فيديو الدرس: الدوال المركبة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نكون دالة مركبة من خلال تركيب دالتين أو أكثر من الدوال الخطية أو التربيعية أو الأسية أو الجذرية. وسوف نبدأ بمناقشة ما تعنيه الدالة المركبة في واقع الأمر وما تمثله. وسوف نتناول بعد ذلك مجموعة من الأمثلة حول إيجاد تعبيرات عامة للدوال المركبة وإيجاد قيمتها عند قيم معينة. وسنتعرف أيضًا على كيفية إيجاد مجال دالة مركبة. قبل أن نبدأ، يجب أن تكون بالفعل على دراية وعلم بطريقة كتابة الدوال وتعريف مجال الدالة ومداها.

إذن، ما الدالة المركبة؟ حسنًا، دعونا نناقش ذلك في سياق سيناريو عملي. افترض أنك دخلت متجرًا يقدم خصمًا بنسبة ٢٠ بالمائة. ولديك أيضًا قسيمة شراء قيمتها ١٠ جنيهات، والتي حصلت عليها كهدية في عيد ميلادك. وعندما تجولت عبر المتجر، قررت شراء سلعة تكلفتها ١٥٠ جنيهًا. لنلق نظرة على كيفية تطبيق الخصومات التي حصلت عليها. الآن، في معظم المتاجر، سيطبق بائع المتجر الخصم الذي قيمته ٢٠ بالمائة أولًا. ومن ثم، ستصبح الآن تكلفة سلعتك، التي كانت تكلفتها في الأصل ١٥٠ جنيهًا، ٨٠ بالمائة من هذا المبلغ. يمكنك إيجاد قيمة ٨٠ بالمائة من المبلغ عن طريق ضربه في العدد العشري ٠٫٨. إذن، بعد تطبيق الخصم الذي قيمته ٢٠ بالمائة، ستصبح تكلفة سلعتك الآن ١٢٠ جنيهًا.

ستقدم بعد ذلك قسيمة الشراء المهداة لك، وسيخصم بائع المتجر ١٠ جنيهات من السعر. وبذلك، سيصبح السعر النهائي الذي ستدفعه ١١٠ جنيهات. والآن، كل من هذين الخصمين يمكن تمثيلهما بالفعل باستخدام الدوال. افترض أن ﺱ يمثل سعر السلعة. ومن ثم، فالدالة ﺩﺱ تساوي ٠٫٨ ﺱ يمكن استخدامها لتوضح خصمًا قيمته ٢٠ بالمائة، حيث تحسب هذه الدالة ٨٠ بالمائة من القيمة الأصلية. والدالة ﺭﺱ تساوي ﺱ ناقص ١٠ يمكن استخدامها لتمثيل خصم قيمته ١٠ جنيهات. عند تطبيق الخصم الذي قيمته ٢٠ بالمائة، فهذا تطبيق الدالة ﺩﺱ. وعند طرح الـ ١٠ جنيهات، فهذا تطبيق الدالة ﺭﺱ على الناتج.

ما فعلناه هو تطبيق دالة مركبة، وهذه الدالة معروفة بالصورة ﺭ لـ ﺩﺱ. نأخذ قيمة ﺱ، ونطبق الدالة ﺩ، ثم نطبق الدالة ﺭ على الناتج. ويكون ترميز ذلك على النحو الموضح على الشاشة. تكون لدينا في بعض الأحيان دائرة صغيرة بين الحرفين المستخدمين لتمثيل الدالتين، ولكنك في أحيان أخرى ستراها من دون هذه الدائرة. إذن، هذه هي الفكرة وراء الدوال المركبة. نطبق دالة واحدة ثم نطبق دالة أخرى على الناتج. لنلق نظرة على كيفية تطبيق هذا بأسلوب منهجي من خلال مثال.

إذا كانت ﺩﺱ تساوي ثلاثة ناقص ﺱ تربيع، وﺭﺱ تساوي اثنين ﺱ زائد أربعة، فأوجد قيمة ﺩ لـ ﺭ واحد.

الآن، دعونا نوضح الترميز المستخدم في المسألة. ‏‏ﺩ لـ ﺭ واحد تعني أننا نوجد قيمة الدالة المركبة ﺩ لـ ﺭﺱ عندما ﺱ يساوي واحدًا. وقد نراها أيضًا مكتوبة مع وجود دائرة صغيرة بين الحرفين. الآن، ما علينا تذكره هو أن الدالة المركبة ﺩ لـ ﺭﺱ تعني أنها الدالة التي نحصل عليها عندما نطبق ﺭ أولًا ثم نطبق ﺩ على الناتج. فهي لا تعني حاصل ضرب الدالتين ﺩ وﺭ. سنتناول طريقتين لحل هذه المسألة. في الطريقة الأولى، سنعوض عن ﺱ بواحد مباشرة في البداية. وعليه، سنوجد ﺭ واحد ثم نحسب ﺩ عند هذه القيمة. ‏‏ﺭﺱ هي الدالة اثنان ﺱ زائد أربعة، إذن ﺭ واحد ستساوي اثنين مضروبًا في واحد زائد أربعة، وهو ما يساوي ستة.

سنأخذ الآن هذه القيمة ونوجد قيمة الدالة ﺩ. إذن، ﺩ لـ ﺭ واحد ستصبح ببساطة ﺩ ستة. ‏‏ﺩﺱ هي الدالة ثلاثة ناقص ﺱ تربيع، وعليه، فإن ﺩ ستة ستساوي ثلاثة ناقص ستة تربيع. هذا يساوي ثلاثة ناقص ٣٦، أي سالب ٣٣. إذن، بهذه الطريقة، أوجدنا قيمة ﺭ واحد، أولًا، ثم أخذنا هذه القيمة كقيمة مدخلة للدالة الثانية. وفي النهاية، وجدنا أن ﺩ لـ ﺭ واحد تساوي سالب ٣٣. الطريقة الثانية التي يمكننا استخدامها هي إيجاد تعبير جبري عام للدالة المركبة ﺩ لـ ﺭﺱ ثم إيجاد قيمتها عندما ﺱ يساوي واحدًا. قد يكون الأمر أكثر تعقيدًا في هذه الحالة، لكن هذه الطريقة ستكون مفيدة إذا طلب منا إيجاد قيم ﺩ لـ ﺭﺱ عند عدة قيم مختلفة لـ ﺱ.

لنر كيف يبدو هذا. سنحاول إيجاد الدالة المركبة العامة ﺩ لـ ﺭﺱ. تذكر أن ﺭﺱ هي الدالة اثنان ﺱ زائد أربعة. إذن، بالتعويض عن ﺭﺱ باثنين ﺱ زائد أربعة، سنكون بصدد إيجاد الدالة ﺩ اثنين ﺱ زائد أربعة. وبعدها، نستخدم التعبير اثنان ﺱ زائد أربعة كقيمة مدخلة للدالة ﺩ. ‏‏‏ ﺩﺱ هي الدالة ثلاثة ناقص ﺱ تربيع. إذن، ﺩ اثنين ﺱ زائد أربعة هي الدالة ثلاثة ناقص اثنين ﺱ زائد أربعة الكل تربيع. يمكننا الاحتفاظ بالدالة المركبة على هذه الصورة أو يمكننا توزيع الأقواس وتبسيطها، إذا أردنا. وبذلك، سيصبح لدينا ﺩ لـ ﺭﺱ تساوي سالب أربعة ﺱ تربيع ناقص ١٦ﺱ ناقص ١٣.

لدينا الآن تعبير عام للدالة ﺩ لـ ﺭﺱ. ولكن تذكر أنه مطلوب منا إيجاد قيمة الدالة عندما ﺱ يساوي واحدًا. إذن، الخطوة الأخيرة هي التعويض عن ﺱ بواحد. هذا سيعطينا سالب أربعة ناقص ١٦ ناقص ١٣، وهو ما يساوي سالب ٣٣، أي الناتج نفسه الذي أوجدناه باستخدام الطريقة السابقة. ففي كلتا الحالتين، وجدنا أن ﺩ لـ ﺭ واحد تساوي سالب ٣٣. قد تكون الطريقة الأولى مباشرة بشكل أكبر لهذه المسألة بعينها. لكن إذا أردنا إيجاد قيم ﺩ لـ ﺭﺱ عند عدة قيم مختلفة لـ ﺱ، فستكون الطريقة الثانية إذن أكثر فاعلية.

الآن وقد رأينا كيفية تركيب دالتين، ربما تتساءل عما إذا كان الترتيب الذي نستخدمه يحدث فرقًا. فهل الدالة ﺩ لـ ﺭﺱ هي نفسها الدالة ﺭ لـ ﺩﺱ؟ حسنًا، فلننظر إلى سيناريو عملي لاستكشاف ذلك. فلنعد إلى السيناريو الذي بدأنا به، حيث كان لدينا قسيمة شراء قيمتها ١٠ جنيهات لمتجر يقدم خصمًا قيمته ٢٠ بالمائة. لقد رأينا مسبقًا أنه يمكننا تمثيل هذين الخصمين بدالتين. ‏‏ﺩﺱ تساوي ٠٫٨ﺱ، وﺭﺱ تساوي ﺱ ناقص ١٠. كما رأينا أننا إذا اشترينا سلعة تكلفتها ١٥٠ جنيهًا، وطبقنا الخصم الذي قيمته ٢٠ بالمائة قبل قسيمة الشراء التي قيمتها ١٠ جنيهات، فستكون تكلفة هذه السلعة ١١٠ جنيهات.

والآن يمكن تمثيل هذا بالدالة المركبة ﺭ لـ ﺩﺱ. ‏‏‏ﺩﺱ هي الدالة ٠٫٨ﺱ، إذن هذا سيساوي الدالة ﺭ لـ ٠٫٨ﺱ. نأخذ إذن ٠٫٨ﺱ كقيمة مدخلة للدالة ﺭﺱ. وبطرح ١٠ من هذا، يصبح لدينا ﺭ لـ ﺩﺱ تساوي ٠٫٨ﺱ ناقص ١٠. افترض أنه، بدلًا من ذلك، قد خصم بائع المتجر قسيمة الشراء التي قيمتها ١٠ جنيهات من السعر أولًا قبل أن يطبق الخصم الذي قيمته ٢٠ بالمائة. حسنًا، ١٠ جنيهات مطروحة من ١٥٠ جنيهًا يساوي ١٤٠ جنيهًا، ثم ٨٠ بالمائة من ١٤٠ أو ٠٫٨ في ١٤٠ يساوي ١١٢. إذن في هذا السيناريو، ستكون تكلفة السلعة ١١٢ جنيهًا.

لاحظ أن هذا ليس نفس الناتج الذي نحصل عليه إذا طبقنا الخصمين بالترتيب الآخر. هذه المرة، يمكن تمثيل العملية الإجمالية بالدالة المركبة ﺩ لـ ﺭﺱ. نطبق أولًا ﺭﺱ، بطرح ١٠ من السعر. ثم سنطبق ﺩ على هذا الناتج. ‏‏ﺩﺱ هي الدالة ٠٫٨ﺱ، إذن ﺩﺱ ناقص ١٠ تساوي ٠٫٨ مضروبًا في ﺱ ناقص ١٠ أو ٠٫٨ﺱ ناقص ثمانية. نلاحظ إذن أن الدالتين المركبتين ﺭ لـ ﺩﺱ وﺩ لـ ﺭﺱ لا تعطياننا الناتج نفسه. وذلك لأن ﺭ لـ ﺩﺱ تساوي ٠٫٨ﺱ ناقص ١٠، وﺩ لـ ﺭﺱ تساوي ٠٫٨ﺱ ناقص ثمانية. وعليه، نرى أن الطريقة التي نستخدمها لتطبيق الخصمين تحدث فارقًا. ومن ثم، فالترتيب مهم عندما يتعلق الأمر بتركيب دالتين.

ثمة حالات خاصة معينة يمكن أن تتساوى فيها الدالة ﺩ لـ ﺭﺱ مع الدالة ﺭ لـ ﺩﺱ، مثل إذا ما كانت كل من الدالتين دالة عكسية للأخرى. وقد يكون صحيحًا، في حالات معينة، أن تساوي الدالة ﺩ لـ ﺭﺱ الدالة ﺭ لـ ﺩﺱ لقيم ﺱ معينة، ولكن ليس بالتأكيد لكل قيم ﺱ. إذن، يمكننا القول بشكل عام إن ﺩ لـ ﺭﺱ لا تساوي ﺭ لـ ﺩﺱ. ومن ثم، علينا الانتباه جيدًا للترتيب الذي نركب به الدوال. ولنتابع الآن ونتناول مثالين آخرين.

في الشكل الآتي، يمثل المنحنى الأحمر ﺹ يساوي ﺩﺱ، بينما يمثل الأزرق ﺹ يساوي ﺭﺱ. ما قيمة ﺩ لـ ﺭ اثنين؟

بداية، نتذكر أن الترميز ﺩ لـ ﺭ اثنين يعني أننا نعوض عن قيمة ﺱ باثنين، ونطبق الدالة ﺭ أولًا، ثم نطبق الدالة ﺩ على الناتج. لنبدأ إذن بإيجاد قيمة ﺭ اثنين. تذكر أن ﺭ يمثلها المنحنى الأزرق. إذن، نحدد اثنين على المحور ﺱ، ونتحرك لأعلى نحو المنحنى الأزرق — أي هذه النقطة هنا — ونجد أن قيمة ﺹ، التي ستكون ﺭ اثنين، تساوي واحدًا. وعليه، بتطبيق ﺭﺱ على القيمة اثنين، نحصل على القيمة واحد. سنطبق الآن الدالة ﺩ على الناتج. ‏‏ﺩ لـ ﺭ اثنين تصبح ﺩ واحد. لقد عوضنا عن ﺭ اثنين بالقيمة التي وجدناها وهي واحد.

ثم نعود إلى الشكل، وننظر هذه المرة إلى المنحنى الأحمر. نحدد واحدًا على المحور ﺱ، ونتحرك لأعلى نحو المنحنى الأحمر — أي هذه النقطة هنا، ونجد أن قيمة ﺹ، التي تمثل ﺩ واحد، ستساوي ثلاثة. ومن ثم، نجد أن ﺭ اثنين تساوي واحدًا، وﺩ لـ ﺭ اثنين، وهو ما يمثل ﺩ واحد، تساوي ثلاثة. وبذلك، نكون أكملنا المسألة. والآن، لتوضيح نقطة مهمة فحسب، نفترض أننا فعلنا ذلك بالترتيب العكسي. فنفترض أننا نفكر في أن ﺩ لـ ﺭ اثنين تعني تطبيق الدالة ﺩ أولًا.

بالنظر إلى اثنين على المحور ﺱ والانتقال لأعلى نحو المنحنى الأحمر، نجد أن ﺩ اثنين تساوي أربعة. وإذا طبقنا بعد ذلك الدالة ﺭ على الناتج، وهو ما سيكتب بالترميز الصحيح ﺭ لـ ﺩ اثنين، أي ﺭ لأربعة. نحدد أربعة على المحور ﺱ، وننتقل لأعلى نحو المنحنى الأزرق، ونجد أن قيمة ﺹ هنا تساوي أربعة. إذن، ﺭ لـ ﺩ اثنين تساوي أربعة، بينما ﺩ لـ ﺭ اثنين تساوي ثلاثة. ومن ثم، نلاحظ أن الترتيب مهم للغاية عند تركيب دالتين. إذن، الإجابة الصحيحة لـ ﺩ لـ ﺭ اثنين، هي ثلاثة.

في المثال التالي، سنتناول كيفية تحديد مجال دالة مركبة.

إذا كانت الدالة ﺩﺱ تساوي ١٧ على ﺱ، حيث ﺱ لا يساوي صفرًا، والدالة ﺭﺱ تساوي ﺱ تربيع ناقص ٣٦١، فأوجد مجال الدالة ﺩ لـ ﺭﺱ.

نتذكر أولًا أن هذا الترميز، ﺩ ثم دائرة صغيرة ثم ﺭﺱ، يعني الدالة المركبة التي نوجدها عندما نطبق الدالة ﺭ أولًا ثم نطبق الدالة ﺩ على الناتج. مطلوب منا إيجاد مجال هذه الدالة المركبة. ونتذكر بعد ذلك أن مجال أي دالة هو مجموعة جميع القيم المدخلة التي تكون الدالة معرفة عندها. لاحظ أنه، في تعريف الدالة ﺩﺱ، تخبرنا المسألة أن هذه الدالة تكون معرفة عندما يكون ﺱ لا يساوي صفرًا. وهذا لأننا إذا حاولنا إيجاد قيمة ﺩ لصفر، فسنحصل على ١٧ على صفر، وهي قيمة غير معرفة. إذن، مجال الدالة ﺩﺱ هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا الصفر.

وبالنسبة إلى الدالة ﺭﺱ، فليس ثمة قيود لأنه لا توجد أي قيم تسبب مشاكل. فيمكننا تربيع أي قيمة، ثم يمكننا طرح ٣٦١ منها من دون مواجهة أي مشاكل فيما يتعلق بالقيم غير المعرفة. سنتناول طريقتين لحل هذه المسألة. الطريقة الأولى هي إيجاد تعبير جبري للدالة المركبة ﺩ لـ ﺭﺱ. فنبدأ بقيمة ﺱ، ونطبق الدالة ﺭﺱ، وهو ما سيعطينا ﺱ تربيع ناقص ٣٦١، ثم نأخذ هذا كقيمة مدخلة للدالة ﺩ. ‏‏ﺩﺱ هي الدالة التي نقسم فيها ١٧ على هذه القيمة المدخلة. إذن، ﺩﺱ تربيع ناقص ٣٦١ تساوي ١٧ على ﺱ تربيع ناقص ٣٦١. وبذلك، أصبح لدينا تعبير عام للدالة المركبة ﺩ لـ ﺭﺱ.

والآن، لاحظ أن هذا التعبير سيكون غير معرف عندما يساوي مقام الكسر صفرًا. أي عندما يكون ﺱ تربيع ناقص ٣٦١ يساوي صفرًا. يمكننا حل هذه المعادلة بإضافة ٣٦١ إلى كل طرف ثم أخذ الجذر التربيعي. الجذر التربيعي لـ ٣٦١ يساوي ١٩، وبذلك نجد أن الدالة ﺩ لـ ﺭﺱ ستكون غير معرفة عندما ﺱ يساوي موجب أو سالب ١٩. هذا يعني أن الدالة ﺩ لـ ﺭﺱ قد تكون معرفة عند جميع القيم ما عدا موجب أو سالب ١٩، ولذا، يمكننا التعبير عن مجالها بطريقتين. فيمكننا إما أن نكتب ﺱ لا يساوي موجب أو سالب ١٩. وإما أن نكتب المجال هو مجموعة كل الأعداد الحقيقية ناقص المجموعة التي تحتوي على العنصرين سالب ١٩ وموجب ١٩. فأي من هذين الترميزين سيكون صحيحًا بالتأكيد.

والآن، ثمة طريقة أخرى لحل هذه المسألة وهي أن تستخدم حقيقة أن الدالة الثانية ﺩﺱ لا يمكن أن تكون معرفة عند القيمة صفر. إذا كانت الدالة ﺩ لصفر غير معرفة، فهذا يعني أن الدالة المركبة ﺩ لـ ﺭﺱ ستكون غير معرفة عندما تكون الدالة ﺭﺱ تساوي صفرًا. أي عندما تعطينا الدالة الأولى القيمة صفرًا، التي نحاول فيما بعد استخدامها كقيمة مدخلة في الدالة الثانية. ‏‏ﺭﺱ هي الدالة ﺱ تربيع ناقص ٣٦١. إذن، لإيجاد القيمة التي عندها ﺭﺱ تساوي صفرًا، سنحل هذه المعادلة التربيعية. ولكن هذا سيجعلنا نصل إلى مرحلة الحل نفسها التي كنا عندها في الطريقة السابقة. ومن ثم، ستكون أي من هاتين الطريقتين مناسبة بالتأكيد. وفي كلتا الحالتين، نستنتج أن مجال الدالة المركبة ﺩ لـ ﺭﺱ هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا سالب ١٩ وموجب ١٩.

لنراجع بعض النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الفيديو. تركيب دالتين يعني أن نطبق دالة واحدة ثم نطبق دالة أخرى على الناتج. ويمكننا تمثيل هذا بالشكل التالي. إذا طبقنا الدالة ﺩﺱ متبوعة بالدالة ﺭﺱ، فيمكننا إذن كتابة هذا على صورة الدالة المركبة ﺭ لـ ﺩﺱ. لاحظنا أيضًا أنه لكي نتمكن من تركيب دالتين في جميع الأحوال، لا بد أن يكون مدى الدالة الأولى، أي قيمها المخرجة، مجالًا مناسبًا للدالة الثانية.

رأينا أيضًا أن الترتيب الذي نستخدمه لتركيب دالتين مهم للغاية. وبشكل عام، الدالة المركبة ﺩ لـ ﺭﺱ لا تساوي الدالة المركبة ﺭ لـ ﺩﺱ. أي إذا طبقنا الدالة ﺭ أولًا ثم طبقنا الدالة ﺩ على الناتج، فإننا لا نحصل على الناتج نفسه كما لو طبقنا الدالة ﺩ أولًا ثم طبقنا الدالة ﺭ على الناتج. ولمساعدتنا على تذكر أي دالة يجب تطبيقها أولًا عندما نتعامل مع الدوال المركبة، نبدأ دائمًا من داخل الأقواس إلى خارجها. ففي حالة الدالة ﺩ لـ ﺭﺱ، نبدأ بقيمة ﺱ، ونطبق الدالة ﺭ، ثم نطبق الدالة ﺩ على الناتج. بينما في حالة الدالة ﺭ لـ ﺩﺱ، نبدأ بقيمة ﺱ، ونطبق الدالة ﺩ، ثم نطبق الدالة ﺭ على الناتج.