فيديو: نموذج تدريب امتحان التفاضل والتكامل • ٢٠١٩ • السؤال الثامن عشر

نموذج تدريب امتحان التفاضل والتكامل • ٢٠١٩ • السؤال الثامن عشر

٠٦:٥٨

‏نسخة الفيديو النصية

حجم أسطوانة دائرية قائمة مية تمنية وعشرين 𝜋 سنتيمتر مكعب. أوجد ارتفاع الأسطوانة، وطول نصف قطر قاعدتها؛ بحيث تكون مساحة سطحها أقل ما يمكن.

مطلوب نوجد ارتفاع الأسطوانة، وطول نصف قطر قاعدتها؛ بحيث يكون مساحة سطحها أقل ما يمكن.

هنفرض إن ارتفاع الأسطوانة هيكون ع سنتيمتر، وإن طول نصف قطر قاعدتها هيكون نق سنتيمتر. فعشان تكون مساحة سطح الأسطوانة أقل ما يمكن، محتاجين نكتب الصيغة اللي بتعبّر عن مساحة سطح الأسطوانة.

مساحة سطح الأسطوانة هتساوي محيط القاعدة مضروبة في الارتفاع، زائد مساحتَي القاعدتين. يعني هتساوي … محيط القاعدة؛ بما إن قاعدة الأسطوانة عبارة عن دائرة، فمحيط الدائرة هيكون بيساوي اتنين 𝜋 نق. مضروبة في الارتفاع، اللي هو ع. زائد مساحتَي القاعدتين.

قاعدتَي الأسطوانة عبارة عن دائرة، ومساحة الدائرة هتكون 𝜋 في نق تربيع. وبما إنهم قاعدتين، فهنضربها في اتنين. يعني هتكون عندنا مساحة سطح الأسطوانة بتساوي اتنين 𝜋 نق، مضروبة في ع؛ زائد اتنين 𝜋 نق تربيع.

هنلاحظ إن عندنا متغيّرين؛ عندنا نصف القطر نق، وعندنا الارتفاع اللي هو ع. محتاجين نوجد مساحة سطح الأسطوانة بدلالة متغيّر واحد فقط.

بما إن معطى حجم الأسطوانة بيساوي مية تمنية وعشرين 𝜋 سنتيمتر مكعب. فالصيغة المستخدمة لحساب حجم الأسطوانة هتكون بتساوي مساحة القاعدة مضروبة في الارتفاع.

يعني هتساوي … بما إن قاعدة الأسطوانة دائرة، فمساحة الدائرة هتكون 𝜋 نق تربيع. مضروبة في الارتفاع، اللي هو ع. ومعطى إن حجم الأسطوانة هيساوي مية تمنية وعشرين 𝜋. فهيكون عندنا مية تمنية وعشرين 𝜋، هيساوي 𝜋 في نق تربيع في ع.

هنقسم الطرفين على 𝜋، فهيكون عندنا مية تمنية وعشرين بتساوي نق تربيع على [في]‎ ع. هنقسم الطرفين على نق تربيع، فهنجد إن ع بتساوي مية تمنية وعشرين على نق تربيع.

ففي الصيغة المستخدمة لحساب مساحة سطح الأسطوانة هنعوّض عن ع بمية تمنية وعشرين على نق تربيع. فهيكون عندنا مساحة سطح الأسطوانة هتساوي اتنين في 𝜋 في نق، مضروبة في … هنعوّض عن ع بمية تمنية وعشرين على نق تربيع. زائد اتنين في 𝜋 في نق تربيع.

عندنا نق مضروبة في مية تمنية وعشرين على نق تربيع، يعني هيكون عندنا مية تمنية وعشرين على نق. واتنين في مية تمنية وعشرين هتساوي ميتين ستة وخمسين. يعني مساحة سطح الأسطوانة هتساوي ميتين ستة وخمسين في 𝜋، على نق؛ زائد اتنين 𝜋 نق تربيع.

هنرمز لمساحة سطح الأسطوانة بالرمز م. فعشان تكون مساحة سطح الأسطوانة أقل ما يمكن … هتكون مساحة سطح الأسطوانة أقل ما يمكن عند قيم نق اللي بتجعل المشتقة الأولى لمساحة سطح الأسطوانة بتساوي صفر.

فأول حاجة محتاجين نوجد مشتقة مساحة سطح الأسطوانة بالنسبة لنق. يعني م شرطة هتساوي … مشتقّة ميتين ستة وخمسين 𝜋، على نق؛ ممكن نكتبها في صورة: ميتين ستة وخمسين في 𝜋 في نق أُس سالب واحد.

فمشتقة ميتين ستة وخمسين في 𝜋 في نق أُس سالب واحد. هنكتب ميتين ستة وخمسين 𝜋 زيّ ما هي. ومشتقّة نق أُس سالب واحد بالنسبة لـ نق؛ هتكون عبارة عن سالب واحد، مضروبة في نق. وهننقّص الأُس واحد، يعني هيكون عندنا الأُس سالب واحد ناقص واحد، يعني الأُس هيكون بيساوي سالب اتنين.

زائد … مشتقة اتنين 𝜋 نق تربيع بالنسبة لـ نق؛ هنكتب اتنين 𝜋 زيّ ما هي. مضروبة في … هنكتب الأُس اللي هو اتنين، مضروبة في نق، وهنطرح من الأُس واحد. يعني هيكون عندنا الأُس اتنين ناقص واحد، يعني بتساوي واحد.

يعني م شرطة هتساوي سالب ميتين ستة وخمسين 𝜋، على نق تربيع؛ زائد أربعة 𝜋 نق.

محتاجين نوجد قيم نق اللي بتجعل م شرطة بتساوي صفر. فهيكون عندنا سالب ميتين ستة وخمسين 𝜋، على نق تربيع؛ زائد أربعة 𝜋 نق بيساوي صفر. هنجمع على الطرفين ميتين ستة وخمسين 𝜋، على نق تربيع. هيبقى أربعة 𝜋 في نق هتساوي ميتين ستة وخمسين 𝜋، على نق تربيع.

هنضرب الطرفين في نق تربيع، هيكون عندنا أربعة 𝜋 في نق أُس تلاتة هتساوي ميتين ستة وخمسين 𝜋. هنقسم الطرفين على أربعة 𝜋، فهيكون عندنا نق أُس تلاتة هتساوي أربعة وستين. فبأخذ الجذر التكعيبي للطرفين، هتكون عندنا نق بتساوي أربعة سنتيمتر. يبقى قدِرنا نوجد قيمة نق اللي بتجعل المشتقة الأولى لمساحة سطح الأسطوانة بتساوي صفر.

محتاجين نتأكّد إن مساحة سطح الأسطوانة هتكون أقل ما يمكن عند نق بتساوي أربعة سنتيمتر. فهيكون عندنا خط الأعداد بالشكل ده. وهندرس إشارة المشتقة الأولى لمساحة سطح الأسطوانة، اللي هي م شرطة، بالنسبة لقيم طول نصف قطر قاعدة الأسطوانة.

فهيكون عندنا على خط الأعداد قيم نق. نق هتبدأ مِ الصفر. وعندنا عند نق بتساوي أربعة كانت م شرطة بتساوي صفر. وهيكون عندنا نهاية الفترة اللي هي ما لا نهاية. فهتكون عندنا فترتين. أول فترة من صفر إلى أربعة، وتاني فترة من أربعة لما لا نهاية.

عشان نوجد إشارة م شرطة في الفترة الأولى من صفر لأربعة؛ هنختار أيّ قيمة لـ نق بداخل الفترة، وَلْتكُن عند نق بتساوي اتنين. هنوجد قيمة م شرطة عند نق بتساوي اتنين. فهتكون عندنا سالب ميتين ستة وخمسين 𝜋، على اتنين أُس اتنين؛ زائد أربعة في 𝜋 في اتنين. يعني هتساوي سالب ستة وخمسين 𝜋. فهنلاحظ إن إشارة م شرطة في الفترة من صفر إلى أربعة هتكون سالبة، يعني الدالة هتكون تناقصية.

وبالنسبة لتاني فترة من أربعة إلى ما لا نهاية، هنختار أيّ قيمة لـ نق بداخل الفترة، وَلْتكُن عند نق بتساوي تمنية. وهنوجد قيمة م شرطة عند نق بتساوي تمنية. يعني هيكون عندنا سالب ميتين ستة وخمسين 𝜋، على تمنية أُس اتنين؛ زائد أربعة في 𝜋 في تمنية، يعني هتساوي أربعة 𝜋. وبالتالي إشارة م شرطة في الفترة من أربعة لما لا نهاية هتكون موجبة، يعني الدالة هتكون تزايدية.

فهنلاحظ إن مساحة سطح الأسطوانة هتكون أقل ما يمكن عند نق بتساوي أربعة. ويبقى كده قدِرنا نوجد قيمة نق اللي بتجعل مساحة سطح الأسطوانة أقل ما يمكن.

محتاجين نوجد ارتفاع الأسطوانة. وبما إن ع بتساوي مية تمنية وعشرين على نق تربيع، فنقدر نوجد ارتفاع الأسطوانة. فارتفاع الأسطوانة، اللي هو ع، هيساوي مية تمنية وعشرين على أربعة أُس اتنين. يعني ارتفاع الأسطوانة هيساوي تمنية سنتيمتر.

ويبقى كده قدِرنا نوجد ارتفاع الأسطوانة، وكان بيساوي تمنية سنتيمتر. وقدِرنا نوجد طول نصف قطر قاعدة الأسطوانة، وكان بيساوي أربعة سنتيمتر. بحيث تكون مساحة سطح الأسطوانة أقل ما يمكن.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.