فيديو السؤال: تحليل اتزان جسم يرتكز على مستوى أفقي خشن مربوط بخيط مائل يجعل الجسم على وشك الحركة الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

جسم وزنه ٦٣ نيوتن يرتكز على مستوى أفقي خشن. ظل زاوية الاحتكاك السكوني بين الجسم والمستوى يساوي ثمنًا. ربط الجسم بخيط خفيف غير مرن يميل على الأفقي بزاوية جيبها ١٢ على ١٥. إذا كان الشد في الخيط يجعل الجسم على وشك الحركة، فأوجد مقدار قوة الشد ﺵ ومقدار الاحتكاك السكوني ﺡﺱ.

حسنًا، قبل أن نبدأ في الحل، دعونا نكتب بعضًا من هذه المعطيات. نعرف أننا نتعامل مع جسم وزنه ٦٣ نيوتن؛ وسنسمي هذا الوزن ﻭ. كما يخبرنا السؤال عن هذه الكمية التي تسمى زاوية الاحتكاك السكوني، وبالتحديد يخبرنا عن ظل تلك الزاوية. تشير زاوية الاحتكاك السكوني هذه إلى حالة يكون فيها الجسم في حالة سكون على سطح ما. وبعد ذلك، قليلًا قليلًا، نجعل هذا السطح يميل حتى نصل في النهاية إلى ميل يكفي لأن يبدأ عنده الجسم في الانزلاق. عند هذه اللحظة، الزاوية التي يصنعها المستوى المائل مع المستوى الأفقي تسمى زاوية الاحتكاك السكوني.

وفي هذه المسألة، نعرف من المعطيات قيمة ظل تلك الزاوية. ومن المفيد أن نلاحظ أن ظل زاوية الاحتكاك السكوني يساوي دائمًا معامل الاحتكاك السكوني. كل هذا يعني أنه لهذا الجسم تحديدًا وعلى هذا المستوى الأفقي تحديدًا، فإن معامل الاحتكاك السكوني يساوي ثمنًا. بالإضافة إلى ذلك، نعرف من المعطيات أن الجسم مربوط بخيط خفيف غير مرن. بعبارة أخرى، نقول إن الخيط لا يتمدد على الإطلاق، وأيضًا ليس له كتلة. إذا رسمنا هذا الخيط، نعرف من المعطيات أنه يميل على المستوى الأفقي بزاوية جيبها هو هذه النسبة، ١٢ على ١٥.

بعبارة أخرى، إذا رسمنا مثلثًا قائم الزاوية حيث يمثل الخيط وتر المثلث، فإن جيب هذه الزاوية الداخلية هنا يساوي ١٢ على ١٥. بما أن جيب هذه الزاوية يساوي نسبة طول هذا الضلع إلى طول الوتر، فيمكننا القول إن طول الضلع الرأسي لهذا المثلث الذي رسمناه يساوي ١٢ وحدة، بينما طول الوتر يساوي ١٥. وبناء على كل هذا، كما رأينا، نريد الحل لإيجاد قيمة قوة الشد ﺵ في الخيط ومقدار الاحتكاك السكوني ﺡﺱ بين الجسم والمستوى الأفقي.

نفرغ بعض المساحة على الشاشة، وكما قلنا، نريد إيجاد قوة الشد ﺵ وقوة الاحتكاك السكوني ﺡﺱ. نبدأ بالحل لإيجاد قيمة قوة الشد ﺵ، ونعلم أنه عندما يشد الخيط الجسم، فإنه يجعل الجسم على وشك الحركة. وبما أن الخيط يشد رأسيًّا لأعلى وأفقيًّا إلى اليمين، فإن حقيقة أن الجسم على وشك الحركة قد تعني أشياء مختلفة. من ناحية، قد تعني أن الجسم على وشك الحركة رأسيًّا لأعلى بعيدًا عن السطح. ومن ناحية أخرى، قد تعني أن الجسم على وشك الحركة إلى اليمين، أي إن القوة في اتجاه الحركة تغلبت على قوة الاحتكاك السكوني التي تبقيه في مكانه. ثم، من الناحية العملية، يوجد أيضًا خيار ثالث، وهو أن نوعي الحركة هذين سيحدثان في اللحظة ذاتها.

لمزيد من الوضوح حول القوى المؤثرة على الجسم، دعونا نرسم شكلًا مفصلًا نوعًا ما. ومن هذا المنظور، بالإضافة إلى قوة الشد المؤثرة على الجسم، عرفنا أنه توجد قوة وزن، تساوي الكتلة في عجلة الجاذبية، التي تؤثر عليه، علمًا بأنه لم ترسم الأسهم هنا وفق مقياس رسم دقيق. وما دام أن الجسم بقي في مكانه، توجد أيضًا قوة احتكاك سكوني ﺡﺱ تؤثر إلى اليسار. وأخيرًا، قد توجد أو لا توجد قوة رد فعل ﺭ تؤثر على الجسم. هذا يعتمد على المركبة الرأسية لقوة الشد مقارنة بقوة الوزن التي تؤثر لأسفل. هذه هي القوى التي تؤثر أو من المحتمل أن تؤثر على الجسم عندما يكون في حالة السكون.

الآن، كما ذكرنا، تحت تأثير قوة الشد ﺵ هذه، يكون الجسم على وشك الحركة. ويمكن أن تكون هذه الحركة في الاتجاه الرأسي فقط، أو في الاتجاه الأفقي أو في الاتجاهين. يمكننا بالتأكيد معرفة أي الحالات الثلاث تكون هذه الحالة، لكن فقط إذا بدأنا بوضع افتراض. لنفترض أنه تحت تأثير قوة الشد ﺵ هذه، يكون الجسم على وشك الحركة ولكن في الاتجاه الأفقي فقط. إذا كان هذا صحيحًا، فهذا يعني اتزان كل القوى الأفقية المؤثرة على الجسم. عندما يتعلق الأمر بهذه القوى، نلاحظ أنه توجد مركبة أفقية لقوة الشد، ومن ثم قوة الاحتكاك السكوني التي تؤثر في الاتجاه المعاكس.

لنفترض أننا نتفق على أن القوى المؤثرة في اتجاه اليمين موجبة. ولنقل أيضًا إننا سنطلق اسمًا على هذه الزاوية الداخلية في المثلث القائم الزاوية. لنطلق على هذه الزاوية 𝜙. ونظرًا لأنه توجد قوة شد ﺵ على طول الخيط وأن ذلك الخيط يصنع الزاوية 𝜙 أعلى المستوى الأفقي، يمكننا القول إن المركبة الأفقية لـ ﺵ تساوي ﺵ في جتا 𝜙. إذا طرحنا من ذلك قوة الاحتكاك ﺡﺱ، التي كما لاحظنا تؤثر في الاتجاه المعاكس، فسنحصل على صفر. وهذا ما يعنيه أن تكون هذه القوى متزنة. يمكننا إذن كتابة ﺵ في جتا 𝜙 يساوي ﺡﺱ. لنفكر الآن في قوة الاحتكاك.

عندما تكون قوة الاحتكاك عبارة عن قوة احتكاك سكوني، فإنها غالبًا ما تكتب على صورة ﺡﺱ. وهو يساوي معامل الاحتكاك السكوني مضروبًا في قوة رد الفعل التي يتأثر بها الجسم. في كثير من الحالات، تكون قوة رد الفعل ﺭ مساوية لقوة الوزن التي تساوي ﻙ في ﺩ لجسم معين ومضادة لها في الاتجاه. لكن في هذه الحالة، الأمر ليس كذلك. وذلك لأن لدينا هذه المركبة الرأسية لقوة الشد. وهذه المركبة الرأسية تساوي ﺵ في جا 𝜙. وإذا افترضنا أن القوى في الاتجاه الرأسي لأعلى كانت موجبة، يمكننا إذن القول إن قوة رد الفعل ﺭ زائد ﺵ في جا 𝜙 ناقص ﻙ في ﺩ يساوي صفرًا. وهذا يعني أن قوة رد الفعل ﺭ تساوي ﻙ في ﺩ ناقص ﺵ جا 𝜙.

والآن، إذا كانت هذه المركبة الرأسية لقوة الشد مساوية لقوة الوزن ومضادة لها في الاتجاه، فسنلاحظ أن قوة رد الفعل ﺭ تساوي صفرًا. لكن بالاستمرار في افتراضنا أن الجسم على وشك الحركة أفقيًّا فقط، يمكننا القول إن قوة رد الفعل ﺭ لا تساوي صفرًا. وكما ذكرنا، ستسنح لنا لاحقًا فرصة لاختبار إذا ما كان افتراضنا صحيحًا. ومع ذلك، لدينا الآن تعبير سنستخدمه لقوة رد الفعل ﺭ في معادلة قوة الاحتكاك السكوني. كل هذا يعني أنه يمكننا إعادة كتابة هذه القوة ﺡﺱ على الصورة ﻡﺱ في الكمية ﻙ في ﺩ ناقص ﺵ جا 𝜙.

تذكر أن قيمة ﻡﺱ معطاة في رأس المسألة، وهي ثمن. ويمكننا أيضًا ملاحظة أن ﻙ في ﺩ، أي كتلة الجسم مضروبة في عجلة الجاذبية، يساوي وزنه، وهو ما لدينا متغير وقيمة له. بإفراغ مساحة مرة أخرى، ها هو ما توصلنا إليه. وفقًا لافتراضنا حول حركة الجسم، ﺵ، الشد في الخيط، مضروبًا في جتا 𝜙 يساوي ﻡﺱ، وهي قيمة معروفة، مضروبًا في كمية ﻭ، المعروفة أيضًا، ناقص ﺵ في جا 𝜙.

نريد الحل لإيجاد قيمة الشد ﺵ. دعونا أولًا نضرب في ﻡﺱ في الطرف الأيسر. ثم دعونا نضف ﻡﺱ في ﺵ في جا 𝜙 إلى طرفي المعادلة. عندما نفعل ذلك ونأخذ الشد ﺵ الذي على اليمين عاملًا مشتركًا، يمكننا إذن قسمة الطرفين على جتا 𝜙 زائد ﻡﺱ في جا 𝜙. ثم إذا حذفنا ما سيحذف من الطرف الأيمن، فسنحصل على معادلة حيث ﺵ هو المتغير التابع. ونظرًا لأننا نعرف قيمتي ﻡﺱ وﻭ، فإن المتبقي للحل هو إيجاد قيمتي جيب تمام وجيب هذه الزاوية 𝜙.

وبالرجوع إلى الشكل والمثلث القائم الزاوية الذي رسمناه، نتذكر أننا نعلم بالفعل قيمة جيب هذه الزاوية التي أسميناها 𝜙. وهي تساوي نسبة طول الضلع المقابل في المثلث إلى طول الوتر. بعبارة أخرى، جا 𝜙 يساوي ١٢ على ١٥. وعندما يتعلق الأمر بـ جتا 𝜙، فإن ذلك الطول يساوي طول هذا الضلع من المثلث. وبما أن هذا المثلث قائم الزاوية، ونعرف طولي الضلعين الآخرين، يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد طول هذا الضلع. إذا سمينا طول هذا الضلع من المثلث ﻝ، فيمكننا القول إن ﻝ يساوي الجذر التربيعي لـ ١٥ تربيع ناقص ١٢ تربيع. وهذا يساوي تسعة بالضبط. إذن، ﻝ يساوي تسعة وجتا 𝜙 يساوي ﻝ على ١٥، أو بعبارة أخرى، تسعة على ١٥.

نحن الآن مستعدون للتعويض بكل هذه المعطيات في الطرف الأيسر من المعادلة. بإغفال الوحدات، نجد أن ﺵ يساوي هذا الكسر. وإذا كتبنا هذا التعبير على الآلة الحاسبة، فسنحصل على ١١٫٢٥. وبما أن الشد يمثل قوة، فإننا نعرف أن وحدة هذا التعبير هي نيوتن. إجابة الجزء الأول من السؤال هي أن الشد ﺵ في الخيط يساوي ١١٫٢٥ نيوتن. يمكننا الآن أن ننتقل إلى الجزء الثاني، حيث نحسب قوة الاحتكاك السكوني ﺡﺱ. رأينا سابقًا أن مقدار هذه القوة يساوي ﺵ في جتا 𝜙. وهو ما يساوي ١١٫٢٥ في تسعة على ١٥ بوحدة النيوتن. وهذا يساوي ٦٫٧٥ نيوتن.

لقد أجبنا الآن عن هذين الجزأين من السؤال، لكن يتبقى أمر المسألة التي لم تحسم بعد وهي إذا ما كان افتراضنا الذي بدأنا به صحيحًا. قبل أن نعرف مقدار الشد ﺵ، رأينا أن الجسم كان يمكن أن يكون على وشك الحركة في الاتجاه الرأسي فقط، أو في الاتجاه الأفقي فقط، أو في الاتجاهين الرأسي والأفقي معًا. والآن بعد أن عرفنا مقدار الشد ﺵ في الخيط، دعونا نفكر في تأثير هذا على الحركة الرأسية لهذا الجسم. كما رأينا، المركبة الرأسية لـ ﺵ تساوي ﺵ في جا 𝜙. هذا يساوي ١١٫٢٥ في ١٢ على ١٥ نيوتن. وهذا يساوي تسعة نيوتن بالضبط.

إذن، عندما يكون الجسم على وشك الحركة في الاتجاه الأفقي، تكون المركبة الرأسية لهذه القوة هي تسعة نيوتن. ويكون مضادًّا لها قوة وزن مقدارها ٦٣ نيوتن. وحقيقة أن قوة الوزن هي الأكبر بين هاتين القيمتين، تؤكد صحة افتراضنا. تحت تأثير قوة الشد هذه، يبدأ الجسم في الحركة في الاتجاه الأفقي قبل أن يبدأ في الحركة رأسيًّا. إذن، افتراضنا الأولي كان صحيحًا. ومن ثم، يمكننا القول بثقة إن ﺵ يساوي ١١٫٢٥ نيوتن، وﺡﺱ يساوي ٦٫٧٥ نيوتن، هما الإجابتان النهائيتان.