نسخة الفيديو النصية
لدينا المنحنى المعرف بارامتريًا ﺱ يساوي جتا 𝜃 وﺹ يساوي اثنين في جا 𝜃. حدد إذا ما كان المنحنى مقعرًا لأعلى أو لأسفل أو لا هذا ولا ذاك عند 𝜃 تساوي 𝜋 على ستة.
لدينا في المسألة منحنى معرف بزوج من المعادلات البارامترية. لدينا في المعطيات ﺱ دالة ما في المتغير 𝜃، وﺹ دالة ما في المتغير𝜃. علينا تحديد تقعر هذا المنحنى عند 𝜃 تساوي 𝜋 على ستة. في البداية، دعونا نتذكر ما نعنيه بتقعر المنحنى.
يدل تقعر المنحنى على ما إذا كانت خطوط المماس تقع أعلى المنحنى أم أسفله. وإحدى طرق التحقق من ذلك هي التحقق من إشارة المشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. إذا كانت ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع قيمة موجبة عند نقطة، فإن المنحنى يكون مقعرًا لأعلى عند هذه النقطة. وبالمثل، إذا كانت ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع قيمة سالبة عند نقطة، فإن المنحنى يكون مقعرًا لأسفل عند هذه النقطة. نريد إيجاد تعبير لـ ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع. لكن، لا يمكننا القيام بذلك مباشرة لأن لدينا منحنى معرفًا بارامتريًا. لنتذكر بعض قواعد اشتقاق المنحنيات المعرفة بارامتريًا.
إذا كان ﺹ دالة ما في المتغير 𝜃 وﺱ دالة ما في المتغير 𝜃، نتذكر أنه باستخدام قاعدة السلسلة، نجد أن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ﺩﺹ على ﺩ𝜃 مقسومًا على ﺩﺱ على ﺩ𝜃. وسيكون هذا صحيحًا في جميع الحالات باستثناء الحالة التي يكون فيها المقام ﺩﺱ على ﺩ𝜃 يساوي صفرًا. ويمكننا التوصل إلى صيغة أخرى باستخدام طريقة مشابهة للغاية. نعلم أن ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع هي المشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. إذن، لإيجاد ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع، علينا اشتقاق ﺩﺹ على ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ. مرة أخرى، يمكننا إجراء ذلك باستخدام قاعدة السلسلة. وبإجراء ذلك، نجد أن ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع يساوي مشتقة ﺩﺹ على ﺩﺱ بالنسبة إلى 𝜃 مقسومًا على ﺩﺱ على ﺩ𝜃. ومرة أخرى، سيكون ذلك صحيحًا في جميع الحالات باستثناء الحالة التي يكون فيها المقام ﺩﺱ على ﺩ𝜃 يساوي صفرًا.
إذن، لإيجاد تقعر المنحنى، علينا إيجاد تعبير لـ ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع. ولإجراء ذلك، علينا إيجاد تعبير لـ ﺩﺹ على ﺩﺱ. ولإيجاد تعبير يعبر عن هذا، علينا إيجاد ﺩﺱ على ﺩ𝜃 و ﺩﺹ على ﺩ𝜃. وبالطبع لدينا ﺱ وﺹ بدلالة 𝜃. لذا، يمكننا فعل ذلك. لنبدأ بإيجاد تعبير لـ ﺩﺱ على ﺩ𝜃.
نعرف أن ﺱ يساوي جتا 𝜃. إذن، ﺩﺱ على ﺩ𝜃 يساوي مشتقة جتا 𝜃 بالنسبة إلى 𝜃. وهذه نتيجة مشتقة مثلثية قياسية لا بد أننا نحفظها عن ظهر قلب. مشتقة جتا 𝜃 بالنسبة إلى 𝜃 تساوي سالب جا 𝜃. يمكننا فعل الأمر نفسه لإيجاد تعبير لـ ﺩﺹ على ﺩ𝜃. أي مشتقة اثنين في جا 𝜃. وإذا حسبنا ذلك، يصبح لدينا اثنان في جتا 𝜃.
الآن وقد أوجدنا تعبيرين لـ ﺩﺹ على ﺩ𝜃 وﺩﺱ على ﺩ𝜃، يمكننا إيجاد تعبير يعبر عن دالة الميل ﺩﺹ على ﺩﺱ. لدينا ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ﺩﺹ على ﺩ𝜃 مقسومًا على ﺩﺱ على ﺩ𝜃. سبق أن أوضحنا أن ﺩﺹ على ﺩ𝜃 يساوي اثنين جتا 𝜃، وﺩﺱ على ﺩ𝜃 يساوي سالب جا 𝜃. إذن، يصبح لدينا اثنان جتا 𝜃 مقسومًا على سالب جا 𝜃. يمكننا ترك الإجابة بهذا الشكل؛ لكن، تذكر أن علينا اشتقاق ذلك بالنسبة إلى 𝜃. لذا، بدلًا من اشتقاق هذا التعبير باستخدام قاعدة القسمة، يمكننا تبسيطه.
ولكي نفعل ذلك، نتذكر أن ظتا 𝜃 يساوي جتا 𝜃 على جا 𝜃. ونعلم نتائج مشتقات الدوال المثلثية التي تساعدنا على اشتقاق ظتا 𝜃. إذن، باستخدام هذه الطريقة لتبسيط التعبير، يصبح لدينا سالب اثنين في ظتا 𝜃. ويمكننا ملاحظة أن هذه الطريقة أسهل للاشتقاق بالنسبة إلى 𝜃. نحن الآن مستعدون لإيجاد التعبير الخاص بدالة المشتقة الثانية.
لنبدأ بإيجاد التعبير الموجود في البسط. وهو مشتقة ﺩﺹ على ﺩﺱ بالنسبة إلى 𝜃. وجدنا بالفعل أن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي سالب اثنين ظتا 𝜃. لذا، علينا اشتقاق سالب اثنين ظتا 𝜃 بالنسبة إلى 𝜃. ومرة أخرى، يمكننا استخدام نتيجة مشتقة الدوال المثلثية القياسية. مشتقة ظتا 𝜃 بالنسبة إلى 𝜃 تساوي سالب قتا تربيع 𝜃. إذن، بتطبيق هذه النتيجة، يصبح لدينا سالب اثنين في سالب قتا تربيع 𝜃. يمكننا حذف العاملين سالب واحد، فيتبقى لدينا اثنان في قتا تربيع 𝜃.
أصبحنا الآن مستعدين لاستخدام الصيغة لإيجاد تعبير لـ ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع. أولًا، في البسط، لدينا مشتقة ﺩﺹ على ﺩﺱ بالنسبة إلى 𝜃. وجدنا أن ذلك يساوي اثنين قتا تربيع 𝜃. وعلينا قسمة ذلك على ﺩﺱ على ﺩ𝜃. ووجدنا بالفعل أن هذا يساوي سالب جا 𝜃. ويمكننا تبسيط هذا التعبير. تذكر أن قتا 𝜃 يساوي واحدًا على جا 𝜃. إذن، الضرب في قتا تربيع 𝜃 هو نفسه القسمة على جا تربيع 𝜃. وهذا يعني أنه يمكننا إعادة ترتيب المعادلة لنحصل على ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع يساوي سالب اثنين مقسومًا على جا تكعيب 𝜃.
لكن، تذكر أن المسألة تطلب منا إيجاد تقعر المنحنى عند 𝜃 تساوي 𝜋 على ستة. لإجراء ذلك، سنعوض عن 𝜃 بـ 𝜋 على ستة في المعادلة ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع. بالتعويض بـ 𝜃 تساوي 𝜋 على ستة، نحصل على سالب اثنين على جا تكعيب في 𝜋 على ستة. وإذا حسبنا قيمة هذا التعبير، يصبح لدينا سالب ١٦. إذن، أثبتنا أن المشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ عند 𝜃 تساوي 𝜋 على ستة سالبة. وعليه، لا بد أن يكون المنحنى مقعرًا لأسفل عند 𝜃 تساوي 𝜋 على ستة.
وبذلك، نكون قد استطعنا أن نوضح أن المنحنى المعرف بارامتريًا الذي فيه ﺱ يساوي جتا 𝜃 وﺹ يساوي اثنين في جا 𝜃 مقعر لأسفل عند النقطة 𝜃 يساوي 𝜋 على ستة.
