نسخة الفيديو النصية
استخدم المعادلة 𝑟𝑛 يساوي أربعة 𝜋𝜀 صفر في ℎ بار تربيع في 𝑛 تربيع على 𝑚𝑒 في 𝑞𝑒 تربيع؛ حيث 𝑟𝑛 هو نصف قطر مدار الإلكترون في مستوى الطاقة 𝑛 لذرة هيدروجين، 𝜀 صفر هي سماحية الفراغ، ℎ بار هو ثابت بلانك المخفض، و𝑚𝑒 هي كتلة الإلكترون، و𝑞𝑒 هي شحنة الإلكترون، لحساب نصف قطر مدار إلكترون في مستوى الطاقة 𝑛 يساوي أربعة لذرة الهيدروجين. استخدم القيمة 8.85 في 10 أس سالب 12 فاراد لكل متر لسماحية الفراغ، والقيمة 1.05 في 10 أس سالب 34 جول ثانية لثابت بلانك المخفض، والقيمة 9.11 في 10 أس سالب 31 كيلوجرام لكتلة سكون الإلكترون، والقيمة 1.60 في 10 أس سالب 19 كولوم لشحنة الإلكترون. قرب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.
في هذا السؤال، معطى لدينا معادلة تخبرنا كيفية حساب نصف قطر المدار 𝑟𝑛 لإلكترون في مستوى الطاقة 𝑛 لذرة هيدروجين. ومطلوب منا استخدام هذه المعادلة لإيجاد قيمة 𝑟𝑛 لإلكترون في مستوى الطاقة 𝑛 يساوي أربعة. في النصف الثاني من نص السؤال، لدينا قيم جميع الثوابت المختلفة الموجودة في الطرف الأيمن من المعادلة. للإجابة عن هذا السؤال، نحتاج إلى أن نفرغ بعض المساحة على الشاشة. وبينما نقوم بذلك، دعونا ندون جميع هذه القيم المعطاة.
هذه هي المعادلة التي حصلنا عليها من السؤال. في هذه المعادلة، نعلم أن قيمة 𝜀 صفر، أي سماحية الفراغ، تساوي 8.85 في 10 أس سالب 12 فاراد لكل متر. ومطلوب منا أيضًا أن نستخدم لثابت بلانك المخفض ℎ بار القيمة 1.05 في 10 أس سالب 34 جول ثانية. وملحوظة جانبية سريعة، يمكننا أن نتذكر أن ثابت بلانك المخفض ℎ بار يساوي ببساطة ثابت بلانك العادي ℎ مقسومًا على اثنين 𝜋.
القيمتان الأخريان لدينا هما كتلة الإلكترون وشحنته. نعلم من المعطيات أن كتلة سكون الإلكترون 𝑚𝑒 تساوي 9.11 في 10 أس سالب 31 كيلوجرام. وشحنة الإلكترون 𝑞𝑒 تساوي 1.60 في 10 أس سالب 19 كولوم. وآخر ما علينا تذكره من هذا السؤال هو أن المطلوب إيجاد قيمة 𝑟𝑛، إذا كان 𝑛 يساوي أربعة.
تصف المعادلة المعطاة نموذج بور للذرة. في نموذج بور للذرة، توجد نواة في المركز، وقد مثلناها هنا بهذه الدائرة الحمراء. وتحيط بهذه النواة عدة مدارات دائرية مختلفة يمكن أن تشغلها إلكترونات. ويعتمد المدار المحدد الذي سيشغله إلكترون محدد من هذه المدارات الدائرية على قيمة 𝑛 لهذا الإلكترون، حيث 𝑛 هو مستوى الطاقة الذي يشغله الإلكترون، ويشار إليه أيضًا بعدد الكم الرئيسي للإلكترون. يشير 𝑛 يساوي واحدًا إلى المدار الدائري الداخلي. إذن هذا هو المدار الأقرب للنواة. ويشير 𝑛 يساوي اثنين إلى المدار الذي يليه إلى الخارج. ثم لدينا 𝑛 يساوي ثلاثة، و𝑛 يساوي أربعة، وهكذا بالنسبة إلى قيم 𝑛 الأكبر.
بالطبع لم نرسم الشكل الموضح هنا بمقياس رسم. لكنه على الأقل يخبرنا بأنه كلما زادت قيمة مستوى الطاقة 𝑛، زاد نصف قطر مدار الإلكترون 𝑟𝑛. تصف هذه المعادلة المأخوذة من نموذج بور هذه العلاقة بين مستوى الطاقة 𝑛 ونصف قطر المدار 𝑟𝑛. إذا أعدنا كتابة المعادلة على هذا النحو، بكتابة الحد 𝑛 تربيع خارج القوس، فبإمكاننا أن نلاحظ أن جميع الحدود داخل القوس مجرد ثوابت. وهذا يعني أن نصف قطر المدار 𝑟𝑛 يتناسب طرديًّا مع 𝑛 تربيع.
وملحوظة جانبية، تجمع عادة كل هذه الحدود الثابتة داخل القوس معًا في صورة ثابت واحد يعرف باسم نصف قطر بور، ويرمز له بالرمز 𝑎 صفر. إذن، باستخدام نصف قطر بور، يمكننا القول إن نصف قطر المدار 𝑟𝑛 يساوي نصف قطر بور 𝑎 صفر في 𝑛 تربيع.
لقد كان كل هذا النقاش في الواقع بمثابة طريقة ملتفة وغير مباشرة، حيث يعطينا السؤال جميع القيم التي يمكن التعويض بها مباشرة في هذه المعادلة. تذكر أنه في هذا السؤال، علمنا أننا نتعامل مع ذرة هيدروجين، وهي ذرة لها بروتون واحد فقط يمثل نواتها وإلكترون واحد فقط يدور حول هذه النواة. إذن، إذا كان هذا الرسم الذي رسمناه يعبر عن ذرة هيدروجين، فإن الدائرة الحمراء الموجودة في المنتصف، التي ذكرنا أنها النواة، هي في الواقع بروتون واحد فقط. ونعرف أن للذرة إلكترونًا واحدًا فقط، قيل لنا إنه يقع في مستوى الطاقة 𝑛 يساوي أربعة.
دعونا إذن نضف إلكترونًا إلى الدائرة الرابعة البعيدة عن النواة في هذا الرسم. وتمثله هذه الدائرة الزرقاء الصغيرة التي أضفناها هنا. الآن بعد أن فهمنا ما تصفه هذه المعادلة بعض الشيء، دعونا نعوض بهذه القيم في تلك المعادلة لحساب قيمة نصف قطر مدار هذا الإلكترون.
عندما نفعل ذلك، فإن الكمية التي نقوم بحسابها هي 𝑟 أربعة. إذن تلك هي قيمة 𝑟𝑛 عندما يساوي 𝑛 أربعة. بالتعويض بهذه القيم، نحصل على هذا المقدار. لدينا في البسط أربعة 𝜋 مضروبًا في قيمة 𝜀 صفر، أي سماحية الفراغ، مضروبًا في تربيع ℎ بار، أي ثابت بلانك المخفض، مضروبًا في تربيع قيمة 𝑛 الموجودة لدينا، وهي مستوى الطاقة الذي يشغله الإلكترون. كل هذا مقسوم على كتلة سكون الإلكترون 𝑚𝑒 وتربيع شحنة الإلكترون 𝑞𝑒.
لنلق نظرة الآن على الوحدات المستخدمة في هذا المقدار. قيمة 𝜀 صفر معطاة بوحدة فاراد لكل متر. المتر هو الوحدة الأساسية للمسافة في النظام الدولي للوحدات. والفاراد وحدة مشتقة تستخدم لقياس السعة الكهربية في النظام الدولي. ورغم أنه ليس بالتعبير البسيط، يمكن التعبير عن الفاراد بدلالة وحدات النظام الدولي الأساسية في صورة ثانية أس أربعة أمبير مربع متر أس سالب اثنين كيلوجرام أس سالب واحد. ولدينا ثابت بلانك المخفض ℎ بار بوحدة جول ثانية. والثانية هي الوحدة الأساسية للزمن في النظام الدولي. وعلى غرار الفاراد، يمكن التعبير عن الجول بدلالة وحدات النظام الدولي الأساسية. فهو يساوي كيلوجرام متر مربع لكل ثانية مربعة. آخر كمية متبقية في البسط هي مستوى الطاقة 𝑛. وهي كمية لا بعد لها، ما يعني أنها ليس لها وحدات على الإطلاق.
في المقام، لدينا كتلة سكون الإلكترون بوحدة الكيلوجرام. وهي الوحدة الأساسية للكتلة في النظام الدولي. وهي مضروبة في مربع شحنة الإلكترون بوحدة الكولوم. ويمكن التعبير عن الكولوم بدلالة الوحدات الأساسية للنظام الدولي على صورة أمبير ثانية. وبهذا نكون قد رأينا أن جميع الوحدات في الطرف الأيمن من المعادلة إما من وحدات النظام الدولي الأساسية وإما يمكن التعبير عنها بدلالة وحدات النظام الدولي الأساسية. وهذا يعني أن نصف قطر المدار الذي سنحسبه سيكون بوحدة النظام الدولي الأساسية للمسافة، وهي وحدة المتر. لنرتب هذا المقدار قليلًا مع وضع ذلك في الاعتبار.
في المقدار الثاني، بدلًا من كتابة كل الوحدات في الطرف الأيمن، كتبنا ببساطة وحدة المتر التي نعرف أنها ستكون وحدة قياس نصف قطر المدار. كما فصلنا كل هذه القيم عن جميع قوى العدد 10. وهذا يعني أن بإمكاننا حساب جزأي المقدار هذين كل على حدة، ثم ضربهما معًا.
لنبدأ بالنظر في قوى العدد 10. ثمة متطابقتان سنجد أنهما مفيدتان. الأولى هي أن 𝑎 أس 𝑥 في 𝑎 أس 𝑦 يساوي 𝑎 أس 𝑥 زائد 𝑦. والمتطابقة الثانية هي أن 𝑎 أس 𝑥 على 𝑎 أس 𝑦 يساوي 𝑎 أس 𝑥 ناقص 𝑦.
في هذا الحد من المقدار، لدينا في البسط 10 أس سالب 12 في تربيع 10 أس سالب 34. يمكننا إعادة كتابة تربيع 10 أس سالب 34 على الصورة 10 أس سالب 34 في 10 أس سالب 34. وبالمقارنة بهذه المتطابقة بعد ذلك، نجد أنه يمكننا إعادة كتابة البسط على الصورة 10 أس سالب 12 ناقص 34 ناقص 34. وناتج هذا يساوي 10 أس سالب 80.
يمكننا بعد ذلك فعل الشيء نفسه في المقام، حيث لدينا 10 أس سالب 31 في تربيع 10 أس سالب 19. بإمكاننا كتابة هذا على صورة حاصل ضرب ثلاث من قوى العدد 10، ثم استخدام هذه المتطابقة لإعادة كتابته على صورة 10 أس سالب 31 ناقص 19 ناقص 19، وهو ما يساوي 10 أس سالب 69. إذن، لدينا الآن 10 أس سالب 80 على 10 أس سالب 69.
بالمقارنة بالمتطابقة الثانية، نلاحظ أنه يمكننا إعادة كتابة الكسر على صورة 10 أس سالب 80 ناقص سالب 69. تلغى هاتان الإشارتان السالبتان معًا في نهاية الأمر. وبذلك، يصبح لدينا 10 أس سالب 80 زائد 69، وهو ما يساوي 10 أس سالب 11.
لننتقل الآن إلى الحد الأول في المقدار. في البسط، لدينا أربعة 𝜋 في 8.85 في 1.05 تربيع في أربعة تربيع. يمكننا كتابة ذلك على الآلة الحاسبة لنحصل على الناتج 1961.7864، وهكذا مع توالي الأرقام العشرية. في الوقت نفسه، لدينا في المقام 9.11 في تربيع 1.60. ويساوي هذا بالضبط 23.3216. بقسمة البسط على المقام، نحصل على القيمة 84.1189، مع توالي الأرقام العشرية.
إذن، أصبح لدينا الآن مقدار يعبر عن نصف قطر المدار 𝑟 أربعة بوحدة المتر. لكن بدلًا من التعبير بوحدة المتر، نظرًا لأن أنصاف أقطار المدارات صغيرة جدًّا، فمن الشائع أن نعبر عنها بوحدة النانومتر. يمكننا تذكر أن النانومتر الواحد يساوي 10 أس سالب تسعة متر. إذا ضربنا كلا الطرفين في 10 أس تسعة، فسيصبح لدينا على اليمين 10 أس سالب تسعة في 10 أس تسعة، وهو ما يساوي ببساطة واحدًا. وعليه، نجد أن المتر الواحد يساوي 10 أس تسعة نانومتر.
في المقدار الذي يعبر عن 𝑟 أربعة، دعونا نعوض عن وحدة المتر هذه بـ 10 أس تسعة نانومتر. إذا نقلنا العدد 10 أس تسعة داخل هذا القوس، فإننا نحصل على 10 أس سالب 11 في 10 أس تسعة، وهو ما يمكننا كتابته على صورة 10 أس سالب 11 زائد تسعة. ويكون حاصل هذا 10 أس سالب اثنين. إذن لدينا الآن قيمة 𝑟 أربعة بوحدة النانومتر.
يمكننا تبسيط هذا المقدار أكثر من ذلك بملاحظة أن الضرب في 10 أس سالب اثنين يكافئ تحريك العلامة العشرية خانتين إلى اليسار. ويعطينا هذا 𝑟 أربعة يساوي 0.841189، وهكذا مع توالي الأعداد، نانومتر. ويمكننا أن نتذكر أن السؤال يطلب منا تقريب إجابتنا لأقرب منزلتين عشريتين. إذن بتقريب الناتج نحصل على الإجابة، وهي أن نصف قطر مدار الإلكترون في مستوى الطاقة 𝑛 يساوي أربعة في ذرة الهيدروجين يساوي 0.84 نانومتر.
