فيديو: تعيين النقط الحرجة

يوضِّح الفيديو دراسة سلوك الدالة وخواص منحنى الدالة وفترات التزايد والتناقص والنقط الحرجة.

٠٦:٤٥

‏نسخة الفيديو النصية

دلوقتي هنتكلّم عن النقط الحرجة.

عشان نعيّن النقط الحرجة، بندرس سلوك الدالة. يعني بندرس خواص منحنى الدالة. وبندرس فترات التزايُد والتناقُص. إيه هي النقط الحرجة للدالة؟ هي النقط اللي بيتغيّر عندها تزايُد أو تناقُص الدالة. هيظهر قدامي دلوقتي منحنى الدالة. وهندرس سلوك الدالة.

أول نقطة حرجة هي النقطة أ؛ لأنه عند النقطة أ تغيّر سلوك الدالة؛ كانت تزايُدية، وبقت تناقُصية. وكمان عند النقطة أ، هنلاحظ إنه المشتقّة الأولى للدالة أو ميل المماسّ لمنحنى الدالة، يعني د شرطة س، تساوي صفر. يعني المماسّ يوازي محور السينات. وكمان النقطة أ بتمثّل قيمة عظمى مطلقة؛ لأن هي أعلى قيمة في منحنى الدالة.

تاني نقطة النقطة ب. تعتبر تاني نقطة حرجة؛ لأنه عند النقطة ب اتغيّر سلوك الدالة؛ كانت تناقُصية، وبقت تزايُدية. وهنلاحظ كمان إنه عند النقطة ب المشتقّة الأولى للدالة أو ميل المماسّ بيساوي صفر. يعني د شرطة س تساوي صفر. والنقطة ب بتمثّل قيمة صغرى محليّة، ما ينفعش تبقى قيمة صغرى مطلقة؛ لأنه منحنى الدالة بيقلّ من الطرفين. أمَّا النقطة ج، فهي برضو بتمثّل نقطة حرجة؛ لأنه عند النقطة ج يوجد مشتقَّة يُمنى، ومشتقَّة يُسرى غير متساويتين.

وبكده أقدر أقول: إن المشتقّة الأولى للدالة د شرطة س بتكون غير معرّفة. وكمان النقطة ج بتمثّل قيمة عظمى محليَّة؛ لأن النقطة أ كانت قيمة عظمى مطلقة. وبكده أقدر أقول: إنه النقط الحرجة بتكون موجودة لمّا تكون المشتقَّة الأولى للدالة د شرطة س تساوي صفر. يعني المماسّ بيوازي محور السينات. أو الحالة التانية، لمّا تكون المشتقَّة الأولى للدالة د شرطة س غير معرَّفة. يعني يوجد مشتقّة يُمنى ومشتقَّة يُسرى غير متساويتين.

هناخد مثال في الصفحة اللي جايّة. أوجد النقط الحرجة للدالة التالية: د س تساوي اتنين س أُس تلاتة، زائد ستة س أُس اتنين، ناقص تمنتاشر س، زائد ستة.

في البداية، عشان أجيب النقط الحرجة قلنا: إن النقط الحرجة بتكون موجودة لمّا تكون المشتقّة الأولى للدالة د شرطة س تساوي صفر. وبكده لازم أجيب المشتقَّة الأولى للدالة. وبكده أقدر أقول: إنه د شرطة س تساوي ستة س أُس اتنين، زائد اتناشر س، ناقص تمنتاشر. وبكده أقدر أقول: إنه ستة س أُس اتنين، زائد اتناشر س، ناقص تمنتاشر تساوي صفر.

هبسّط المعادلة؛ هقسم طرفَي المعادلة على ستة؛ معامل الـ س تربيع. وبكده أقدر أقول: إنه س تربيع زائد اتنين س ناقص تلاتة تساوي صفر. معادلة تربيعية. هنحلّلها لقوسين حاصل ضربهم يساوي صفر، كل قوس هيبتدي بـ س. وهفكّر في رقمين حاصل ضربهم يساوي سالب تلاتة، ومجموعهم يساوي اتنين. والرقمين هم: تلاتة، وسالب واحد. فالقوس الأولاني هيبقى س زائد تلاتة. والقوس التاني س ناقص واحد. وبكده أقدر أقول: إنه س زائد تلاتة تساوي صفر، أو س ناقص واحد يساوي صفر.

هطرح تلاتة من طرفَي المعادلة الأولى، هحصل على إن س تساوي سالب تلاتة. وهجمع واحد على طرفَي المعادلة التانية، هحصل على إن س تساوي واحد. وبكده أقدر أقول: إن النقط الحرجة عند س تساوي سالب تلاتة وَ س تساوي واحد.

هناخد مثال تاني في الصفحة اللي جايّة. أوجد النقط الحرجة للدالة د س تساوي س في هـ أُس سالب اتنين س تربيع.

عند النقط الحرجة، بتكون المشتقّة الأولى للدالة تساوي صفر. يعني د شرطة س تساوي صفر. وبكده أقدر أقول: إنه المشتقّة الأولى للدالة د س على د ص تساوي، بتطبيق قاعدة الضرب، مشتقّة الأول في التاني زائد مشتقّة التاني في الأول.

يعني د على د س للأولاني س في هـ أُس، سالب اتنين س تربيع. زائد … مشتقّة التاني د على د س لـ هـ أُس، سالب اتنين س تربيع. في … الأول س. يعني تساوي … د على د س لـ س تساوي واحد، في هـ أُس سالب اتنين س تربيع. زائد … د على د س لـ هـ أُس سالب اتنين س تربيع هتساوي هـ أُس سالب اتنين س تربيع في مشتقّة الأُس سالب أربعة س، في س. يعني تساوي … هلاحظ إنه هـ أُس سالب اتنين س تربيع اتكرّرت، هاخدها عامل مشترك. يعني هـ أُس سالب اتنين س تربيع في، واحد ناقص أربعة س تربيع.

وبكده أقدر أقول: إنه هـ أُس سالب اتنين س تربيع في، واحد ناقص أربعة س تربيع تساوي صفر. ولأنه هـ أُس سالب اتنين س تربيع ما ينفعش يساوي صفر، يبقى أقدر أقول: إن القوس واحد ناقص أربعة س تربيع يساوي صفر. هجمع أربعة س تربيع على طرفَي المعادلة، هحصل على إن أربعة س تربيع تساوي واحد. هقسم طرفَي المعادلة على أربعة؛ معامل س تربيع، هحصل على إن س تربيع تساوي واحد على أربعة. هحسب الجذر التربيعي لطرفَي المعادلة، هحصل على إن س تساوي موجب أو سالب نصّ. وبكده أقدر أقول: إنه د شرطة عند نصّ تساوي صفر. وَ د شرطة عند سالب نصّ تساوي صفر. وبكده أقدر أقول: إن النقط الحرجة عند س تساوي موجب أو سالب نصّ.

وبكده هنكون اتعلّمنا إنه عشان نعيّن النقط الحرجة، بندرس سلوك الدالة. يعني بندرس خواص منحنى الدالة. وبندرس فترات التزايُد والتناقُص. والنقط الحرجة للدالة هي النقط اللي بيتغيّر عندها تزايُد أو تناقُص الدالة. وبتكون موجودة في حالتين؛ الحالة الأولى: إن المشتقّة الأولى للدالة د شرطة س تساوي صفر. يعني المماسّ بيوازي محور السينات. والحالة التانية: إن المشتقّة الأولى للدالة د شرطة س بتكون غير معرّفة. يعني يوجد مشتقّة يُمنى ومشتقّة يسرى غير متساويتين.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.