نسخة الفيديو النصية
حدد النقطة التي يكون عندها المماس للمنحنى جذر ﺱ زائد جذر ﺹ يساوي ١٥ عموديًّا على الخط سالب اثنين ﺱ زائد أربعة ﺹ يساوي ٢٥.
في هذا السؤال، لدينا منحنى معرف ضمنيًّا، جذر ﺱ زائد جذر ﺹ يساوي ١٥، ولدينا أيضًا الخط المستقيم سالب اثنين ﺱ زائد أربعة ﺹ يساوي ٢٥. وعلينا تحديد النقطة التي يكون عندها مماس هذا المنحنى عموديًّا على الخط المستقيم. يمكننا البدء بتذكر أن ميل خط مماس المنحنى يمكن إيجاده من خلال المشتقة الأولى لمعادلة المنحنى، ﺩﺹ على ﺩﺱ، المحددة عند نقطة. ولكي يكون الخطان متعامدين، يجب أن يكون أحدهما أفقيًّا والآخر رأسيًّا أو حاصل ضرب ميليهما يساوي سالب واحد، أي ﻡ واحد في ﻡ اثنين يساوي سالب واحد. ويمكننا ملاحظة أننا نتعامل هنا بالفعل مع الحالة التي يكون فيها حاصل ضرب الميلين يساوي سالب واحد. وذلك لأنه يمكننا إيجاد ميل الخط المستقيم المعطى في السؤال مباشرة.
وإحدى طرق فعل ذلك هي إعادة كتابة الخط المستقيم في صيغة الميل والمقطع. نضيف اثنين ﺱ إلى طرفي المعادلة ونقسم الطرفين على أربعة. ونجد أن ﺹ يساوي ﺱ على اثنين زائد ٢٥ على أربعة. إذن، ميل هذا الخط المستقيم هو معامل ﺱ. وسنسميه ﻡ اثنين، وهو يساوي نصفًا. يمكننا بعد ذلك التعويض بـ ﻡ اثنين يساوي نصفًا في المعادلة لدينا التي تتضمن الخطين المتعامدين. ومن ثم، ﻡ واحد سيكون ميل خط المماس الذي نريد إيجاده. وبذلك، نحصل على ﻡ واحد على اثنين يساوي سالب واحد. يمكننا ضرب الطرفين في اثنين لنجد أن ﻡ واحد يساوي سالب اثنين.
وعليه، نريد إيجاد النقطة الواقعة على المنحنى التي يكون عندها ميل خط المماس يساوي سالب اثنين. تذكر أن ذلك يمكن إيجاده من خلال المشتقة ﺩﺹ على ﺩﺱ المحددة عند هذه النقطة. وبما أن هذا المنحنى معطى ضمنيًّا، أي إن ﺹ غير معطى في صورة دالة في المتغير ﺱ، فعلينا إيجاد تعبير لـ ﺩﺹ على ﺩﺱ باستخدام الاشتقاق الضمني.
دعونا نبدأ بإعادة كتابة معادلة هذا المنحنى حتى نتمكن من تحديد أسس المتغيرين. لدينا ﺱ أس نصف زائد ﺹ أس نصف يساوي ١٥. سنحتاج إلى اشتقاق طرفي هذه المعادلة بالنسبة إلى ﺱ لإيجاد تعبير لـ ﺩﺹ على ﺩﺱ. يمكننا اشتقاق هذه المعادلة حدًّا حدًّا. سنبدأ بالحد الأول. لاشتقاق ﺱ أس نصف، سنحتاج إلى استخدام قاعدة القوة للاشتقاق. من ثم، نضرب في أس ﺱ ثم نطرح واحدًا من هذا الأس. أس ﺱ يساوي نصفًا. وعليه، نضرب في نصف، نصف ناقص واحد يساوي سالب نصف. وهذا يعطينا نصف ﺱ أس سالب نصف.
نلاحظ أنه يمكننا تبسيط ذلك. نعلم أن الضرب في ﺱ أس سالب نصف هو نفسه القسمة على ﺱ أس نصف. بعد ذلك، يمكننا إعادة كتابة ﺱ أس نصف على صورة جذر ﺱ. وهذا يعطينا واحدًا على اثنين جذر ﺱ. نريد الآن تكرار ذلك مع الحد الثاني في الطرف الأيمن من هذه المعادلة. نريد اشتقاق ﺹ أس نصف بالنسبة إلى ﺱ. لكن علينا الانتباه جيدًا. تذكر أن ﺹ نفسه هو دالة في ﺱ. ومن ثم، علينا اشتقاق ذلك باستخدام الاشتقاق الضمني. يمكننا فعل ذلك باستخدام قاعدة السلسلة. نبدأ باشتقاق ﺹ أس نصف بالنسبة إلى ﺹ.
يمكننا فعل ذلك باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق. لكننا اشتققنا بالفعل ﺱ أس نصف بالنسبة إلى ﺱ. وعليه، اشتقاق ﺹ أس نصف بالنسبة إلى ﺹ سيعطينا النتيجة نفسها. لكن المتغير سيكون ﺹ. من ثم، نحصل على واحد على اثنين جذر ﺹ. وأخيرًا، لتطبيق قاعدة السلسلة، علينا أيضًا ضرب هذا في ﺩﺹ على ﺩﺱ. وأخيرًا، علينا اشتقاق الطرف الأيسر من هذه المعادلة. نلاحظ أن ١٥ عدد ثابت، إذن معدل التغير بالنسبة إلى ﺱ يساوي صفرًا. وبذلك، نحصل على واحد على اثنين جذر ﺱ زائد ﺩﺹ على ﺩﺱ في واحد على اثنين جذر ﺹ يساوي صفرًا. وهكذا، يصبح لدينا معادلة تتضمن ﺱ وﺹ وﺩﺹ على ﺩﺱ. تذكر أننا نريد إيجاد النقطة التي يكون عندها ميل خط المماس يساوي سالب اثنين.
وبما أن المشتقة ﺩﺹ على ﺩﺱ ستعطينا ميل خط المماس هذا، يمكننا التعويض بـ ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي سالب اثنين. وهذا سيعطينا واحدًا على اثنين جذر ﺱ ناقص اثنين على اثنين جذر ﺹ يساوي صفرًا. يمكننا تبسيط ذلك أكثر. يمكننا حذف العامل المشترك اثنين من بسط الحد الثاني ومقامه. وعليه، فإن أي نقطة على المنحنى تحقق المعادلة واحد على اثنين جذر ﺱ ناقص واحد على جذر ﺹ يساوي صفرًا، سيكون ميل خط المماس لها يساوي سالب اثنين. وهذا بدوره يعني أنه سيكون عموديًّا على الخط سالب اثنين ﺱ زائد أربعة ﺹ يساوي ٢٥.
ولإيجاد النقطة الواقعة على المنحنى التي تحقق هذه المعادلة، علينا إعادة ترتيب المعادلة المعطاة للمنحنى. بطرح جذر ﺱ من طرفي المعادلة، نجد أن جذر ﺹ يساوي ١٥ ناقص جذر ﺱ. إذا عوضنا بعد ذلك بهذا المقدار الخاص بجذر ﺹ في المعادلة لدينا، فسنحصل على معادلة بدلالة المتغير ﺱ فقط. وعليه، يصبح لدينا واحد على اثنين جذر ﺱ ناقص واحد على ١٥ ناقص جذر ﺱ يساوي صفرًا. وأي قيمة لـ ﺱ تؤدي إلى حل هذه المعادلة، ستعطينا نقاطًا محتملة على المنحنى يكون عندها ميل خط المماس عموديًّا على الخط المعطى. وهناك بعض الطرق المختلفة لحل هذه المعادلة. على سبيل المثال، يمكننا إضافة واحد على ١٥ ناقص جذر ﺱ لطرفي المعادلة ثم نحسب مقلوب طرفي المعادلة.
لكن يمكننا أيضًا ملاحظة أننا نطرح كسرًا من كسر آخر ونحصل على الناتج صفر. وبسط كلا الكسرين متماثل. هذا يعني أن مقامي الكسرين يجب أن يكونا متساويين أيضًا. وباستخدام أي من الطريقتين، سنحصل بالفعل على اثنين جذر ﺱ يساوي ١٥ ناقص جذر ﺱ. والآن يمكننا حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺱ. نضيف أولًا جذر ﺱ إلى طرفي المعادلة. وهذا يعطينا ثلاثة جذر ﺱ يساوي ١٥. وبعد ذلك، نقسم طرفي المعادلة على ثلاثة. ونحصل على جذر ﺱ يساوي خمسة. وأخيرًا، علينا تربيع طرفي المعادلة. ونحصل على ﺱ يساوي ٢٥.
والآن، نريد أن نحدد الإحداثي ﺹ لهذه النقطة على المنحنى. نفعل ذلك بالتعويض بـ ﺱ يساوي ٢٥ في معادلة المنحنى المعاد ترتيبها لدينا. وبالتعويض عن ﺱ يساوي ٢٥ في هذه المعادلة، نحصل على جذر ﺹ يساوي ١٥ ناقص جذر ٢٥. والآن، يمكننا حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺹ. نوجد أولًا قيمة الطرف الأيسر من المعادلة. فنحصل على جذر ﺹ يساوي ١٠. بعد ذلك، نقوم بتربيع طرفي المعادلة. نحصل على ﺹ يساوي ١٠٠. وعليه، الإحداثي ﺱ لهذه النقطة هو ٢٥ والإحداثي ﺹ هو ١٠٠. تحقق هذه النقطة معادلة المنحنى، إذن فهي تقع على المنحنى. وقد أوضحنا أن ميل خط المماس عند هذه النقطة يساوي سالب اثنين، ما يعني أنه عمودي على الخط المعطى.
وجدير بالملاحظة أنه يمكننا التحقق من ذلك. يمكننا التعويض بـ ﺱ يساوي ٢٥، وﺹ يساوي ١٠٠ في المعادلة التي تتضمن ﺩﺹ على ﺩﺱ. إذا فعلنا ذلك، يمكننا إعادة ترتيب المعادلة لإيجاد ﺩﺹ على ﺩﺱ. وسنجد أنه يساوي سالب اثنين. على أي حال، تمكنا من إثبات أن النقطة التي يكون عندها مماس المنحنى جذر ﺱ زائد جذر ﺹ يساوي ١٥ عموديًّا على الخط المستقيم سالب اثنين ﺱ زائد أربعة ﺹ يساوي ٢٥ هي النقطة ٢٥، ١٠٠.
