نسخة الفيديو النصية
المعكوس الجمعي للمتجه ﺏﺟ هو المتجه (فراغ). الخيار (أ) المتجه ﺏﺟ، الخيار (ب) المتجه سالب ﺟﺏ، الخيار (ج) المتجه الصفري، الخيار (د) المتجه ﺟﺏ.
في هذا السؤال، مطلوب منا تحديد أي من المتجهات الأربعة هو المعكوس الجمعي للمتجه ﺏﺟ. أول ما علينا فعله هو تذكر معنى المعكوس الجمعي لمتجه. ولنفعل ذلك، دعونا نبدأ بتذكر معنى المعكوس الجمعي لعدد ما. سنبدأ بالعدد ﺱ. المعكوس الجمعي للعدد ﺱ هو العدد الذي نضيفه إلى ﺱ لنحصل على صفر. وهذا لأن صفرًا هو ما يعرف باسم «المحايد الجمعي». لأننا إذا أضفناه إلى أي عدد، فسنحصل على هذا العدد نفسه، ويمكننا هنا الحل لإيجاد قيمة ﺹ. نحن نعلم أن ﺹ يجب أن يساوي سالب ﺱ. إذن المعكوس الجمعي للعدد الحقيقي ﺱ هو سالب ﺱ.
دعونا نستخدم الخاصية نفسها، ولكن هذه المرة مع المتجهات. أولًا، علينا التفكير في معنى المحايد الجمعي لمتجه. سواء أفكرنا في ذلك بيانيًّا أم بدلالة المركبات، فنحن نعلم أن هذا سيكون المتجه الصفري. إننا نعلم أن أي متجه ﻕ يضاف إلى المتجه الصفري في البعد نفسه سيساوي هذا المتجه ﻕ. ومن ثم، لإيجاد المعكوس الجمعي لأي متجه ﻕ، علينا إيجاد المتجه ﻉ الذي نضيفه إلى ﻕ لنحصل على المتجه الصفري. في هذا السؤال، نريد إيجاد المعكوس الجمعي للمتجه ﺏﺟ.
هناك عدة طرق لإيجاد المعكوس الجمعي لـ ﺏﺟ. سنبدأ بإيجاده بيانيًّا. دعونا نبدأ برسم النقطتين ﺏ وﺟ، سنفترض أن هاتين النقطتين مختلفتان. يمكننا بعد ذلك تمثيل المتجه ﺏﺟ بيانيًّا عن طريق توصيل النقطتين ﺏ وﺟ باستخدام قطعة مستقيمة، علمًا بأن المتجه يبدأ من ﺏ وينتهي عند ﺟ. حسنًا نريد الآن إيجاد المتجه الذي عند إضافته لهذا المتجه، ﺏﺟ، نحصل على المتجه الصفري. لنفعل ذلك، علينا أن نتذكر كيف نجمع متجهين بيانيًّا. يجب أن تكون نقطة نهاية المتجه الأول هي نقطة بداية المتجه الثاني. ومن ثم، بيانيًّا، يصبح التحرك على طول هذين المتجهين مماثلًا لجمع المتجهين معًا. ونريد استخدام ذلك لإيجاد المعكوس الجمعي للمتجه ﺏﺟ.
إذن لكي يكون ﻉ هو المعكوس الجمعي لـ ﺏﺟ، فإن ﺏﺟ زائد ﻉ يجب أن يساوي متجهًا صفريًّا. ولذا في هذا الشكل، المتجه ذو اللون الوردي، أو المتجه ﺏﺟ زائد ﻉ، يجب أن يساوي المتجه الصفري. هذا يعني أن معياره يجب أن يساوي صفرًا. والطريقة الوحيدة لحدوث ذلك هي أن يكون للمتجه ﻉ نفس معيار المتجه ﺏﺟ، لكنه يشير في الاتجاه المعاكس. ويمكننا تمثيل هذا باعتباره المتجه ﺟﺏ. وبذلك، نكون قد أوضحنا أنه إذا كان ﻉ هو المعكوس الجمعي للمتجه ﺏﺟ، فإن ﻉ يجب أن يساوي المتجه ﺟﺏ، وهذا هو الخيار (د).
لكن من الجدير بالذكر أن هذه ليست الطريقة الوحيدة التي يمكننا من خلالها الإجابة عن هذا السؤال. سنرجع إلى تعريف المعكوس الجمعي لمتجهين، يمكننا هنا طرح المتجه ﻉ من طرفي المعادلة. وبما أننا نعرف أنه عند طرح المتجه ﻉ من نفسه نحصل على المتجه الصفري، يصبح لدينا ﻕ يساوي سالب ﻉ. بعد ذلك يمكننا تطبيق هذا على المتجه المعطى في السؤال لإيجاد معكوسه الجمعي. إننا نعلم أنه إذا كان ﻉ هو المعكوس الجمعي للمتجه ﺏﺟ، فإن ﺏﺟ يجب أن يساوي سالب ﻉ.
وبالطبع، يمكننا الحل لإيجاد قيمة ﻉ بضرب الطرفين في سالب واحد. لنجد أن المعكوس الجمعي للمتجه ﺏﺟ هو المتجه سالب ﺏﺟ. وتجدر الإشارة هنا إلى أن هذا كله يعني أن ﺏﺟ زائد سالب ﺏﺟ يساوي المتجه الصفري. وهذه بالضبط هي العبارة التي ستحصل عليها إذا حاولت التفكير في ذلك باستخدام الصورة الإحداثية.
لكن ذلك لا يكفي بالطبع للإجابة عن السؤال؛ لأننا في هذه الحالة نحصل على الإجابة سالب ﺏﺟ. لكننا نعلم أن الإجابة التي من المفترض أن نحصل عليها هي المتجه ﺟﺏ. لذا، علينا استخدام معلومة أخرى نعرفها عن المتجهات. وهي أنه عند ضرب متجه في سالب واحد، فإننا نبدل اتجاهه. إذن، سالب ﺏﺟ هو المتجه ﺟﺏ.
وبذلك، في هذا السؤال، نكون قد تمكنا من تعريف المعكوس الجمعي للمتجه. وتمكنا أيضًا من استخدام هذا التعريف لنوجد عدة طرق لإيجاد تعبير للمعكوس الجمعي للمتجه ﺏﺟ. في السؤال لدينا، أوضحنا أن هذا المعكوس هو المتجه ﺟﺏ؛ أي الخيار (د).
