تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: الضرب القياسي للمتجهات

سوزان فائق

يوضح الفيديو الفرق بين أنواع عمليات ضرب المتجهات، وتعريف الضرب القياسي للمتجهات وخواصه، والربط بينه وبين نظرية فيثاغورس، والمتجهات المتعامدة، ومثالًا عليها.

٠٨:٠٧

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو ده، هنتكلّم على الضرب القياسي للمتجهات.

الضرب القياسي للمتجهات ده نوع من عمليات الضرب للمتجهات، اللي بيبقى فيها ضرب متجهين في بعض. ولكن الكمّيّة الناتجة بتبقى كمّيّة قياسية مالهاش اتجاه. فيه نوعين كمان للضرب للمتجهات، اللي هو ضرب المتجه في عدد حقيقي، ده بينتج عنه متجه جديد. وفيه نوع اللي هو ضرب متجهين في بعض، وده بيبقى له ناتج قيمة مع اتجاه. وده بنسمّيه الضرب الاتجاهي.

هنتكلّم في الفيديو ده عن الضرب القياسي للمتجهات، اللي بينتج عنه كمّيّة قياسية. الضرب القياسي لمتجهين في المستوى الإحداثي، بيعرّف للمتجهين أ مركّبتيها أ واحد وَ أ اتنين، والمتجه ب مركّبتيه ب واحد وَ ب اتنين، كالآتي: أ ضرب قياسي ب بيساوي أ واحد، المركّبة الأولى في المتجه الأول، مضروبة في المركّبة الأولى في المتجه التاني. زائد المركّبة التانية في المتجه الأول، مضروبة في المركّبة التانية للمتجه التاني.

ومن خصائص الضرب القياسي، إن حاصل الضرب القياسي لمتجهين بيكون عدد وليس متجه. وبيتعامد متجهان غير صفريين إذا، وإذا فقط، إذا كان حاصل ضربهم القياسي صفر. والمتجهان اللذان حاصل ضربهما القياسي صفر بيبقى بنسمّيهم متجهان متعامدان. المتجهين المتعامدان، اللي همّ حاصل ضربهما القياسي صفر. ده كنا بنستفيد منهم لمطابقة نظرية فيثاغورس للمتجهات والخطوط المستقيمة في المثلث قائم الزاوية، زيّ ما هنشوف كده.

نقلب الصفحة. من نظرية فيثاغورس في المثلثات، قائم الزاوية كان بيبقى الوتر تربيع بيساوي مجموع مربعَي الضلعين الآخرين. وعلشان نطابق الكلام ده في المتجهات. فالمتجه ب أ تربيع، اللي هو طوله بيساوي طول المتجه أ تربيع زائد طول المتجه ب تربيع. ده باستخدام نظرية فيثاغورس. لكن لو استخدمنا الأطوال في المتجهات، يبقى طول ب أ بيساوي الجذر التربيعي لمركّبتيه. اللي هو المسافة ما بين النقطتين، اللي هو أ واحد ناقص ب واحد الكل تربيع، زائد أ اتنين ناقص ب اتنين الكل تربيع.

بتربيع الطرفين، يبقى معيار ب أ الكل تربيع هيساوي أ واحد ناقص ب واحد تربيع، زائد أ اتنين ناقص ب اتنين تربيع. بفكّ الأقواس، هيبقى أ واحد تربيع، ناقص اتنين أ واحد ب واحد، زائد ب واحد تربيع، زائد أ اتنين تربيع، ناقص اتنين أ اتنين ب اتنين، زائد ب اتنين تربيع. بإعادة تجميع الحدود المربَّعة، يعني أ واحد تربيع زائد أ اتنين تربيع زائد، ب واحد تربيع، زائد ب اتنين تربيع، ناقص اتنين مشترك، أ واحد ب واحد زائد أ اتنين ب اتنين.

علشان نطابق التعريف ده بالتعريف ده، يبقى معنى كده إن الـ أ معيارها تربيع هو قيمته أ واحد تربيع زائد أ اتنين تربيع، دي صحيحة في المتجهات. ب واحد تربيع زائد ب اتنين تربيع هي طول المتجه ب تربيع. يبقى القيمة دي لازم تساوي صفر. وهنلاقي إن أ واحد ب واحد زائد، أ اتنين ب اتنين هي تساوي أ ضرب قياسي ب. يبقى أ ضرب قياسي ب لو ساووا الصفر يبقى فعلًا المتجهين دول متعامدين. يبقى لو الضرب القياسي لمتجهين بيساوي صفر، يبقى المتجهين دول متعامدين. ولو أ واحد ب واحد زائد، أ اتنين ب اتنين بيساووا صفر، يبقى المتجهين أ وَ ب متعامدين. إذا، وإذا فقط …

نقلب الصفحة، ونشوف الخاصية دي. المتجهان المتعامدان، بيكون المتجهان غير الصفريين أ وَ ب متعامدين إذا، وإذا فقط، إذا كان أ ضرب قياسي ب بيساوي صفر. فيه خاصيّة مهمة جدًّا، على الرغم من أن حاصل الضرب القياسي للمتجه الصفري في أيّ متجه آخر يساوي صفر. يعني المتجه الصفري صفر وصفر، لمّا هنضربه ضرب قياسي، فمتجه أ واحد أ اتنين هيساوي المركّبة الأولى في المتجه الأول. مضروبة في المركّبة الأولى في المتجه التاني. يعني صفر مضروبة في الـ أ واحد، زائد المركّبة التانية، اللي هي صفر في المتجه الأول. مضروبة في المركّبة التانية للمتجه التاني. الكلام ده هيساوي صفر. إلّا أن المتجه الصفري لا يعامد أيّ متجه آخر؛ لأنه ليس له طول أو أيّ اتجاه. علشان كده في تعريف المتجهات المتعامدة بنقول: يكون المتجهان غير صفريين؛ لأن لو طلعوا يساووا صفر يبقى همّ فعلًا متعامدين.

نقلب الصفحة، وناخد مثال. اوجد الضرب القياسي للمتجهين أ وَ ب. ثم تأكَّد مما إذا كانا متعامدين.

يبقى أول واحدة، المتجه أ ضرب قياسي المتجه ب هيساوي … المركّبة الأولى في المتجه الأول في المركّبة الأولى في المتجه التاني يعني تلاتة في سالب أربعة. زائد المركّبة التانية في المتجه الأول، اللي هي ستة، مضروبة في المركّبة التانية في المتجه التاني. هيساوي … هتساوي سالب اتناشر زائد اتناشر. هيساوي صفر. يبقى بما أن المتجه أ ضرب قياسي المتجه ب يساوي صفر؛ إذن المتجهان متعامدان. وممكن نتأكّد من الرسم. لو رسمنا المتجه أ، اللي هو تلاتة وستة، بالشكل ده. والمتجه ب، اللي هو سالب أربعة واتنين، بالشكل ده. هنلاقي فعلًا إن الزاوية ما بينهم زاوية تسعين درجة.

نقلب الصفحة، ونحلّ المثال التاني. المتجه أ اتنين وخمسة، والمتجه ب تمنية وأربعة ضرب قياسي ما بينهم.

هيبقى أ ضرب قياسي ب هيساوي اتنين في تمنية زائد، خمسة في أربعة. هتساوي ستاشر زائد عشرين. يعني هتساوي ستة وتلاتين. لا يساوي صفر. يبقى بما أن المتجه أ ضرب قياسي الـ ب لا يساوي صفر، يبقى المتجهين دول غير متعامدين. وممكن نتأكّد من الرسم، زيّ ما إحنا شايفين، المتجه أ والمتجه ب، الزاوية ما بينهم لا تساوي تسعين درجة.

في الفيديو ده عرفنا يعني إيه الضرب القياسي للمتجهات. وعرفنا إمتى بيكون المتجهات متعامدة.