نسخة الفيديو النصية
أسقط رائد فضاء جسمًا من ارتفاع ٢٣٥٢ سنتيمترًا فوق سطح أحد الكواكب، فوصل الجسم إلى سطح الكوكب بعد ثماني ثوان. كانت كتلة الكوكب ٧٫١٦٤ في ١٠ أس ٢٤ كيلوجرام، وكانت كتلة كوكب الأرض ٥٫٩٧ في ١٠ أس ٢٤ كيلوجرام، ونصف قطر كوكب الأرض ٦٫٣٤ في ١٠ أس ستة متر. باعتبار عجلة الجاذبية تساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة، أوجد نصف قطر الكوكب الآخر.
يمكن حل هذه المسألة على جزأين. يتناول الجزء الأول من هذه المسألة بعض المعطيات حول إسقاط رائد فضاء لجسم من ارتفاع ٢٣٥٢ سنتيمترًا فوق سطح أحد الكواكب، ووصول الجسم إلى سطح الكوكب بعد ثماني ثوان؛ لأن ما يمكننا فعله هنا هو استخدام إحدى معادلات العجلة الثابتة لمساعدتنا في إيجاد قيمة عجلة الجاذبية على ذلك الكوكب. تعرف معادلات العجلة الثابتة أحيانًا باسم «معادلات الحركة بعجلة ثابتة». ويرجع السبب في ذلك إلى الحروف التي نستخدمها لتمثيل المتغيرات. ﻑ هي المسافة، وﻉ صفر السرعة المتجهة الابتدائية، وﻉ السرعة المتجهة النهائية، وﺟ العجلة، وﻥ الزمن.
أولًا، لدينا المسافة التي تساوي ٢٣٥٢ سنتيمترًا. ولكن، علينا تحويل وحدة هذه المسافة إلى المتر. إذن، سنقسم ٢٣٥٢ على ١٠٠؛ لأنه يوجد ١٠٠ سنتيمتر في المتر الواحد. ومن ثم، يصبح الناتج ٢٣٫٥٢ مترًا. ننتقل بعد ذلك إلى السرعة المتجهة الابتدائية. هذه السرعة ستساوي صفر متر لكل ثانية؛ لأننا نعلم من المعطيات أن رائد الفضاء أسقط جسمًا. ومن ثم، يبدأ الجسم حركته من السكون. لا نعلم السرعة المتجهة النهائية، ولا نريد إيجادها، لذا يمكننا تجاهلها. نحن نحاول إيجاد عجلة الجاذبية. وسنرمز إليها بـ ﺩ كوكب، أي الجاذبية على الكوكب. وأخيرًا، نعلم أن الزمن يساوي ثماني ثوان.
حسنًا، لدينا كل المتغيرات، لكن أي معادلات العجلة الثابتة يمكننا استخدامها لحل هذا الجزء من المسألة؟ المعادلة التي سنستخدمها هي ﻑ يساوي ﻉ صفرﻥ زائد نصف ﺟﻥ تربيع. وذلك لأنها تتضمن جميع المتغيرات لدينا، أو في الواقع، المتغيرات التي نبحث عنها. والآن، علينا التعويض في هذه المعادلة بالقيم التي لدينا. وعندما نفعل ذلك، نحصل على ٢٣٫٥٢ يساوي صفرًا مضروبًا في ثمانية زائد نصف مضروبًا في ﺩ كوكب مضروبًا في ثمانية تربيع. ومن ثم، نحصل على ٢٣٫٥٢ يساوي ٣٢ ﺩ كوكب. علينا الآن قسمة الطرفين على ٣٢. وبذلك، نحصل على قيمة ﺩ كوكب، وهي تساوي ٠٫٧٣٥. وهذا يوضح لنا أن عجلة الجاذبية على الكوكب تساوي ٠٫٧٣٥ متر لكل ثانية مربعة.
إذا ألقينا نظرة على معطيات الجزء الثاني من السؤال، فسنجد أنه لدينا كتلة الكوكب، وكتلة كوكب الأرض، ونصف قطر كوكب الأرض، وعجلة الجاذبية على كوكب الأرض، وقد أوجدنا عجلة الجاذبية على الكوكب الآخر، ونحاول إيجاد نصف قطر الكوكب الآخر. إذن، علينا استخدام قانون الجذب العام لنيوتن. ولأننا سنستخدم هذا القانون، لدينا صيغة تساعدنا في حل المسألة. وهي ﺩ يساوي ث مضروبًا في ﻙ على نق تربيع. ﺩ هنا عجلة الجاذبية، وث هو ثابت الجذب العام، وﻙ الكتلة، ونق نصف القطر.
نلاحظ مباشرة أن المعلومة غير المعطاة في هذه المسألة هي ثابت الجذب العام. لكن في الواقع، يمكننا إيجاد هذه القيمة باستخدام المعطيات لدينا. ويمكننا فعل ذلك باستخدام المعطيات عن كوكب الأرض. علمنا أن كتلة كوكب الأرض هي ٥٫٩٧ في ١٠ أس ٢٤ كيلوجرام، ونصف قطر كوكب الأرض يساوي ٦٫٣٤ في ١٠ أس ستة متر، وعجلة الجاذبية على كوكب الأرض تساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة. إذن كل ما علينا فعله هو التعويض بهذه القيم في الصيغة لدينا وإعادة ترتيبها لإيجاد قيمة ث، وهو ثابت الجذب العام. وبذلك، نحصل على ٩٫٨ يساوي ث مضروبًا في ٥٫٩٧ في ١٠ أس ٢٤ على ٦٫٣٤ في ١٠ أس ستة تربيع.
إذا أعدنا ترتيب ذلك بضرب كل طرف من طرفي المعادلة في ٦٫٣٤ في ١٠ أس ستة تربيع والقسمة على ٥٫٩٧ في ١٠ أس ٢٤، فإننا نحصل على ث يساوي ٩٫٨ في ٦٫٣٤ في ١٠ أس ستة تربيع على ٥٫٩٧ في ١٠ أس ٢٤. وهذا سيعطينا ث يساوي ٦٫٥٩٨ وهكذا مع توالي الأرقام مضروبًا في ١٠ أس سالب ١١ متر مكعب لكل كيلوجرام لكل ثانية مربعة. أوجدنا قيمة ذلك. والآن، يمكننا التعويض بالمعلومات التي لدينا لإيجاد نصف قطر الكوكب الآخر. ولكي نتمكن من ذلك، سنفرغ بعض المساحة في الجانب الأيمن. المعلومة التي سنبقي عليها هي حقيقة أن عجلة الجاذبية على الكوكب تساوي ٠٫٧٣٥. ونعلم أيضًا أن كتلة الكوكب تساوي ٧٫١٦٤ في ١٠ أس ٢٤.
نصف قطر الكوكب هو ما نحاول إيجاده. وثابت الجذب العام الذي أوجدناه في هذه المسألة يساوي ٦٫٥٩٨ وهكذا مع توالي الأرقام مضروبًا في ١٠ أس سالب ١١. في الواقع، ما فعلته هو الاحتفاظ بباقي هذه القيمة على الآلة الحاسبة كي نحصل على نتيجة دقيقة في النهاية. ومن ثم، نحصل على ٠٫٧٣٥ يساوي ٦٫٥٩٨ مضروبًا في ١٠ أس سالب ١١ في ٧٫١٦٤ مضروبًا في ١٠ أس ٢٤ على نق كوكب تربيع. بعد ذلك، علينا ضرب الطرفين في نق كوكب تربيع والقسمة على ٠٫٧٣٥، وهو ما يعطينا نق كوكب تربيع يساوي ٦٫٤٣١٢٩٦ في ١٠ أس ١٤. وإذا أخذنا الجذر التربيعي لكلا الطرفين، فسنحصل على نق كوكب يساوي ٢٥٣٦٠٠٠٠. ومن ثم، يمكننا القول إن نصف قطر الكوكب الآخر يساوي ٢٫٥٣٦ في ١٠ أس سبعة متر.
