فيديو السؤال: إيجاد المعادلات البارامترية للخطوط المستقيمة الرياضيات • الصف الأول الثانوي

نسخة الفيديو النصية

أوجد المعادلتين البارامتريتين للخط المستقيم الذي يصنع زاوية قياسها ١٣٥ درجة مع الاتجاه الموجب للمحور ﺱ، ويمر بالنقطة واحد، سالب ١٥.

حسنًا، يصنع الخط المستقيم زاوية قياسها ١٣٥ درجة مع الاتجاه الموجب للمحور ﺱ؛ لذا دعونا نرسم الاتجاه الموجب للمحور ﺱ. يفترض أن هذا الخط المستقيم يمر بالمحور ﺱ عند نقطة ما، وعلمنا أن ذلك يحدث عند زاوية قياسها ١٣٥ درجة، والتي تقاس بطبيعة الحال في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة. وبالطبع يمتد هذا الخط المستقيم إلى ما لا نهاية في الاتجاهين. توضح لنا هذه الزاوية ميل الخط المستقيم، لكن يوجد بالطبع عدد لا نهائي من الخطوط المستقيمة التي لها هذا الميل؛ لذا سنحتاج إلى مزيد من المعلومات لتحديد الخط المستقيم الذي نتعامل معه بالضبط.

في هذه الحالة، نحصل على هذه المعلومات من خلال النقطة التي يمر بها الخط المستقيم؛ لذا دعونا نحدد النقطة التي لها الإحداثيات واحد، سالب ١٥. وبعد أن حددنا موضع هذه النقطة، يمكننا أيضًا رسم المحور ﺹ. علينا إيجاد المعادلتين البارامتريتين لهذا الخط المستقيم، وهذا يتضمن كتابة إحداثيات النقاط الواقعة على الخط المستقيم، ﺱ وﺹ، على صورة دوال للبارامتر ﻙ. يمكننا أن نختار أنه عند ﻙ يساوي صفرًا، نكون عند هذه النقطة الخاصة المعطاة لنا؛ واحد، سالب ١٥. وعند تغير ﻙ من سالب ما لا نهاية إلى ما لا نهاية، نرسم بالطبع الخط الذي يمر عبر هذه النقطة عندما يصل ﻙ إلى صفر.

عند ﻙ يساوي صفرًا، فإن ﺱ يساوي واحدًا، وﺹ يساوي سالب ١٥. إذن ﺩ لصفر يساوي واحدًا، وﺭ لصفر يساوي سالب ١٥. لدينا الآن العديد من الخيارات التي يمكننا التفكير فيها بشأن ﻙ. إننا نعرف أنه عند تغير ﻙ من سالب ما لا نهاية إلى ما لا نهاية، يجب رسم هذا الخط المستقيم، ويمكننا اختيار أن يكون الخط المستقيم مرسومًا من اليسار إلى اليمين؛ أي في اتجاه تزايد ﺱ. ومن ثم، ﻙ يساوي واحدًا يناظر نقطة ما تقع على طول الخط المستقيم، وﻙ يساوي سالب تسعة يناظر نقطة ما أعلى الخط المستقيم.

وأسهل طريقة لفعل ذلك، وهذا أمر اختياري أيضًا، هي جعل قيمة ﻙ تكون تغير ﺱ بين النقطة الخاصة واحد، سالب ١٥، والنقطة التي نبحث عنها. لذا، عند افتراض أن ﻙ يساوي واحدًا؛ فذلك يعني أن التغير في ﺱ من النقطة واحد، سالب ١٥ يساوي واحدًا؛ ومن ثم فالإحداثي ﺱ لهذه النقطة يساوي اثنين. وبالمثل، عند ﻙ يساوي سالب تسعة، فإن التغير في ﺱ من النقطة واحد، سالب ١٥ يساوي سالب تسعة؛ ومن ثم فالإحداثي ﺱ لهذه النقطة يساوي سالب ثمانية.

إذن، بوجه عام، ﺱ يساوي واحدًا زائد ﻙ. ولإيجاد المعادلة المكافئة لـ ﺹ، يمكننا استخدام حساب المثلثات. يمكننا ملاحظة أن الزاوية التي قياسها ١٣٥ درجة مع الاتجاه الموجب للمحور ﺱ تكملها زاوية قياسها ٤٥ درجة مع الاتجاه السالب للمحور ﺱ، ومن ثم يمكننا ملاحظة أن ميل هذا الخط المستقيم يساوي سالب واحد. ماذا يعني هذا؟ هذا يعني أن التغير في ﺹ على التغير في ﺱ يساوي سالب واحد، وبما أن التغير في ﺱ يساوي ﻙ، يمكن استنتاج أن التغير في ﺹ يجب أن يساوي سالب ﻙ.

وكما رأينا بالفعل، فإنه عندما يكون ﻙ يساوي صفرًا، فإن ﺹ يساوي سالب ١٥. وبما أن هذه القيمة لـ ﻙ تتغير، فإن التغير في ﺹ يساوي سالب ﻙ. وبذلك نحصل على المعادلتين البارامتريتينﺱ يساوي واحدًا زائد ﻙ، وﺹ يساوي سالب ١٥ ناقص ﻙ. من المهم هنا معرفة أنه كان يوجد العديد من الخيارات التي يمكن استخدامها لإيجاد هاتين المعادلتين البارامتريتين. وبسبب ذلك، توجد الكثير من المعادلات البارامترية المختلفة التي تمثل الخط المستقيم نفسه.