقع أن يستقر القرص الدوار عند الرقم ثلاثة ست مرات، وذلك حاصل ضرب ٠٫٣ في ٢٠. ونتوقع أن يستقر فيها عند الرقم أربعة أربع مرات، وهو حاصل ضرب ٠٫٢ في ٢٠. و٠٫٤ في ٢٠ يساوي ثمانية، وهو عدد المرات التي نتوقع أن يستقر فيها عند الرقم خمسة. لكن لنتخيل أنه يوجد عدد كبير للغاية من المحاولات، على سبيل المثال ١٠٠٠ محاولة. ‏‏٠٫١ في ١٠٠٠ يساوي ١٠٠. إذن، نتوقع تقريبًا أن يستقر القرص الدوار عند الرقم اثنين ١٠٠ مرة. ونتوقع أن يستقر عند الرقم ثلاثة ٣٠٠ مرة، ونتوقع أن يستقر عند الرقم أربعة ٢٠٠ مرة، ونتوقع أن يستقر عند الرقم خمسة ٤٠٠ مرة.

والآن، سيساعدنا هذا للغاية حيث يمكننا استخدام هذه القيم لحساب المتوسط باستخدام قواعد إيجاد المتوسط من الجدول التكراري. فالصيغة التي نستخدمها لحساب المتوسط من الجدول التكراري هي مجموع ﺩ في ﺱ مقسومًا على مجموع ﺱ. مجموع ﺱ يساوي ١٠٠٠. فقد أجرينا ١٠٠٠ محاولة. وﺩ في ﺱ يساوي اثنين في ١٠٠، وثلاثة في ٣٠٠، وأربعة في ٢٠٠، وخمسة في ٤٠٠. إذن، مجموع ﺩﺱ يساوي مجموع حواصل الضرب كلها. وبذلك، يمكننا حساب المتوسط، الذي نسميه القيمة المتوقعة كما هو موضح.

سنحسب هذه القيمة بعد قليل، لكننا نبحث عن قاعدة لإيجاد القيمة المتوقعة. لذا، سنقسم الكسر قليلًا. نعكس العملية التي نجريها عند جمع الكسور، فيمكننا كتابة ذلك على صورة اثنين في ١٠٠ على ١٠٠٠ زائد ثلاثة في ٣٠٠ على ١٠٠٠ وهكذا. بعد ذلك نلاحظ أمرًا ما. ‏‏١٠٠ على ١٠٠٠ يساوي ٠٫١. ‏‏٣٠٠ على ١٠٠٠ يساوي ٠٫٣. ‏‏٢٠٠ على ١٠٠٠ يساوي ٠٫٢. و٤٠٠ على ١٠٠٠ يساوي ٠٫٤. وهكذا، توجد طريقة أخرى لكتابة عملياتنا الحسابية لإيجاد المتوسط، هي ضرب اثنين في ٠٫١ زائد ثلاثة في ٠٫٣ زائد أربعة في ٠٫٢ زائد خمسة في ٠٫٤، وهذا يساوي ٣٫٩. وهكذا، إذا أجري عدد كبير جدًا من المحاولات، فإن المتوسط المحتمل لجميع النواتج سيكون في الواقع ٣٫٩.

وفي هذه المرحلة، ربما تكتشف نمطًا معينًا. اثنان في ٠٫١ هو حاصل ضرب قيمة ﺱ وقيمة ﻝﺱ المناظرة لها. وثلاثة في ٠٫٣ هو أيضًا حاصل ضرب قيمة ﺱ وقيمة ﻝﺱ المناظرة لها. ومن ثم، نلاحظ أن هذا ببساطة هو مجموع حاصل ضرب العددين الموجودين في كل عمود.

وهكذا، يمكننا التعميم.

يشار إلى القيمة المتوقعة أحيانًا باسم المتوسط للمتغير ﺱ. ويمكن إيجادها عن طريق حساب مجموع حاصل ضرب كل من المتغير ﺱ واحتمال حدوثه، أي ﻝﺱ يساوي ﺱ. نكتب هذا كما هو موضح. القيمة المتوقعة تساوي مجموع ﺱ في ﻝﺱ يساوي ﺱ. والآن بعد أن توصلنا لصيغة، دعونا نر كيف يمكننا تطبيقها لإيجاد القيمة المتوقعة لمتغير عشوائي متقطع بمعلومية التمثيل البياني.

أوجد القيمة المتوقعة للمتغير العشوائي ﺱ الموضح توزيعه الاحتمالي.

يمكن إيجاد القيمة المتوقعة عن طريق حساب مجموع حاصل ضرب المتغير ﺱ واحتمال حدوثه. وذلك ممثل كما هو موضح. وهكذا، توجد طريقة جيدة لإيجاد القيمة المتوقعة بمعلومية التمثيل البياني، وهي إنشاء جدول. بالنظر إلى المحور ﺱ، نلاحظ أن المتغير العشوائي ﺱ يمكن أن يأخذ القيم واحدًا واثنين وثلاثة وأربعة وخمسة. نلاحظ أيضًا أن ارتفاع كل عمود من الأعمدة الموضحة في المخطط البياني يساوي ٠٫٢. إذن، الاحتمال المرتبط بكل متغير يساوي في الحقيقة ٠٫٢. والآن، إحدى الطرق السريعة التي يمكننا بها التأكد من صحة ما أجريناه هي بالتحقق من أن مجموع الاحتمالات يساوي بالفعل واحدًا. و٠٫٢ زائد ٠٫٢ زائد ٠٫٢ زائد ٠٫٢ زائد ٠٫٢ يساوي واحدًا، ومن ثم يمكننا المتابعة.

لإيجاد القيمة المتوقعة بعد ذلك، نوجد مجموع حواصل ضرب العددين الموجودين في كل عمود. وهو، إذن، واحد في ٠٫٢ زائد اثنين في ٠٫٢ زائد ثلاثة في ٠٫٢ زائد أربعة في ٠٫٢. وأخيرًا، نجمع خمسة في ٠٫٢. بإيجاد قيمة كل حاصل من حواصل الضرب، يصبح لدينا ٠٫٢ زائد ٠٫٤ زائد ٠٫٦ زائد ٠٫٨ زائد واحد، وهو ما يساوي ثلاثة. إذن، القيمة المتوقعة تساوي ثلاثة. وهذا في الحقيقة منطقي للغاية. رأينا تساوي احتمال حدوث كل متغير؛ إذ كان الناتج ٠٫٢ في كل مرة. إذن، فالقيمة المتوقعة والمتوسط المحتمل سيكونان في الواقع المتوسط لجميع الأعداد التي لدينا. أي خمسة زائد أربعة زائد ثلاثة زائد اثنين زائد واحد على خمسة، وهو ما يساوي ثلاثة أيضًا.

لم تنجح هذه الطريقة إلا لأن الاحتمالات كانت متساوية. لذا فهي ليست قاعدة عامة يمكننا اتباعها. دعونا نتناول مثالًا لدينا فيه تمثيل بياني والاحتمالات فيه غير متساوية.

أوجد القيمة المتوقعة للمتغير العشوائي ﺱ الموضح توزيعه الاحتمالي.

موضح أمامنا الصيغة التي نستخدمها لحساب القيمة المتوقعة لمتغير عشوائي متقطع ﺱ. إنها مجموع حاصل ضرب ﺱ واحتمال حدوثه. وهكذا، توجد طريقة جيدة لحساب القيمة المتوقعة بمعلومية توزيع احتمالي في صورة تمثيل بياني هي تحويل ذلك إلى جدول. يوضح المحور ﺱ على التمثيل البياني القيم التي يمكن أن يأخذها المتغير العشوائي المتقطع. وهي واحد، واثنان، وثلاثة، وأربعة. ارتفاع العمود الأول هو ٠٫١. إذن، احتمال أن ﺱ يساوي واحدًا هو ٠٫١. نرى أن العمود الثاني ارتفاعه ٠٫٣. إذن، احتمال أن ﺱ يساوي اثنين هو ٠٫٣. ثم، نستمر بهذه الطريقة. ارتفاع العمود الثالث، والذي يمثل احتمال أن ﺱ يساوي ثلاثة، هو ٠٫٤. وارتفاع العمود الرابع، الذي يمثل احتمال أن ﺱ يساوي أربعة، هو ٠٫٢.

لإيجاد القيمة المتوقعة من التمثيل البياني، علينا إيجاد مجموع حواصل ضرب العددين الموجودين في كل عمود. إذن، واحد في ٠٫١ زائد اثنين في ٠٫٣ زائد ثلاثة في ٠٫٤ زائد أربعة في ٠٫٢. يصبح لدينا ٠٫١ زائد ٠٫٦ زائد ١٫٢ زائد ٠٫٨، وهو ما يساوي ٢٫٧. وبالتالي، فإن القيمة المتوقعة للمتغير العشوائي ﺱ هي ٢٫٧. الآن، يمكننا التأكد دائمًا من صحة الإجابة التي حصلنا عليها، أو على الأقل كونها في النطاق الصحيح. عندما نوجد القيمة المتوقعة، فإننا نوجد المتوسط المرجح. ووفقًا للجدول والتمثيل البياني، يكون احتمال أن ﺱ يساوي ثلاثة أكبر من كونه يساوي واحدًا. إذن، من المرجح أن يقع المتوسط في هذا الاتجاه. وبما أن ٢٫٧ يقع تقريبًا بين واحد وأربعة، لكن ليس بالضبط، فإن هذا يرجح أننا أجرينا العمليات الحسابية بشكل صحيح.

في المثال التالي، سنتناول كيفية تطبيق بعض القواعد الأخرى للتعامل مع الاحتمالات من أجل إيجاد القيمة المتوقعة لمتغير عشوائي متقطع.

الدالة الموضحة في الجدول التالي دالة احتمال لمتغير عشوائي متقطع ﺱ. أوجد قيمة ﺱ المتوقعة.

نعلم أنه يمكننا إيجاد القيمة المتوقعة لمتغير عشوائي متقطع عن طريق حساب مجموع حواصل ضرب المتغير ﺱ واحتمال حدوثه. ونكتبه باستخدام رمز 𝛴 كما هو موضح. والآن في هذه الحالة، الدالة ﺩ هي دالة احتمال. لذلك، يمكننا القول إن هذا يشبه قولنا إن احتمال أن ﺱ يساوي ﺱﺭ. ومن ثم، لإيجاد القيمة المتوقعة، سنبدأ بإيجاد حواصل ضرب العددين الموجودين في كل عمود. لكن بالطبع، يوجد عدد ناقص. وهو القيمة الموجودة هنا.

يخبرنا السؤال أن احتمال أن ﺱ يساوي واحدًا هو ﺃ. حسنًا، كيف نحسب قيمة ﺃ؟ حسنًا، نعلم أن مجموع الاحتمالات في الجدول يجب أن يساوي واحدًا؛ ومن ثم يمكننا كتابة معادلة وحلها لإيجاد قيمة ﺃ. المعادلة هي ٠٫١ زائد ﺃ زائد ٠٫١ زائد ٠٫٤ زائد ٠٫٢ يساوي واحدًا. بعبارة أخرى، جمعنا الاحتمالات المتوالية وجعلناها تساوي واحدًا. ‏‏٠٫١ زائد ٠٫١ زائد ٠٫٤ زائد ٠٫٢ يساوي ٠٫٨. إذن، تصبح المعادلة ﺃ زائد ٠٫٨ يساوي واحدًا. إذا طرحنا ٠٫٨ من كلا الطرفين، فسنجد أن ﺃ يساوي ٠٫٢. وبذلك، نكون جاهزين لحساب القيمة المتوقعة لـ ﺱ. وهي صفر في ٠٫١ زائد واحد في ٠٫٢ زائد اثنين في ٠٫١. ونكرر هذه العملية مع العددين الموجودين في العمودين الأخيرين. هذا يعطينا صفرًا زائد ٠٫٢ زائد ٠٫٢ زائد ١٫٢ زائد ٠٫٨، وهو ما يساوي ٢٫٤. فالقيمة المتوقعة لـ ﺱ في هذه الحالة هي ٢٫٤.

في المثال الأخير، سنتناول كيفية استخدام صيغة القيمة المتوقعة لإيجاد قيم ناقصة.

الدالة الموضحة في الجدول التالي دالة احتمال المتغير العشوائي المتقطع ﺱ. إذا كانت القيمة المتوقعة لـ ﺱ تساوي ٢٥٤ على ٥٧، فأوجد قيمة ﺏ.

لدينا بعد ذلك جدول به قيم ﺱﺭ وﺩﺱﺭ. نبدأ بتذكر كيفية حساب القيمة المتوقعة لمتغير عشوائي متقطع. إنها تساوي مجموع القيم التي يمكن أن يأخذها المتغير مضروبًا في احتمال حدوثه. والآن، نحن نعلم في هذا السؤال أن الدالة هي دالة احتمال المتغير العشوائي المتقطع. إذن، نقول في الأساس إن ﺩﺱﺭ يساوي احتمال أن ﺱ يساوي ﺱﺭ. وفي النهاية، سنضرب القيمتين الموجودتين في كل عمود.

لكن لدينا مشكلة صغيرة هنا. حاليًا، قيم الاحتمال موضحة بدلالة المتغير ﺃ. وسنستفيد من حقيقة علمنا بأن مجموع هذه الاحتمالات يجب أن يساوي واحدًا. بعبارة أخرى، ثمانية ﺃ زائد ثلاثة ﺃ زائد ثلث زائد ثمانية ﺃ يجب أن يساوي واحدًا. ثمانية ﺃ زائد ثلاثة ﺃ زائد ثمانية ﺃ يساوي ١٩ﺃ. وبذلك يصبح لدينا ١٩ﺃ زائد ثلث يساوي واحدًا. يمكننا إيجاد قيمة ﺃ عن طريق طرح ثلث أولًا من كلا الطرفين لنحصل على ١٩ﺃ يساوي ثلثين. وعندما نقسم كلا الطرفين بعد ذلك على ١٩، نحصل على ﺃ يساوي اثنين على ٥٧. الآن بعدما عرفنا قيمة ﺃ، علينا الرجوع إلى الجدول وحساب الاحتمالات المتعلقة بالقيم التي لدينا.

احتمال أن ﺱ يساوي واحدًا هو ثمانية ﺃ. إذن، هذا يساوي ثمانية في اثنين على ٥٧، وهو ما يساوي ١٦ على ٥٧. ثم احتمال أن ﺱ يساوي اثنين هو ثلاثة ﺃ. إذن، هذا يساوي ثلاثة في اثنين على ٥٧، وهو ما يساوي ستة على ٥٧. كما نعلم أن احتمال ﺱ يساوي ﺏ هو ثلث. وأخيرًا، احتمال ﺱ يساوي سبعة هو ثمانية ﺃ مرة أخرى. إذن، هذا يساوي ١٦ على ٥٧. وبالطبع، يمكننا هنا التأكد سريعًا من خلال التحقق من أن مجموع الاحتمالات كلها يساوي واحدًا بالفعل، وهذا صحيح، لذا يمكننا المتابعة.

مهمتنا التالية هي إيجاد مجموع حواصل ضرب العددين الموجودين في كل عمود. ومن ثم، نحصل على القيمة المتوقعة بإيجاد ناتج واحد في ١٦ على ٥٧ زائد اثنين في ستة على ٥٧ زائد ﺏ في ثلث زائد سبعة في ١٦ على ٥٧. لكننا بالفعل، نعرف أن القيمة المتوقعة هي ٢٥٤ على ٥٧. لذا، سنعوض عن القيمة المتوقعة بهذا العدد. ثم نبسط الطرف الأيسر. الآن، كل هذه الكسور تجعل الحل أكثر صعوبة بعض الشيء، لذا، سنضرب كل عدد ضمن المعادلة في ٥٧. عند القيام بذلك، تصبح المعادلة ٢٥٤ يساوي ١٦ زائد ١٢ زائد ١٩ﺏ زائد ١١٢. ‏‏١٩ هو في الأساس ٥٧ مقسومًا على ثلاثة. ثم بجمع الأجزاء العددية، نحصل على ١٤٠ زائد ١٩ﺏ في الطرف الأيسر.

بعد ذلك، نطرح ١٤٠ من كلا الطرفين، وتصبح المعادلة ١١٤ يساوي ١٩ﺏ. وأخيرًا، نقسم الطرفين على ١٩. فنجد أن ﺏ يساوي ١١٤ على ١٩، لكن ١١٤ على ١٩ يساوي ستة. وبالتالي، قيمة ﺏ تساوي ستة.

هيا نراجع الآن النقاط الأساسية المستخلصة من هذا الدرس. في هذا الفيديو، راجعنا المقصود بالمتغير العشوائي المتقطع. إنه متغير يأخذ فقط عددًا يمكن عده من القيم. وعرفنا أننا نشير إلى القيمة المتوقعة أحيانًا بمتوسط المتغير. و نوجد القيمة المتوقعة بحساب مجموع حواصل ضرب المتغير ﺱ واحتمال حدوثه. ونستخدم الرمز 𝛴 لتمثيل هذا كما هو موضح.