فيديو: العمليات على متسلسلات القوى

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نجمع متسلسلتي قوى، ونطرحهما، ونضربهما، وكيف نوجد نصف قطر تقارب متسلسلات القوى الناتجة.

١٣:٥١

‏نسخة الفيديو النصية

العمليات على متسلسلات القوى

في هذا الفيديو، سوف نتناول الأنواع المختلفة من متسلسلات القوى التي قد تنتج من جمع متسلسلتي قوى، وطرحهما، وضربهما. وسوف ندرس كيفية إيجاد نصف قطر تقارب تركيب خطي لمتسلسلتي قوى. كما سندرس كيفية التعبير عن دالة باستخدام متسلسلة القوى باعتبارها تركيبًا من متسلسلتي قوى. وأخيرًا، سنناقش ما يحدث عند ضرب متسلسلتي قوى معًا.

لحل هذه المسائل المتعلقة بمتسلسلات القوى، دعونا نفكر فيما نعرفه بالفعل عن المتسلسلات العادية. إذا كانت المتسلسلتان، اللتان هما عبارة عن المجموع لعدد ‪𝑛‬‏ من الحدود لـ ‪𝑎𝑛‬‏ والمجموع لعدد ‪𝑛‬‏ من الحدود لـ ‪𝑏𝑛‬‏، تتقاربان ولدينا الثابت ‪𝑐‬‏، فإننا نعرف إذن أن المجموع لعدد ‪𝑛‬‏ من الحدود لـ ‪𝑎𝑛‬‏ زائد المجموع لعدد ‪𝑛‬‏ من الحدود لـ ‪𝑏𝑛‬‏ يساوي المجموع لـ ‪𝑛‬‏ من الحدود لـ ‪𝑎𝑛‬‏ زائد ‪𝑏𝑛‬‏. ونعرف أيضًا أن هذا المجموع يتقارب. وبالمثل، بما أن ‪𝑐‬‏ ثابت، فإننا نعرف أنه عند الجمع لعدد ‪𝑛‬‏ من الحدود لـ ‪𝑐‬‏ مضروبًا في ‪𝑎𝑛‬‏، يمكننا إخراج الثابت ‪𝑐‬‏ كعامل مشترك خارج المجموع. وهذا يعطينا ‪𝑐‬‏ مضروبًا في المجموع لعدد ‪𝑛‬‏ من الحدود لـ ‪𝑎𝑛‬‏. ويتقارب أيضًا هذا المجموع.

الآن، نريد أن نطرح سؤالًا: ماذا سيحدث إذا كان لدينا متسلسلات قوى بدلًا من المتسلسلات العادية؟ لعلنا نذكر أنه عند الحديث عن متسلسلات القوى، فهي لا تتقارب أو تتباعد. بل يكون لها ما يسمى بنصف قطر التقارب. هذا لأن ‪𝑥‬‏ متغير. إذن لكل قيمة لـ ‪𝑥‬‏، ستصبح لدينا متسلسلة قوى مختلفة. ونريد أن نعرف قيم ‪𝑥‬‏ حيث تتقارب عندها هاتان المتسلسلتان. فدعونا نضف نصفي قطر التقارب لكلتا متسلسلتي القوى. ولنطلق عليهما ‪𝑅‬‏ واحد و‪𝑅‬‏ اثنين.

نريد الآن أن نعرف ماذا يحدث عند محاولة جمع متسلسلتي القوى معًا. سنفعل ذلك باستخدام هذه الصيغة لجمع متسلسلتين معًا. نحن نحاول جمع متسلسلتين معًا. المجمع في المتسلسلة الأولى هو ‪𝑎𝑛‬‏ مضروبًا في ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑛‬‏. والمجمع في المتسلسلة الثانية هو ‪𝑏𝑛‬‏ مضروبًا في ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑛‬‏. وتخبرنا هذه الصيغة أنه عندما تتقارب هاتان المتسلسلتان، يمكننا جمع الجزأين المجمعين معًا. وبذلك، يمكننا استخدام هذه الصيغة لأي قيمة من قيم ‪𝑥‬‏ حيث تتقارب كل من متسلسلتي القوى. ويعطينا ذلك المجموع لعدد ‪𝑛‬‏ من الحدود لـ ‪𝑎𝑛‬‏ مضروبًا في ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑛‬‏ زائد ‪𝑏𝑛‬‏ مضروبًا في ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑛‬‏. ويمكننا أخذ ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑛‬‏ عاملًا مشتركًا. فيصبح لدينا المجموع لعدد ‪𝑛‬‏ من الحدود لـ ‪𝑎𝑛‬‏ زائد ‪𝑏𝑛‬‏ مضروبًا في ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑛‬‏.

ونلاحظ، بالتحديد، أن هذه الصيغة الجديدة ستكون صحيحة دائمًا عندما تكون القيمة المطلقة لـ ‪𝑥‬‏ أقل من أصغر قيمة لـ ‪𝑅‬‏ واحد و‪𝑅‬‏ اثنين. هذا لأنه إذا كانت القيمة المطلقة لـ ‪𝑥‬‏ أقل من أصغر قيمة لـ ‪𝑅‬‏ واحد و‪𝑅‬‏ اثنين، فستكون إذن أصغر من قيمتيهما. وبذلك ستتقارب متسلسلتي القوى. ربما نريد الآن تسمية أصغر قيمة لـ ‪𝑅‬‏ واحد و‪𝑅‬‏ اثنين بنصف قطر التقارب لمجموع متسلسلتي القوى. ومع ذلك، فالأمر ليس كذلك بالضرورة.

لمعرفة سبب أن إيجاد نصفي قطر التقارب لهذه المتسلسلة ليس بسيطًا، انظر المثال التالي. سيتقارب المجموع لعدد ‪𝑛‬‏ من الحدود لـ ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑛‬‏ مقسومًا على ‪𝑛‬‏ عندما تكون القيمة المطلقة لـ ‪𝑥‬‏ أقل من واحد. بالمثل، سيتقارب أيضًا المجموع على ‪𝑛‬‏ لسالب ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑛‬‏ عندما تكون القيمة المطلقة لـ ‪𝑥‬‏ أقل من واحد. ومع ذلك، عند جمع متسلسلتي القوى هاتين معًا نحصل على المجموع لواحد على ‪𝑛‬‏ ناقص واحد على ‪𝑛‬‏ مضروبًا في ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑛‬‏. ونبسط هذا ليصبح المجموع لـ ‪𝑛‬‏ لصفر، الذي يتقارب لجميع قيم ‪𝑥‬‏.

إذن، يمكننا استخدام هذه الصيغة لجمع أي متسلسلتي قوى معًا. لكن، علينا الاجتهاد لإيجاد نصف قطر تقارب متسلسلة القوى الجديدة. إذ علينا استخدام بعض الطرق مثل الملاحظة أو اختبار النسبة أو اختبار التكامل لإيجاد نصف قطر التقارب الجديد. لنلق نظرة على مثال.

افترض أن المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي صفرًا إلىلـ ‪𝑎𝑛‬‏ مضروبًا في ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑛‬‏ عبارة عن متسلسلة قوى فترة تقاربها هي الفترة المفتوحة من سالب ثلاثة إلى ثلاثة. وأن المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي صفرًا إلىلـ ‪𝑏𝑛‬‏ مضروبًا في ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑛‬‏ عبارة عن متسلسلة قوى فترة تقاربها هي الفترة المفتوحة من سالب خمسة إلى خمسة. أوجد فترة تقارب المتسلسلة التي هي عبارة عن المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي صفرًا إلىلـ ‪𝑎𝑛𝑥‬‏ أس ‪𝑛‬‏ ناقص ‪𝑏𝑛𝑥‬‏ أس ‪𝑛‬‏. أوجد فترة تقارب المتسلسلة التي هي عبارة عن المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي صفرًا إلىلـ ‪𝑏𝑛‬‏ اثنين أس ‪𝑛‬‏ في ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑛‬‏.

المطلوب في المسألة هو إيجاد فترة التقارب لمتسلسلتي قوى مختلفتين. نتذكر أن فترة التقارب هي الفترة التي تتضمن جميع قيم ‪𝑥‬‏ حيث تتقارب المتسلسلة. إذا تقاربت كلتا متسلسلتي القوى بحيث تكون القيمة المطلقة لـ ‪𝑥‬‏ أقل من أصغر قيمة لثلاثة وخمسة. وبما أننا نجمع متسلسلتي قوى متقاربتين معًا، يمكننا إذن تجميع المجمعين كما نفعل في المتسلسلة العادية. هذا يساوي المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي صفرًا إلىلـ ‪𝑎𝑛𝑥‬‏ أس ‪𝑛‬‏ ناقص ‪𝑏𝑛𝑥‬‏ أس ‪𝑛‬‏ الذي سيتقارب عندما تكون القيمة المطلقة لـ ‪𝑥‬‏ أقل من أصغر قيمة لثلاثة وخمسة.

إذن، رأينا أن متسلسلة القوى تتقارب عندما تكون القيمة المطلقة لـ ‪𝑥‬‏ أقل من ثلاثة. ولكن ماذا إذا كانت تساوي ثلاثة؟ وماذا إذا كانت أكبر من ثلاثة؟ لننظر في الحالة التي فيها القيمة المطلقة لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ثلاثة. ولنفترض أن هذه المتسلسلة تتقارب. ومن ثم، بما أن القيمة المطلقة لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ثلاثة، فالمجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي صفرًا إلىلـ ‪𝑏𝑛𝑥‬‏ أس ‪𝑛‬‏ يجب أن يتقارب أيضًا لأن نصف قطر تقاربه يساوي خمسة. والآن، ماذا سيحدث إذا جربنا جمع هاتين المتسلسلتين معًا؟ حسنًا، لقد افترضنا أن متسلسلة القوى الأولى ستتقارب إذا كانت القيمة المطلقة لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ثلاثة. وإذا كانت القيمة المطلقة لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ثلاثة، فهذا يعني أنها أقل من خمسة. ومن ثم، يجب أن تتقارب أيضًا متسلسلة القوى الثانية.

هذا يعني أننا نحاول جمع متسلسلتي قوى كلتاهما متقاربتان. إذن، يمكننا جمع معاملي ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑛‬‏ معًا. نلاحظ أن سالب ‪𝑏𝑛‬‏ و‪𝑏𝑛‬‏ يلغيان معًا. ويبسط هذا ليعطينا المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي صفرًا إلىلـ ‪𝑎𝑛‬‏ مضروبًا في ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑛‬‏. لكن، المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي صفرًا إلىلـ ‪𝑎𝑛𝑥‬‏ أس ‪𝑛‬‏ سيتقارب فقط عندما تكون القيمة المطلقة لـ ‪𝑥‬‏ أقل من ثلاثة. إذن هذه المتسلسلة يجب أن تتباعد. الطريقة الوحيدة التي قد يتحقق بها ذلك هي إذا كان المجموع على ‪𝑛‬‏ لـ ‪𝑎𝑛𝑥‬‏ أس ‪𝑛‬‏ ناقص ‪𝑏𝑛𝑥‬‏ أس ‪𝑛‬‏ متباعدًا عندما كانت القيمة المطلقة لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ثلاثة.

وبما أن ثلاثة وسالب ثلاثة غير متضمنتين في فترة التقارب، إذن فترة التقارب للمجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي صفرًا إلىلـ ‪𝑎𝑛𝑥‬‏ أس ‪𝑛‬‏ ناقص ‪𝑏𝑛𝑥‬‏ أس ‪𝑛‬‏ هي الفترة المفتوحة من سالب ثلاثة إلى ثلاثة. لنفسح بعض المساحة لإيجاد فترة التقارب في الحالة الثانية.

سنجعل الدالة ‪𝑓‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏ تساوي المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي صفرًا إلىلـ ‪𝑏𝑛𝑥‬‏ أس ‪𝑛‬‏. وذلك عندما تكون القيمة المطلقة لـ ‪𝑥‬‏ أقل من خمسة. نريد أن نجعل متسلسلة القوى هذه تبدو مثل المتسلسلة المعطاة لنا في رأس المسألة. سنبدأ بضرب المجمعين وقسمتهما على اثنين أس ‪𝑛‬‏. بعد ذلك، يمكننا استخدام قوانين الأسس لملاحظة أن نصف أس ‪𝑛‬‏ مضروبًا في ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑛‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ على اثنين الكل أس ‪𝑛‬‏. نريد أن يكون المجمع ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑛‬‏ بدلًا من ‪𝑥‬‏ على اثنين أس ‪𝑛‬‏. إذن، سنجعل ‪𝑢‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ مقسومًا على اثنين. هذا يساوي المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي صفرًا إلىلـ ‪𝑏𝑛‬‏ اثنين أس ‪𝑛‬‏ مضروبًا في ‪𝑢‬‏ أس ‪𝑛‬‏ الذي سيتقارب عندما تكون القيمة المطلقة لاثنين ‪𝑢‬‏ أقل من خمسة.

إذا كانت القيمة المطلقة لاثنين ‪𝑢‬‏ أقل من خمسة، فهذا يعادل قولنا إن القيمة المطلقة لـ ‪𝑢‬‏ أقل من خمسة على اثنين. وهكذا، نكون أوضحنا أن نصف قطر التقارب للمجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي صفرًا إلىلـ ‪𝑏𝑛‬‏ مضروبًا في اثنين أس ‪𝑛‬‏ مضروبًا في ‪𝑢‬‏ أس ‪𝑛‬‏ يساوي خمسة على اثنين. وبما أنه لا يهم إذا أسمينا المتغير ‪𝑢‬‏ أو ‪𝑥‬‏، يتضح لنا أن متسلسلة القوى الثانية، التي هي عبارة عن المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي صفرًا إلىلـ ‪𝑏𝑛‬‏ اثنين أس ‪𝑛‬‏ في ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑛‬‏، ستكون فترة تقاربها الفترة المفتوحة من سالب خمسة على اثنين إلى خمسة على اثنين.

لنر ما كان سيحدث إذا حاولنا ضرب متسلسلتي قوى معًا.

لنفترض أننا نريد ضرب متسلسلتي قوى معًا، كيف يمكننا إجراء ذلك؟ حسنًا، لنبدأ بكتابة كل حد على حدة. بكتابة هاتين المتسلسلتين على صورة كل حد على حدة سيصبح لدينا التعبير الآتي. حسنًا، نتذكر أن هذين التعبيرين يستمران إلى ما لا نهاية. إذا نظرنا إلى التعبيرين، فسنجد أن كليهما يبدو على صورة كثيرتي حدود. ونحن نعرف كيف نضرب كثيرتي حدود معًا. لإيجاد الحد الثابت، نضرب كلًا من الحدين الثابتين معًا. هذا يعطينا ‪𝑎‬‏ صفر مضروبًا في ‪𝑏‬‏ صفر.

والآن، لإيجاد كل حدود ‪𝑥‬‏، نضرب الحدود الثابتة لمعاملات ‪𝑥‬‏. هذا يعطينا ‪𝑎‬‏ صفر مضروبًا في ‪𝑏‬‏ واحد زائد ‪𝑎‬‏ واحد مضروبًا في ‪𝑏‬‏ صفر. يمكننا بعد ذلك فعل الشيء نفسه مع معامل ‪𝑥‬‏ تربيع. للحصول على حاصل ضرب حدي ‪𝑥‬‏ تربيع، سنضرب الحدين الثابتين في حدي ‪𝑥‬‏ تربيع. وسنضرب أيضًا حدي ‪𝑥‬‏ معًا. ويمكننا الاستمرار في ذلك بصورة لا نهائية.

نلاحظ الآن أننا عندما كنا نختار المعامل الذي سيتم ضربه للحصول على الحد ‪𝑥‬‏ تربيع وهو أحد نواتج حاصل الضرب، كنا نختاره بحيث يكون مجموع ترقيم كل معامل يساوي اثنين. وهذا منطقي لأن ترقيم المعامل هو نفسه الأس المرفوع إليه ‪𝑥‬‏. والآن، لنلق نظرة فاحصة على الحد الثاني. يمكننا كتابة ذلك على صورة المجموع من ‪𝑗‬‏ يساوي صفرًا إلى واحد لـ ‪𝑎𝑗‬‏ مضروبًا في ‪𝑏‬‏ واحد ناقص ‪𝑗‬‏ الكل مضروب في ‪𝑥‬‏ أس واحد. ومرة أخرى، هذا لأننا نريد أن يكون مجموع الترقيمات مساويًا للأس المرفوع إليه ‪𝑥‬‏. يمكننا بعد ذلك فعل الشيء نفسه مع معامل ‪𝑥‬‏ تربيع. وفي الحقيقة، يمكننا الحصول على مجموع مشابه لمعامل أي أس مرفوع إليه ‪𝑥‬‏. ويمكننا في النهاية كتابة ذلك على صورة مجموع يشمل الأسس المختلفة المرفوع إليها ‪𝑥‬‏. حيث سيكون كل معامل للأس المرفوع إليه ‪𝑥‬‏ مساويًا أحد العوامل التي أوجدناها مسبقًا.

وكما ذكرنا من قبل، لإيجاد معامل ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑛‬‏، علينا جمع حاصل ضرب كل الحدود التي مجموع ترقيماتها يساوي ‪𝑛‬‏. وهذا يجعلنا نستدل على كيفية ضرب متسلسلتي قوى معًا. إذا كان لدينا متسلسلتا قوى تتقاربان عند قيمة معينة لـ ‪𝑥‬‏، فإن حاصل ضرب متسلسلتي القوى هاتين يساوي ذلك. نحسب المجموع لعدد ‪𝑛‬‏ من الحدود لإيجاد معامل ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑛‬‏. وهذا المعامل يساوي المجموع لعدد ‪𝑗‬‏ من الحدود لـ ‪𝑎𝑗‬‏ مضروبًا في ‪𝑏𝑛‬‏ ناقص ‪𝑗‬‏.

لنتناول مثالًا يوضح لنا كيفية استخدام هذه الصيغة عمليًا.

اضرب المتسلسلة واحد مقسومًا على واحد زائد ‪𝑥‬‏ يساوي المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي صفرًا إلىلسالب واحد أس ‪𝑛‬‏ في ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑛‬‏ في نفسها لتكوين متسلسلة لواحد مقسومًا على واحد زائد ‪𝑥‬‏ الكل تربيع. اكتب الإجابة باستخدام رمز التجميع.

نتذكر أنه إذا كان لدينا متسلسلتا قوى، ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي المجموع لعدد ‪𝑛‬‏ من الحدود لـ ‪𝑎𝑛𝑥‬‏ أس ‪𝑛‬‏ و‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي المجموع لعدد ‪𝑛‬‏ من الحدود لـ ‪𝑏𝑛𝑥‬‏ أس ‪𝑛‬‏، حيث تتقاربان عند قيمة ‪𝑥‬‏ هذه. يمكننا إذن حساب حاصل ضرب متسلسلتي القوى هاتين، ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ مضروبًا في ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑥‬‏، باعتبارهما المجموع على ‪𝑛‬‏ لكل حدود ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑛‬‏ ومعاملهما المجموع على ‪𝑗‬‏ لـ ‪𝑎𝑗‬‏ مضروبًا في ‪𝑏𝑛‬‏ ناقص ‪𝑗‬‏. في هذه الحالة، نريد ضرب واحد مقسومًا على واحد زائد ‪𝑥‬‏ في نفسه لكي نحصل على متسلسلة القوى لواحد مقسومًا على واحد زائد ‪𝑥‬‏ الكل تربيع. إذن، سنجعل كلتا الدالتين، ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ و‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑥‬‏، تساويان واحدًا مقسومًا على واحد زائد ‪𝑥‬‏.

وبذلك، كل من ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ و‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساويان المجموع لواحد على واحد زائد ‪𝑥‬‏، وهو ما يساوي المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي صفرًا إلىلسالب واحد أس ‪𝑛‬‏ في ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑛‬‏. إذن، يمكننا استخدام هذه الصيغة لقيمة ‪𝑥‬‏ التي تتقارب عندها متسلسلة القوى هذه ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏، كي نوجد تعبيرًا لـ ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تربيع. نعلم من المسألة أن واحدًا مقسومًا على واحد زائد ‪𝑥‬‏ يساوي المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي صفرًا إلىلسالب واحد أس ‪𝑛‬‏ في ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑛‬‏. نستنتج من ذلك أن ‪𝑎𝑗‬‏ يساوي سالب واحد أس ‪𝑗‬‏. و‪𝑏𝑛‬‏ ناقص ‪𝑗‬‏ يساوي سالب واحد أس ‪𝑛‬‏ ناقص ‪𝑗‬‏.

ومن ثم، يمكننا حساب ‪𝑎𝑗‬‏ مضروبًا في ‪𝑏𝑛‬‏ ناقص ‪𝑗‬‏ على أنه يساوي سالب واحد أس ‪𝑗‬‏ مضروبًا في سالب واحد أس ‪𝑛‬‏ ناقص ‪𝑗‬‏، وهو ما يساوي سالب واحد أس ‪𝑛‬‏. إذن، لدينا الآن معامل ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑛‬‏ يساوي المجموع من ‪𝑗‬‏ يساوي صفرًا إلى ‪𝑛‬‏ لسالب واحد أس ‪𝑛‬‏. ويمكننا ملاحظة أن هذا المجمع، سالب واحد أس ‪𝑛‬‏، لا يعتمد على ‪𝑗‬‏. وعليه، يصبح المجموع سالب واحد أس ‪𝑛‬‏ مضافًا إلى نفسه بعدد ‪𝑛‬‏ زائد واحد من المرات. وهذا لأن ‪𝑗‬‏ يبدأ من صفر إلى ‪𝑛‬‏. وإذا أضفنا سالب واحد أس ‪𝑛‬‏ إلى نفسه بعدد ‪𝑛‬‏ زائد واحد من المرات، فهذا يعادل ‪𝑛‬‏ زائد واحد مضروبًا في سالب واحد أس ‪𝑛‬‏.

وبذلك، نكون قد أوضحنا قيم ‪𝑥‬‏ التي تتقارب عندها متسلسلة قوى لواحد مقسومًا على واحد زائد ‪𝑥‬‏. يمكننا ضرب متسلسلة القوى لواحد مقسومًا على واحد زائد ‪𝑥‬‏ في نفسها لنحصل على واحد مقسومًا على واحد زائد ‪𝑥‬‏ تربيع يساوي المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي صفرًا إلىلسالب واحد أس ‪𝑛‬‏ مضروبًا في ‪𝑛‬‏ زائد واحد مضروبًا في ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑛‬‏.

إذن تلخيصًا لما تعلمناه في هذا الفيديو، فقد يكون لدينا متسلسلتا قوى، وهما المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي صفرًا إلىلـ ‪𝑎𝑛𝑥‬‏ أس ‪𝑛‬‏ والمجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي صفرًا إلىلـ ‪𝑏𝑛𝑥‬‏ أس ‪𝑛‬‏، تتقاربان عند قيمة معينة لـ ‪𝑥‬‏. وعندئذ، يمكننا جمع متسلسلتي القوى هاتين معًا لنحصل على المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي صفرًا إلىلـ ‪𝑎𝑛‬‏ زائد ‪𝑏𝑛‬‏ الكل مضروب في ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑛‬‏. وتحديدًا، فإننا نفترض أن نصف قطر التقارب لمتسلسلة القوى الأولى يساوي ‪𝑅‬‏ واحد، ونصف قطر التقارب لمتسلسلة القوى الثانية يساوي ‪𝑅‬‏ اثنين. وعندئذ، نعرف أنه يمكننا جمع متسلسلتي القوى بهذه الطريقة لأي قيمة لـ ‪𝑥‬‏ بحيث تكون القيمة المطلقة لـ ‪𝑥‬‏ أقل من أصغر قيمة لـ ‪𝑅‬‏ واحد و‪𝑅‬‏ اثنين.

وبالنسبة إلى متسلسلة القوى، التي هي عبارة عن المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي صفرًا إلىلـ ‪𝑎𝑛‬‏ زائد ‪𝑏𝑛‬‏ الكل مضروب في ‪𝑥 𝑛‬‏، إذا أسمينا نصف قطر تقاربها ‪𝑅‬‏، فإن أقل قيمة لـ ‪𝑅‬‏ واحد و‪𝑅‬‏ اثنين تساوي الحد الأدنى لـ ‪𝑅‬‏. وأخيرًا، قد يكون لدينا متسلسلتا قوى، عبارة عن المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي صفرًا إلىلـ ‪𝑎𝑛𝑥‬‏ أس ‪𝑛‬‏ والمجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي صفرًا إلىلـ ‪𝑏𝑛𝑥‬‏ أس ‪𝑛‬‏، تتقاربان عند قيمة ما لـ ‪𝑥‬‏. وعندئذ، فإن حاصل ضرب متسلسلتي القوى هاتين يساوي ذلك. نجمع كل حدود ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑛‬‏. ومعاملها يساوي المجموع من ‪𝑗‬‏ يساوي صفرًا إلى ‪𝑛‬‏ لـ ‪𝑎𝑗‬‏ مضروبًا في ‪𝑏𝑛‬‏ ناقص ‪𝑗‬‏.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.