فيديو السؤال: حساب معدل تغير دالة كسرية عند نقطة ما الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

نسخة الفيديو النصية

احسب معدل تغير الدالة ﺩﺱ تساوي ستة ﺱ تربيع زائد سبعة الكل على سبعة ﺱ عند ﺱ يساوي ثلاثة.

دعونا نتذكر أن تعريف معدل التغير اللحظي لدالة عند نقطة ما ﺃ، والمعروف أيضًا بمشتقتها عند تلك النقطة، يعطى بالنهاية عندما يقترب ﻫ من الصفر لـ ﺩﺃ زائد ﻫ ناقص ﺩﺃ الكل على ﻫ. في هذا السؤال، ﺩﺱ يساوي ستة ﺱ تربيع زائد سبعة الكل على سبعة ﺱ. ونحن نريد إيجاد معدل التغير اللحظي عند ﺱ يساوي ثلاثة. إذن، سنجعل ﺃ يساوي ثلاثة. بعبارة أخرى، يمكننا التعويض عن ﺃ بثلاثة. وبذلك، نجد أن معدل تغير الدالة عند ﺱ يساوي ثلاثة هو النهاية عندما يقترب ﻫ من الصفر لـ ﺩ لثلاثة زائد ﻫ ناقص ﺩ لثلاثة الكل على ﻫ.

سنعوض الآن بثلاثة زائد ﻫ وثلاثة في الدالة التي لدينا. ‏ﺩ لثلاثة زائد ﻫ يساوي ستة في ثلاثة زائد ﻫ تربيع زائد سبعة على سبعة في ثلاثة زائد ﻫ. وﺩ لثلاثة يساوي ستة في ثلاثة تربيع زائد سبعة على سبعة في ثلاثة. سنوزع الآن القوسين في بسط الكسر الأول، ثم نحسب قيمة بسط الكسر الثاني. عندما نفعل ذلك، نجد أن ﺩ شرطة لثلاثة؛ أي مشتقة الدالة لدينا أو معدل التغير عند ﺱ يساوي ثلاثة، يساوي النهاية عندما يقترب ﻫ من الصفر لستة ﻫ تربيع زائد ٣٦ﻫ زائد ٦١ على سبعة في ثلاثة زائد ﻫ ناقص ٦١ على سبعة في ثلاثة الكل على ﻫ.

ونرى هنا على وجه التحديد أننا لم نوجد بعد قيمة المقام لهذين الكسرين. وكان ذلك للتذكير بأن كل مقام يحتوي على العامل المشترك سبعة. لذا، عندما نطرح من خلال إيجاد مقام مشترك، علينا ببساطة ضرب كل من بسط الكسر الأول ومقامه في ثلاثة، وضرب بسط الكسر الثاني ومقامه في ثلاثة زائد ﻫ. هذا يعطينا المقام المشترك ٢١ في ثلاثة زائد ﻫ. وبذلك، يصبح البسط ١٨ﻫ تربيع زائد ١٠٨ﻫ زائد ١٨٣ ناقص ١٨٣ ناقص ٦١ﻫ.

والآن، بما أن القسمة على ﻫ تماثل الضرب في واحد على ﻫ، يمكننا إعادة كتابة المقام على الصورة ٢١ﻫ في ثلاثة زائد ﻫ. نلاحظ بعد ذلك أن ١٨٣ ناقص ١٨٣ يساوي صفرًا. ونلاحظ أيضًا أنه يمكننا قسمة كل من بسط الكسر ومقامه على ﻫ. هذا يعطينا النهاية عندما يقترب ﻫ من الصفر لـ ١٨ﻫ زائد ١٠٨ ناقص ٦١ على ٢١ في ثلاثة زائد ﻫ. ويمكننا هنا إجراء مزيد من التبسيط للبسط ليصبح ١٨ﻫ زائد ٤٧. في هذه المرحلة، نصبح الآن مستعدين لاستخدام التعويض المباشر لإيجاد قيمة هذه النهاية. بالتعويض عن ﻫ بصفر، نجد أن ﺩ شرطة لثلاثة يساوي ١٨ في صفر زائد ٤٧. وهذا يساوي ٤٧ على ٢١ في ثلاثة زائد صفر. ثم نوجد قيمة المقام ليصبح ٦٣.

إذن، نجد أن معدل تغير الدالة عند ﺱ يساوي ثلاثة هو ٤٧ على ٦٣.