فيديو الدرس: اختيار عينة عشوائية طبقية الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نأخذ عينة طبقية عشوائية.

١٧:٥٦

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الدرس، سوف نتعلم كيف نأخذ عينة طبقية عشوائية. تذكر أنه عند جمع بيانات، يكون هدفنا استخدام هذه البيانات في معرفة معلومات معينة عن المجتمع الإحصائي أو استنتاجها. ولكي تكون النتائج دقيقة وممثلة للمجتمع الإحصائي، علينا الحرص على أن تكون عملية جمع البيانات دقيقة وممثلة أيضًا.

لكن في معظم الأحيان، يكون جمع البيانات عن مجتمع إحصائي كامل أمرًا لا يمكن إجراؤه عمليًّا. على سبيل المثال، لنفترض أننا نجري دراسة حول الأسماك الموجودة في بحيرة. لكي نقيس أطوال الأسماك وأوزانها بالكامل، أي المجتمع الإحصائي كله، علينا اصطيادها كلها أولًا. وهذا غير ممكن، وبالتأكيد هذه فكرة غير جيدة بالنسبة إلى الأسماك. يمكننا بدلًا من ذلك اختيار عينة من الأسماك. بعد ذلك، نقيس أطوال هذه الأسماك الموجودة في العينة وأوزانها أو نلاحظ خصائصها، ونستخدم الطرق الإحصائية للحصول على المعلومات واستخلاص النتائج عن المجتمع الإحصائي من بيانات العينة.

إن اختيار عينة طبقية عشوائية هو طريقة لأخذ عينة ممثلة من مجتمع إحصائي مقسم جزئيًّا إلى مجموعات أو طبقات مختلفة. وإذا كان من الممكن تقسيم المجتمع الإحصائي جزئيًّا إلى مجموعات أو طبقات غير متداخلة، فإننا نأخذ عينة عشوائية من كل طبقة لتكوين عينة من المجتمع، ثم ندمجها في عينة للمجتمع الإحصائي. حجم العينة العشوائية لكل طبقة يعكس حجم هذه الطبقة داخل المجتمع الإحصائي. هذا يعني أن الطبقات تمثل في العينة النهائية بنفس النسب التي تمثل بها داخل المجتمع الإحصائي. إذن، بمعلومية أن المجتمع الإحصائي يمثله ﺹ، وحجم إحدى الطبقات المنفردة يمثله ﻕ، إذا كان حجم عينة المجتمع المطلوب يمثله ﻉﺹ، فإن حجم عينة الطبقة المنفردة يمثله ﻉﻕ. ويعطى هذا الأخير بالصيغة: حجم الطبقة ﻕ على حجم المجتمع الإحصائي ﺹ مضروبًا في حجم العينة المطلوب وهو ﻉﺹ.

بدلًا من ذلك، إذا علمنا أن الطبقة تمثل نسبة مئوية معينة من المجتمع الإحصائي — دعونا نسمها ﺱ — فإن حجم عينة الطبقة المنفردة يساوي ﺱ بالمائة في ﻉﺹ، وهو حجم العينة المطلوب. الأمر المهم هو أن أحجام عينات الطبقات تكون بنفس نسب هذه الطبقات داخل المجتمع الإحصائي. دعونا نطبق ذلك في مثال.

افترض أن هناك ٤٨ لاعب تنس و٣٢ لاعبة تنس مسجلين في النادي المحلي. في عينة ممثلة مكونة من ١٠، كم عدد الذكور والإناث؟

بما أن المجتمع الإحصائي للاعبي التنس مقسم إلى طبقتين، أي الذكور والإناث، ولدينا ٤٨ لاعبًا و٣٢ لاعبة، فإن حجم المجتمع الإحصائي ﺹ يساوي ٤٨ زائد ٣٢، وهو ما يساوي ٨٠. سنأخذ عينة طبقية عشوائية، حيث يشير ﻉﺹ إلى الحجم الكلي للعينة، وهو هنا يساوي ١٠. وحجم المجتمع الإحصائي، أي ﺹ، يساوي ٨٠. حجم العينة لكل طبقة، أي ﻉﻕ، يعطى بالصيغة: حجم الطبقة المنفردة، أي ﻕ، مقسومًا على حجم المجتمع الإحصائي، أي ﺹ، مضروبًا في حجم العينة، أي ﻉﺹ. هذا يعني أن حجم العينة التي تمثل اللاعبين الذكور يساوي ٤٨ مقسومًا على ٨٠ مضروبًا في ١٠. بقسمة كل من البسط والمقام على ١٠، ثم قسمة البسط والمقام على ثمانية، نحصل على ستة لاعبين ذكور في العينة.

عند إجراء العملية الحسابية نفسها على اللاعبات، نجد لدينا ٣٢ لاعبة مقسومًا على ٨٠ لاعبًا في المجتمع الإحصائي ككل مضروبًا في ١٠ لاعبين في العينة. مرة أخرى، بقسمة البسط والمقام على ١٠، ثم قسمة البسط والمقام على ثمانية، نحصل على أربع لاعبات في العينة. هذا يعني أننا نأخذ عينة عشوائية تضم ستة لاعبين من إجمالي ٤٨ لاعبًا، وعينة عشوائية تضم أربع لاعبات من إجمالي ٣٢ لاعبة. وهذا يشكل العينة العشوائية الكلية المكونة من ١٠ لاعبين من المجتمع الإحصائي.

دعونا الآن ننظر كيف ينطبق ذلك إذا كانت لدينا نسب مئوية.

افترض أن ٦٠ بالمائة من اللاعبين بنادي التنس من الذكور و٤٠ بالمائة من الإناث. في عينة عشوائية مكونة من ١٠ لاعبين، كم عدد اللاعبات واللاعبين الذين سنختارهم؟

لدينا مجتمع إحصائي يضم أعضاء نادي التنس مقسم إلى طبقتين. وهما طبقة الإناث وطبقة الذكور. نحن نعلم أن ٦٠ بالمائة من المجتمع الإحصائي من الذكور، و٤٠ بالمائة من الإناث، وحجم العينة المطلوب هو ١٠. وهو ﻉﺹ. لإيجاد عدد الإناث والذكور في هذه العينة، نستخدم الصيغة: ﻉﻕ، أي حجم العينة في كل طبقة، يساوي ﺱ بالمائة في ﻉﺹ، حيث ﺱ النسبة المئوية لكل طبقة.

إذا بدأنا بعدد اللاعبين الذكور الذين نحتاجهم للعينة، فسنجد أن هذا يساوي ٦٠ بالمائة من ١٠، أي ٦٠ على ١٠٠ مضروبًا في ١٠. وبقسمة كل من البسط والمقام على ١٠ — وهو ما يمكننا فعله مرة أخرى — نجد أن عدد اللاعبين الذكور في العينة، يساوي ستة.

يمكننا الآن إجراء العملية الحسابية نفسها مع اللاعبات، حيث لدينا ٤٠ بالمائة من الإناث. عدد اللاعبات في العينة هو ٤٠ مقسومًا على ١٠٠ مضروبًا في ١٠. إذن لدينا أربع لاعبات في العينة المكونة من ١٠. وهكذا، يمكننا القول إنه في العينة الطبقية المكونة من ١٠ أعضاء بنادي التنس، العينة الممثلة تتكون من ستة لاعبين وأربع لاعبات.

دعونا الآن نتناول مثالًا نختبر من خلاله مدى فهمنا لتعريف أخذ عينة طبقية عشوائية.

في دراسة مسحية معينة عن الكليات التي يرغب بعض طلاب مدرسة ثانوية في الالتحاق بها، اختيرت عشوائيًّا عينة مكونة من ٢٠٠٠ طالب من مجتمع مكون من ٤٠٠٠٠. هل يعد ذلك أخذ عينة طبقية؟

للإجابة عن هذا السؤال، دعونا نتذكر ما نعنيه بأخذ عينة طبقية عشوائية. إنه أسلوب العينات الذي نستخدمه عندما يتكون المجتمع الإحصائي من مجموعات أو طبقات جزئية غير متداخلة. ولاختيار عينة طبقية عشوائية من مجتمع إحصائي، نأخذ عينات عشوائية من كل طبقة تتناسب مع حجم هذه الطبقة داخل المجتمع الإحصائي. في هذا المثال، نعلم أن حجم المجتمع الإحصائي هو ٤٠٠٠٠، واختيرت عينة مكونة من ٢٠٠٠ طالب عشوائيًّا. ليس لدينا أي معطيات توضح إذا ما كان المجتمع الإحصائي مقسمًا إلى طبقات جزئية أو لا. إذن، نفترض أن العينة العشوائية المكونة من ٢٠٠٠ طالب اختيرت مباشرة من مجتمع إحصائي لا يتضمن طبقات. لذا، لا يمكننا القول إن هذا يتضمن اختيار عينة طبقية. وهكذا تكون الإجابة هي لا، فذلك لا يعد أخذ عينة طبقية.

دعونا الآن نتناول مثالًا نحسب فيه حجم العينة لطبقة معينة.

في إحدى دراسات الموارد البشرية عن الرواتب في شركة معينة بها ١٠٠٠ موظف، قسم الموظفون إلى ذكور وإناث. إذا كانت النسبة المئوية الكلية للإناث في الشركة ٦٠ بالمائة، واختيرت عينة من ٤٠ شخصًا، فما عدد الذكور في العينة؟

بما أن المجتمع الإحصائي، أي عدد الموظفين في الشركة، ينقسم بشكل طبيعي إلى طبقتين، أي الذكور والإناث، فإننا نستخدم عينة طبقية عشوائية باعتبارها أسلوب العينات الذي سنتبعه. هذا يعني أن أي عينة يجب أن تعكس نسبتي الطبقتين الموجودتين داخل المجتمع الإحصائي. علمنا من السؤال أن ٦٠ بالمائة من الموظفين إناث. واختيرت عينة من ٤٠ شخصًا. إذن، عدد الإناث يمثل ٦٠ بالمائة من ٤٠ شخصًا.

بما أن الموظفين مقسمون إلى طبقتين مختلفتين، أي الذكور والإناث، إذا كانت نسبة الإناث ٦٠ بالمائة، فإن نسبة الذكور تساوي حتمًا ١٠٠ ناقص ٦٠ بالمائة. ما يعني أن ٤٠ بالمائة من الموظفين ذكور. وهذا بدوره يعني أن نسبة الذكور ٤٠ بالمائة من العينة أيضًا. ولكي نحسب عدد الذكور في العينة، نستخدم الصيغة ﻉﻕ يساوي ﺱ بالمائة في ﻉﺹ، حيث ﻉﻕ هو حجم عينة الطبقة. وﺱ النسبة المئوية لطبقة في المجتمع الإحصائي. وﻉﺹ الحجم الكلي للعينة. إذن في هذا السؤال، حجم طبقة الذكور هو ٤٠ بالمائة في ٤٠، وهو حجم العينة، أي ما يساوي ٤٠ مقسومًا على ١٠٠ في ٤٠.

يمكننا قسمة كل من البسط والمقام على ١٠. بعد ذلك، نقسم البسط والمقام على ١٠ مرة أخرى، فيصبح لدينا في البسط أربعة مضروبًا في أربعة، وهو ما يساوي ١٦. إذن، عدد الذكور في العينة هو ١٦.

دعونا نتناول مثالًا آخر.

يحتاج سيف إلى إجراء دراسة لتحديد إذا ما كان الطلاب في مدرسته يحبون لعب كرة القدم. قرر أن يقسم الطلاب إلى مجموعتين، فتيان وفتيات، علمًا بأن إجمالي الطلاب في مدرسته يبلغ ٢٠٠ طالب، ٨٠ منهم من الفتيات. إذا قرر سيف أن حجم العينة سيكون ٥٠، فما عدد الفتيات اللاتي يجب عليه اختيارهن لهذه الدراسة؟

بما أن المجتمع الإحصائي للطلاب مقسم إلى طبقتين مختلفتين، أي الفتيان والفتيات، فإن أسلوب العينات المناسب هو اختيار عينة طبقية عشوائية. العينة الطبقية العشوائية هي عينة مكونة من عينات عشوائية تم اختيارها من مجموعات أو طبقات مختلفة داخل المجتمع الإحصائي. ويعكس حجم العينة لكل طبقة نسبة الطبقة بالمجتمع الإحصائي.

لحساب حجم العينة لطبقة معينة، أي ﻉﻕ، نستخدم الصيغة: ﻉﻕ يساوي ﻕ، وهو العدد الموجود في الطبقة، مقسومًا على العدد الموجود في المجتمع الإحصائي، أي ﺹ، مضروبًا في ﻉﺹ، أي الحجم الكلي للعينة. إجمالي عدد الطلاب هنا هو ٢٠٠ طالب، أي إن ﺹ يساوي ٢٠٠. نحن نعلم أن لدينا ٨٠ فتاة، أي إن ﻕ يساوي ٨٠، وحجم عينة سيف يساوي ٥٠. ما يعني أن ﻉﺹ يساوي ٥٠. حجم عينة الفتيات يساوي ٨٠ على ٢٠٠ مضروبًا في ٥٠، أي عدد ٨٠ فتاة مقسومًا على حجم المجتمع الإحصائي الذي يساوي ٢٠٠ مضروبًا في حجم العينة ٥٠. يمكننا قسمة البسط والمقام على ٥٠، ومرة أخرى نقسم البسط والمقام على أربعة، وهو ما يعطينا ٢٠. إذن، يجب على سيف اختيار ٢٠ فتاة في دراسته.

في المثال التالي، سنطبق عينة طبقية عشوائية على مجتمع إحصائي مقسم إلى ثلاث مجموعات جزئية.

قرر عالم إجراء دراسة مسحية على آثار دواء معين في مدينة تعدادها ١٠٠٠٠٠ شخص. قسم العالم المدينة إلى ثلاث مجموعات حسب المناطق: مركز المدينة، وخارج المدينة، والضواحي. يوجد ١٠٠٠٠ شخص في الضواحي، و٣٠٠٠٠ شخص خارج المدينة. إذا قرر العالم أخذ عينة من ١٠٠٠ شخص، فما عدد الأشخاص الذين ينبغي أن تشملهم الدراسة من الضواحي؟

بما أن المدينة مقسمة إلى ثلاث مجموعات أو طبقات مختلفة، فإن أسلوب العينات المناسب هو اختيار عينة طبقية عشوائية. تذكر أن العينة الطبقية العشوائية هي تلك التي تجمع بين عدد من العينات العشوائية المنفصلة المأخوذة من مجموعات مختلفة داخل المجتمع الإحصائي. ويعكس حجم العينة المأخوذة من كل مجموعة نسبة هذه المجموعة أو الطبقة داخل المجتمع الإحصائي.

لكي نحسب حجم العينة لكل طبقة، نستخدم الصيغة: ﻉﻕ، وهو حجم عينة الطبقة المنفردة، يساوي ﻕ، وهو حجم الطبقة، مقسومًا على ﺹ، وهو حجم المجتمع الإحصائي، مضروبًا في ﻉﺹ، وهو الحجم الكلي للعينة. حجم المجتمع الإحصائي هنا هو ١٠٠٠٠٠. أي ﺹ. ما يعنينا هنا هو عدد الأشخاص من الضواحي الذين ينبغي أن تشملهم العينة. علمنا أن هناك ١٠٠٠٠ شخص في الضواحي. إذن، ﻕ يساوي ١٠٠٠٠. والحجم الكلي للعينة المأخوذة من المجتمع الإحصائي يساوي ١٠٠٠ شخص، أي إن ﻉﺹ يساوي ١٠٠٠. ومن ثم، بالتعويض في الصيغة، نجد أن حجم العينة من الضواحي يساوي ١٠٠٠٠ مقسومًا على ١٠٠٠٠٠ مضروبًا في ١٠٠٠، أي حجم الطبقة مقسومًا على حجم المجتمع الإحصائي مضروبًا في الحجم الكلي للعينة.

يمكننا قسمة البسط والمقام على ١٠٠٠، ثم نقسم على ١٠٠ مرة أخرى. نجد أن حجم عينة الأشخاص من الضواحي هو ١٠٠. إذن، في العينة المكونة من ١٠٠٠ شخص، يجب أن يكون ١٠٠ شخص منهم من الضواحي.

دعونا نختتم هذا الدرس بتذكير أنفسنا ببعض النقاط الرئيسية حول اختيار عينة طبقية عشوائية. اختيار عينة طبقية عشوائية هو أسلوب العينات الذي نستخدمه عندما يمكن تقسيم المجتمع الإحصائي إلى مجموعات أو طبقات مختلفة. تضم أي عينة ممثلة عينات عشوائية تؤخذ كل واحدة منها من كل طبقة، حيث يعكس حجم العينة نسبة الطبقة داخل المجتمع الإحصائي. لأي مجتمع إحصائي مكون من عدد ﺹ من العناصر والحجم الكلي للعينة هو ﻉﺹ، فإن حجم العينة لكل طبقة، أي ﻉﻕ، يساوي ﻕ على ﺹ مضروبًا في ﻉﺹ، حيث ﻕ هو عدد العناصر في الطبقة المنفردة. بدلًا من ذلك، إذا كانت لدينا النسبة المئوية للمجتمع الإحصائي في طبقة منفردة، أي ﺱ بالمائة، فإن حجم العينة لهذه الطبقة المنفردة، أي ﻉﻕ، يساوي ﺱ بالمائة مضروبًا في ﻉﺹ، أي الحجم الكلي للعينة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.