فيديو السؤال: إيجاد صيغة ثلاثة أمثال الزاوية لجيب التمام الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أي من التالي يساوي جتا ثلاثة 𝜃؟ الخيار (أ) جتا تكعيب 𝜃 ناقص ثلاثة جتا 𝜃 في جا تربيع 𝜃. الخيار (ب) واحد ناقص جا تكعيب 𝜃. الخيار (ج) جتا تكعيب 𝜃 زائد ثلاثة جتا 𝜃 في جا تربيع 𝜃. الخيار (د) جتا تكعيب 𝜃 ناقص ثلاثة في جتا تربيع 𝜃 في جا 𝜃. الخيار (هـ) جتا تكعيب 𝜃 زائد ثلاثة في جتا تربيع 𝜃 في جا 𝜃.

في هذا السؤال، علينا إيجاد تعبير مكافئ لـ جتا ثلاثة 𝜃. ولدينا عدة خيارات لذلك. على سبيل المثال، يمكن أن نكتب هذا على الصورة جتا اثنين 𝜃 زائد 𝜃، ثم نستخدم متطابقة جمع زاويتين لجيب التمام. وبعد ذلك، يمكننا استخدام متطابقة ضعف الزاوية لجيب التمام لإيجاد تعبير لـ جتا ثلاثة 𝜃. في الواقع، يمكننا فعل ذلك وسنحصل على الإجابة الصحيحة. هذه هي إحدى الطرق التي يمكننا استخدامها. لكن هناك طريقة أخرى. والسبب الذي يجعلنا نستخدم الطريقة الثانية هو أنها تكون أسهل عند التعامل مع المعاملات الأعلى لـ 𝜃.

لاستخدام هذه الطريقة، علينا أولًا تذكر نظرية ديموافر. تنص إحدى صور نظرية ديموافر على أنه لأي قيمة صحيحة ﻥ وقيمة حقيقية 𝜃، فإن جتا 𝜃 زائد ﺕ جا 𝜃 الكل أس ﻥ يساوي جتا ﻥ𝜃 زائد ﺕ مضروبًا في جا ﻥ𝜃. وهذه النظرية ستساعدنا في إيجاد متطابقات الزوايا التي تتضمن جيب التمام والجيب. على سبيل المثال، في هذا السؤال، نريد إيجاد تعبير لـ جتا ثلاثة 𝜃. في الطرف الأيسر، لدينا جتا ﻥ𝜃. يمكننا إذن أن نجعل ﻥ يساوي ثلاثة.

ونلاحظ أن جتا ﻥ𝜃 في الطرف الأيسر من هذا التعبير هو الجزء الحقيقي، وجا ﻥ𝜃 هو الجزء التخيلي. لذا، يمكننا استخدام ذلك لإيجاد تعبير لـ جتا ثلاثة 𝜃. سنبدل طرفي هذه المعادلة ونجعل قيمة ﻥ تساوي ثلاثة. ونحصل بذلك على جتا ثلاثة 𝜃 زائد ﺕ جا ثلاثة 𝜃 يساوي جتا 𝜃 زائد ﺕ جا 𝜃 الكل تكعيب. نريد الآن تبسيط الطرف الأيسر من التعبير. نلاحظ أن لدينا مجموع قيمتين مرفوعًا لأس ما. إنه مقدار ذو حدين. لذا، لتوزيع التكعيب على القوسين، سنستخدم صيغة ذات الحدين.

ونتذكر أن الصيغة تخبرنا أنه لأي قيمة صحيحة موجبة ﻥ، فإن ﺃ زائد ﺏ الكل أس ﻥ يساوي المجموع من ر يساوي صفرًا إلى ﻥ لـ ﻥ توافيق ر في ﺃ أس ر في ﺏ أس ﻥ ناقص ر. بتطبيق هذه الصيغة على جتا 𝜃 زائد ﺕ جا 𝜃 الكل تكعيب، نحصل على ثلاثة توافيق صفر مضروبًا في جتا تكعيب 𝜃 زائد ثلاثة توافيق واحد مضروبًا في جتا تربيع 𝜃 مضروبًا في ﺕ جا 𝜃 زائد ثلاثة توافيق اثنين مضروبًا في جتا 𝜃 في ﺕ جا 𝜃 الكل تربيع زائد ثلاثة توافيق ثلاثة مضروبًا في ﺕ جا 𝜃 الكل تكعيب.

يمكننا الآن تبسيط كل حد في هذا التعبير على حدة. في البداية، لدينا ثلاثة توافيق صفر يساوي واحدًا. إذن، الحد الأول هو جتا تكعيب 𝜃. في الحد التالي، لدينا ثلاثة توافيق واحد يساوي ثلاثة. وتذكر أن لدينا العامل ﺕ، لذا يمكننا إعادة ترتيب هذا ليصبح لدينا ثلاثة ﺕ جتا تربيع 𝜃 في جا 𝜃. في الحد الثالث، لدينا ثلاثة توافيق اثنين يساوي ثلاثة. ويمكننا توزيع التربيع على القوسين لنحصل على ﺕ تربيع في جا تربيع 𝜃. لكن تذكر أن ﺕ يساوي الجذر التربيعي لسالب واحد. إذن، ﺕ تربيع يساوي سالب واحد.

وعليه، يمكننا تبسيط الحد الثالث ليصبح سالب ثلاثة جتا 𝜃 مضروبًا في جا تربيع 𝜃. ويمكننا فعل الشيء نفسه مع الحد الرابع والأخير. ثلاثة توافيق ثلاثة يساوي واحدًا، ويمكننا توزيع التكعيب على القوسين وتبسيط المقدار لنحصل على سالب ﺕ جا تكعيب 𝜃. وتذكر أنه وفقًا لنظرية ديموافر، كل ذلك يساوي جتا ثلاثة 𝜃 زائد ﺕ جا ثلاثة 𝜃. إننا نريد إيجاد تعبير لـ جتا ثلاثة 𝜃، وهو، كما نلاحظ، الجزء الحقيقي في الطرف الأيمن من هذه المعادلة.

ومن ثم، يمكننا إيجاد تعبير لـ جتا ثلاثة 𝜃 عن طريق كتابة الجزء الحقيقي فقط من الطرف الأيسر بهذه المعادلة. وهو عبارة عن كل الحدود التي لا تتضمن العامل ﺕ. هذا يعطينا جتا ثلاثة 𝜃 يساوي جتا تكعيب 𝜃 ناقص ثلاثة جتا 𝜃 في جا تربيع 𝜃، وهو، كما نلاحظ، الخيار (أ). إذن، في هذا السؤال، استطعنا استخدام نظرية ديموافر لإيجاد تعبير مكافئ لـ جتا ثلاثة 𝜃. وأوضحنا أنه يكافئ جتا تكعيب 𝜃 ناقص ثلاثة جتا 𝜃 في جا تربيع 𝜃؛ وهو الخيار (أ).