نسخة الفيديو النصية
أي من العبارات الآتية يعرف بطريقة صحيحة التشابه بالنسبة إلى المضلعات؟ (أ) يقال إن مضلعين متشابهان إذا كانت زواياهما المتناظرة متساوية. (ب) يقال إن مضلعين متشابهان إذا كانت أضلاعهما المتناظرة متساوية. (ج) يقال إن مضلعين متشابهان إذا كانت أضلاعهما المتناظرة متطابقة. (د) يقال إن مضلعين متشابهان إذا كانت زواياهما المتناظرة متطابقة، وأضلاعهما المتناظرة متناسبة. (هـ) يقال إن مضلعين متشابهان إذا كانت زواياهما المتناظرة متتامة، وأضلاعهما المتناظرة متساوية.
لنبدأ بالنظر إلى أزواج من المضلعات التي يمكن القول إنها متشابهة. على سبيل المثال، لدينا مربعان متشابهان، ولدينا أيضًا مثلثان متشابهان. من المهم هنا أن نتذكر أنه توجد كلمتان مختلفتان؛ كلمة «متشابهان»، وكلمة «متطابقان». المضلعان المتطابقان يكون لهما نفس الشكل ونفس القياسات، لكن المضلعين المتشابهين يمكن أن تكون قياساتهما مختلفة.
كيف يمكننا إذن تعريف المضلعات المتشابهة؟ دعونا نبدأ بالنظر إلى المربعين. لنفترض أننا نحاول رسم شكل آخر؛ أي مربع آخر يشبه المربع الأول الأصغر. إذا كان تعريف المضلعات المتشابهة هو أن الزوايا المتناظرة يجب أن تكون متساوية، فيمكننا من الناحية النظرية رسم شكل آخر مثل هذا، وهو شكل مستطيل. وإذا كان الأمر مقتصرًا على أن تكون الزوايا المتناظرة متساوية فحسب، لكان بإمكاننا رسم هذا المستطيل، لكننا نعلم أن هذا ليس صحيحًا. فالمستطيل والمربع لا يمكن أن يكونا متشابهين. وهذا ما يشير إليه الخيار (أ). إذن، هذا التعريف غير صحيح.
دعونا نتناول الخيارين (ب) و(ج) اللذان ينصان على أن الأضلاع المتناظرة يجب أن تكون متساوية أو متطابقة. لننظر إلى هذا المربع الأصغر مرة أخرى ونفكر إذا ما كان يمكننا تكوين شكل مشابه ببساطة عن طريق رسم شكل أضلاعه متطابقة. وهكذا يصبح لدينا هذا الشكل. لكن هذا الشكل معين، ونحن نعلم أن المعين والمربع غير متشابهين. لذا، يمكننا استبعاد الخيارين (ب) و(ج).
لنتناول الخيار (د). يوضح هذا الخيار أن المضلعين يكونان متشابهين إذا كانت زواياهما المتناظرة متطابقة وأضلاعهما المتناظرة متناسبة. وهذا ما توضحه مجموعتا الأشكال لدينا. ففي المربعين، نلاحظ أن جميع الزوايا المتناظرة متطابقة، حيث إن قياس كل زاوية يساوي ٩٠ درجة. ويجب أن تكون الأضلاع المتناظرة متناسبة. وفي الواقع، نلاحظ في هذين المربعين أن أطوال أضلاع المربع الأكبر تساوي ضعف أطوال الأضلاع المناظرة لها في المربع الأصغر.
نلاحظ في المثلثين أن قياسات الزوايا المتناظرة متطابقة. وإذا سمينا أضلاع المثلث الأصغر ﺃ وﺏ وﺟ، فسنلاحظ أن طول كل ضلع في المثلث الأكبر يساوي ثلاثة أمثال طول الضلع المناظر له في المثلث الأصغر. وعليه، يمكننا القول إن أطوال الأضلاع هذه هي ثلاثة ﺃ، وثلاثة ﺏ، وثلاثة ﺟ من وحدات الطول. إذن الإجابة الموضحة في الخيار (د) هي التعريف الصحيح للمضلعات المتشابهة.
لكن دعونا نتناول خيار الإجابة الأخير؛ أي الخيار (هـ). يوضح لنا هذا الخيار أن المضلعين يكونان متشابهين إذا كانت زواياهما المتناظرة متتامة، وأضلاعهما المتناظرة متساوية. وهذا يبدو تعريفًا رياضيًّا منطقيًّا، لكن دعونا نتذكر تعريف الزاويتين المتتامتين. الزاويتان المتتامتان هما زاويتان مجموع قياسيهما يساوي ٩٠ درجة. لنتناول هذا المثال لمثلث متساوي الأضلاع قياس كل زاوية من زواياه الثلاث يساوي ٦٠ درجة. إذا كان الخيار (هـ) تعريفًا صحيحًا، فإنه بمحاولة رسم مثلث مشابه، لا بد أن يحتوي هذا المثلث على ثلاث زوايا قياس كل منها يساوي ٣٠ درجة؛ لأن ٣٠ درجة زائد ٦٠ درجة يساوي ٩٠ درجة.
لكن بالطبع لا يمكننا رسم مثلث قياس كل زاوية فيه يساوي ٣٠ درجة؛ لأننا نعلم أن مجموع قياسات زوايا المثلث لا بد أن يساوي ١٨٠ درجة. وحتى إذا حاولنا تطبيق هذه القاعدة على مضلع مثل هذا المربع الذي يحتوي على أربع زوايا قياس كل منها يساوي ٩٠ درجة — هذا إذا كانت الزوايا في شكل مشابه لا بد أن تكون متتامة — فإنه علينا رسم مربع قياس كل زاوية من زواياه الأربع يساوي صفر درجة. لذا، يمكننا استبعاد الخيار (هـ). ومن ثم، لا يتبقى لنا سوى الإجابة التي تفيد بأنه يقال إن مضلعين متشابهان إذا كانت زواياهما المتناظرة متطابقة، وأضلاعهما المتناظرة متناسبة.
