فيديو: احتمال اتحاد حدثين متنافيين وقاعدة الحدث المكمل

تعلم كيفية إيجاد احتمالية وقوع حدث أو آخر من الأحداث المتنافية والاستفادة من حقيقة أن أحد الحدثين أو مكمله سيقع حتمًا.‎

٠٨:٤٧

‏نسخة الفيديو النصية

عندما يكون الحدثان متنافيين، فهما لا يقعان معًا. ففي حال وقوع حدث واحد منهما، لا يقع الحدث الآخر. على سبيل المثال، إذا ألقيت عملة معدنية، فلا يمكن أن يظهر وجها الصورة والكتابة في الوقت نفسه، فإما أن تظهر الصورة فقط أو الكتابة فقط. في هذا الفيديو، سنوجد احتمالات اتحادات الأحداث المتنافية.

لنتخيل أن لدينا حقيبة بها 10 أقراص مرقمة من واحد إلى 10. بعض هذه الأقراص باللون الأزرق وبعضها باللون البرتقالي وبعضها باللون الأخضر. إذا هززت الحقيبة وسحبت قرصًا بشكل عشوائي، فقد يكون القرص المسحوب باللون الأزرق أو الأخضر أو البرتقالي. فلا بد أن يكون القرص بأحد هذه الألوان.

إذن فإن أحداث سحب قرص أزرق وسحب قرص برتقالي وسحب قرص أخضر هي أحداث متنافية. وفي حال وقوع أحد هذه الأحداث، لا يمكن أن يقع الحدث الآخر. وبالمثل، قد يكون العدد الموجود على القرص الذي سحبناه عشوائيًا عددًا فرديًا أو زوجيًا، ولكن ليس الاثنين معًا. إذن، فإن حدثي سحب عدد فردي وسحب عدد زوجي هما حدثان متنافيان كذلك.

لنفكر الآن في بعض الأحداث المختلفة. ماذا عن توافقيات اجتماع حدثين مثل سحب قرص أزرق وعدد زوجي؟ يمكن لحدثين مثل سحب قرص أزرق وسحب عدد زوجي أن يقعا معًا؛ لأن ثمة قرصًا أزرق مرقمًا بعدد زوجي. على سبيل المثال، القرص رقم اثنين أزرق اللون ويحمل عددًا زوجيًا، إذن حدث سحب قرص أزرق وحدث سحب عدد زوجي ليسا حدثين متنافيين.

أحد الأهداف الرئيسية لهذا الفيديو هو هذه القاعدة التي تخص الأحداث المتنافية. ومن ثم، إذا عرفنا أن ثمة بعض الأحداث المتنافية، وأردنا إيجاد احتمال وقوع أي من هذه الأحداث، فعلينا جمع احتمالاتها معًا. ويمكن إيجاد احتمال اتحاد حدثين متنافيين من خلال جمع احتمالات وقوع كل منهما على حدة. لنفترض أن 𝐴 و𝐵 حدثان متنافيان. إذن، احتمال 𝐴 اتحاد 𝐵، أي احتمال وقوع 𝐴 أو 𝐵، هو ببساطة احتمال 𝐴 زائد احتمال 𝐵.

مثال آخر على الأحداث المتنافية هو الأحداث المكملة. يتمثل ذلك في حالة وقوع أمر ما أو عدم وقوعه.

لدينا هنا مسألة. نفترض أن 𝐸 هو حدث الحصول على مضاعفات العدد ثلاثة عند إلقاء حجر نرد منتظم ذي ستة أوجه. عند إلقاء حجر نرد، يكون العدد الذي سيظهر إما من مضاعفات العدد ثلاثة أو ليس من مضاعفاته، فلا يمكن أن يكون الاثنان معًا. إذن هذان الحدثان متنافيان، ولكنهما يمثلان حالة خاصة نوعًا ما؛ لأن الحدثين معرفان بوضوح من حيث كونهما يمثلان شيئًا بعينه أو لا يمثلان ذلك الشيء. وللإشارة إلى الحدث الذي لا يمثل ذلك الشيء، نستخدم شرطة بعد الحرف المستخدم للحدث الذي يمثل ذلك الشيء. تسمى هذه الشرطة أحيانًا بالمكمل، ولنلق نظرة على ذلك.

يمكن كتابة ذلك بالصورة 𝐸 شرطة أو الحدث المكمل للحدث 𝐸، كما تريد أن تقول، للتعبير عن حدث عدم الحصول على مضاعفات العدد ثلاثة عند إلقاء حجر نرد منتظم ذي ستة أوجه. من المؤكد الآن أن الحدث 𝐸 أو 𝐸 شرطة أحدهما سيقع، فإما أن نحصل على مضاعفات العدد ثلاثة عند إلقاء حجر النرد أو لا نحصل عليها، وهذا كل ما نعرفه. إذن، إذا جمعت هذين الاحتمالين معًا، فيجب أن أحصل على واحد. ومن ثم، فإن احتمال 𝐸 زائد احتمال 𝐸 شرطة يساوي واحدًا.

وبإعادة ترتيب ذلك قليلًا، في حالة معرفة احتمال 𝐸، يمكن إيجاد احتمال 𝐸 شرطة. إذا عرفنا احتمال 𝐸 شرطة، يمكننا إذن إيجاد احتمال 𝐸. وتصبح هذه النتيجة مفيدة جدًا في الكثير من الحالات المختلفة، لننظر مثالًا على ذلك.

لنفترض أننا نلقي حجري نرد منتظمين بستة أوجه ونجمع ناتجيهما معًا. يمكننا تسجيل فضاء عينة في جدول كهذا. لنفترض أن 𝐸 هو الحدث الذي فيه حاصل الجمع يساوي 10. ولتحديد احتمال وقوع الحدث 𝐸، كل ما علينا فعله هو تحديد كم مرة في 36 نتيجة احتمالاتها متساوية نحصل على حاصل الجمع 10، إذن لنعد: واحد، اثنان، ثلاثة.

وبناء عليه، فإن احتمال وقوع الحدث 𝐸 يساوي ثلاثة على 36، وهذا يعتمد على حقيقة أننا نعلم أن النتائج جميعها احتمالاتها متساوية؛ لأن حجري النرد منتظمان بستة أوجه، ومن ثم لدينا 36 نتيجة احتمالاتها متساوية.

ولأننا حددنا 𝐸 على أنه الحدث الذي فيه حاصل الجمع يساوي 10، يجب أن يكون 𝐸 شرطة هو الحدث الذي فيه حاصل الجمع لا يساوي 10. وإذا أردنا إيجاد هذا الاحتمال، فلدينا طريقتان لذلك. أولًا، يمكننا عد جميع الحالات التي يكون فيها حاصل الجمع لا يساوي 10، وهذا يعني وضع دائرة على كل ذلك.

لدينا هنا 33 دائرة، ومن ثم يمكننا القول إن احتمال الحدث 𝐸 شرطة يساوي 33 على 36. هذه طريقة مقبولة تمامًا، ولكنني سأوقف الفيديو مؤقتًا لوضع دائرة على كل هذه الأعداد وهو ما يستغرق وقتًا طويلًا للغاية، ولكن هناك طريقة أخرى يمكننا بها القيام بالأمر.

تذكر أن احتمال الحدث 𝐸 شرطة يساوي واحدًا ناقص احتمال الحدث 𝐸. إذن لدينا واحد ناقص الإجابة الأولى، أي واحد ناقص ثلاثة على 36، ما يعطينا الناتج نفسه الذي حصلنا عليه وهو 33 على 36، وبذلك تكون لدينا طريقتان مختلفتان. ولكن طريقة الحدث المكمل تكون أسهل أحيانًا في مثل هذه الأمور، فهي طريقة أسرع من جمع الحالات كلها التي لا يتحقق فيها الحدث. لنفكر إذن في مثال آخر يجعل هذه النقطة أكثر وضوحًا.

حسنًا، إذا ألقينا خمس عملات معدنية وأردنا معرفة احتمال استقرار واحدة منها على الأقل ووجه الكتابة لأعلى، فهذا في الواقع أمر صعب للغاية. إذ يوجد العديد من التوافقيات التي يمكن أن تجتمع فيها أحداث إلقاء العملة المعدنية الأولى والثانية والثالثة والرابعة والخامسة مع استقرار عملة واحدة أو عملتين أو ثلاث أو أربع أو خمس عملات منها ووجه الكتابة لأعلى، لذا يصعب جدًا وضع نموذج احتمالي لذلك وتتبعه وإعداده. ومع ذلك، إذا قلنا إن ثمة عملة واحدة على الأقل استقرت ووجه الكتابة لأعلى أو لا، فسرعان ما سندرك أن ثمة طريقة واحدة فقط لعدم استقرار أي عملة ووجه الكتابة لأعلى، وذلك في حالة استقرار العملات كلها ووجه الصورة لأعلى، وهذا أسهل بكثير في إيجاد هذا الاحتمال. لذا، دعونا نلق نظرة على ذلك.

حسنًا، من المؤكد تمامًا، بما أن لدينا احتمالًا واحدًا، وهو أننا سنحصل على وجه كتابة واحد أو وجهين أو ثلاثة أو أربعة أو خمسة، ومن ثم سنحصل على وجه كتابة واحد على الأقل أو لن نحصل على أي وجه كتابة على الإطلاق. إذن، مجموع هذين الاحتمالين يساوي واحدًا.

بطرح احتمال عدم استقرار العملة ووجه الكتابة لأعلى من الطرفين، نجد أن احتمال الحصول على وجه كتابة واحد يساوي واحدًا ناقص احتمال عدم الحصول على أي وجه كتابة. واحتمال عدم الحصول على وجه كتابة يماثل احتمال استقرار العملات المعدنية الخمس كلها ووجه الصورة لأعلى.

إذن، هذا الاحتمال يساوي نصفًا في نصف في نصف في نصف في نصف، أي وجه صورة ثم وجه صورة ثم وجه صورة ثم وجه صورة ثم وجه صورة وهكذا، وهو ما يساوي واحدًا على 32، ومن ثم فإن احتمال الحصول على وجه كتابة واحد على الأقل يساوي واحدًا ناقص واحد على 32، وهو ما يعطينا 31 على 32. إذن طريقة الاحتمالات المكملة هذه أو القاعدة المكملة أو قاعدة الحدث المكمل تجعل حل المسألة أكثر سهولة من محاولة إيجاد جميع التوافقيات المختلفة لاجتماع وجه كتابة واحد لكل من العملة الأولى والثانية والثالثة والرابعة ووجهي كتابة في أي توافق آخر وثلاثة أوجه كتابة في أي توافق آخر وهكذا.

لنلخص سريعًا ما تعلمناه في هذا الفيديو: إذا كان 𝐴 و𝐵 حدثين متنافيين، فإن احتمال 𝐴 اتحاد 𝐵 يساوي احتمال 𝐴 زائد احتمال 𝐵. إذن إذا كان 𝐴 و𝐵 حدثين متنافيين وأردنا معرفة ما إذا كان أحدهما سيقع أم الآخر، فعلينا جمع احتمالات وقوع الحدثين.

وإذا كان 𝐸 حدثًا، فإن 𝐸 شرطة أو المكمل 𝐸 هو الحدث المكمل حيث لا يقع 𝐸. نعلم أنه من المؤكد وقوع الحدث 𝐸 أو عدم وقوعه، ومن ثم فإن مجموع هذين الاحتمالين يجب أن يساوي واحدًا. احتمال 𝐸 زائد احتمال 𝐸 شرطة يساوي واحدًا. يمكننا إعادة ترتيب ذلك بطرق مختلفة لنجد أن احتمال 𝐸 يساوي واحدًا ناقص احتمال 𝐸 شرطة، واحتمال 𝐸 شرطة يساوي واحدًا ناقص احتمال 𝐸. إذن، احتمال وقوع أمر ما يساوي واحدًا ناقص احتمال عدم وقوعه، أو احتمال عدم وقوعه يساوي واحدًا ناقص احتمال وقوعه.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.