نسخة الفيديو النصية
إذا كان ﺹ يساوي قتا ﺱ زائد ظتا ثمانية ﺱ مضروبًا في قتا ﺱ ناقص ظتا ثمانية ﺱ، فأوجد ﺹ شرطة.
لدينا ﺹ، وهو دالة في ﺱ. وعلينا إيجاد مقدار يعبر عن ﺹ شرطة. وهو مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. وهناك عدة طرق مختلفة يمكننا استخدامها. على سبيل المثال، نلاحظ أن ﺹ مكتوب على صورة حاصل ضرب دالتين. ونحن نعرف كيف نشتق كل دالة منهما على حدة، ومن ثم، يمكننا اشتقاق ﺹ باستخدام قاعدة الضرب. وسيكون ذلك مناسبًا، وسيعطينا الإجابة الصحيحة. لكن يمكننا أيضًا التوزيع على الأقواس أو استخدام الفرق بين المربعين لتبسيط هذه المعادلة.
نحن نعلم أن ﺃ زائد ﺏ مضروبًا في ﺃ ناقص ﺏ يساوي ﺃ تربيع ناقص ﺏ تربيع، ومن ثم يمكننا استخدام ذلك لتبسيط المقدار الذي يعبر عن ﺹ. وبذلك، نجد أن ﺹ يساوي قتا تربيع ﺱ ناقص ظتا تربيع ثمانية ﺱ. وأصبح أمامنا الآن خياران لكيفية اشتقاق كل من هذين المقدارين. على سبيل المثال، يمكننا استخدام قاعدة الضرب لإيجاد كل من هاتين المشتقتين. لكن بما أن كلًّا منهما مرفوع للقوة اثنين، فسنفعل ذلك باستخدام قاعدة القوة العامة.
دعونا نبدأ بتذكر قاعدة القوة العامة. تنص قاعدة القوة العامة على أنه بالنسبة لأي دالة ﺭﺱ قابلة للاشتقاق والثابت الحقيقي ﻥ، نجد أن مشتقة ﺭﺱ، الكل أس ﻥ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ﻥ في ﺭ شرطة ﺱ مضروبًا في ﺭﺱ، الكل أس ﻥ ناقص واحد. نحن الآن جاهزون لبدء إيجاد مقدار يعبر عن ﺹ شرطة. وهو مشتقة قتا تربيع ﺱ ناقص ظتا تربيع ثمانية ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. وسنحسب ذلك حدًّا حدًّا. علينا إيجاد مشتقة قتا تربيع ﺱ بالنسبة إلى ﺱ ناقص مشتقة ظتا تربيع ثمانية ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. وسنحسب كلًّا من هاتين المشتقتين باستخدام قاعدة القوة العامة.
دعونا نبدأ بالمشتقة الأولى. سنفترض أن ﺭﺱ يساوي قتا ﺱ، وأن الأس ﻥ يساوي اثنين. ولاستخدام قاعدة القوة العامة الآن مع ﺭﺱ يساوي قتا ﺱ وﻥ يساوي اثنين، علينا إيجاد مقدار يعبر عن ﺭ شرطة ﺱ. وهو مشتقة قتا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. وهذه هي إحدى نتائج المشتقات المثلثية القياسية التي يجب علينا تذكرها جيدًا. مشتقة قتا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي سالب قتا ﺱ في ظتا ﺱ. بذلك، نكون قد أوضحنا أن ﺭ شرطة ﺱ يساوي سالب قتا ﺱ في ظتا ﺱ.
نحن الآن جاهزون لاستخدام قاعدة القوة العامة لمساعدتنا في إيجاد مقدار يعبر عن مشتقة قتا تربيع ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. وهذا يساوي اثنين في سالب قتا ﺱ في ظتا ﺱ مضروبًا في قتا ﺱ أس اثنين ناقص واحد. يمكننا الآن البدء في التبسيط. أولًا، في الأس الذي لدينا، اثنان ناقص واحد يساوي واحدًا، ورفع الدالة للقوة واحد لا يغير قيمتها. بعد ذلك، يمكننا تبسيط قتا ﺱ مضروبًا في قتا ﺱ لنحصل على: قتا تربيع ﺱ. ومن ثم، فإننا نحصل على سالب اثنين قتا تربيع ﺱ مضروبًا في ظتا ﺱ. ويمكننا التعويض بهذا مباشرة في المقدار الذي يعبر عن ﺹ شرطة.
علينا الآن حساب مشتقة ظتا تربيع ثمانية ﺱ بالنسبة إلى ﺱ باستخدام قاعدة القوة العامة. لذا، دعونا نفرغ بعض المساحة حتى نتمكن من إيجاد هذه المشتقة باستخدام قاعدة القوة العامة. أولًا، سنفترض أن ﺭﺱ يساوي ظتا ثمانية ﺱ، وأن الأس ﻥ يساوي اثنين. بعد ذلك، لاستخدام قاعدة القوة العامة، علينا إيجاد مقدار يعبر عن ﺭ شرطة ﺱ. وهو مشتقة ظتا ثمانية ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. مرة أخرى، هذه هي إحدى نتائج المشتقات المثلثية القياسية التي علينا تذكرها جيدًا. لأي ثابت حقيقي ﺃ، نجد أن مشتقة ظتا ﺃﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي سالب ﺃ في قتا تربيع لـ ﺃﺱ.
في هذه المسألة، قيمة ﺃ تساوي ثمانية. ومن ثم، نجد أن ﺭ شرطة ﺱ يساوي سالب ثمانية في قتا تربيع ثمانية ﺱ. نحن الآن جاهزون لإيجاد مقدار يعبر عن مشتقة ظتا تربيع ثمانية ﺱ بالنسبة إلى ﺱ باستخدام قاعدة القوة العامة. قيمة ﻥ هي اثنان، وﺭﺱ يساوي ظتا ثمانية ﺱ، وقد أوضحنا أن ﺭ شرطة ﺱ يساوي سالب ثمانية في قتا تربيع ثمانية ﺱ. إذن، بالتعويض بهذه القيم في الصيغة التي لدينا، فإننا نحصل على: اثنان في سالب ثمانية قتا تربيع ثمانية ﺱ مضروبًا في ظتا ثمانية ﺱ، الكل أس اثنين ناقص واحد.
مرة أخرى، في الأس الذي لدينا، نرفع الدالة إلى القوة اثنين ناقص واحد، وهذا لا يغير قيمة الدالة. ويمكننا أيضًا تبسيط المعامل. اثنان في سالب ثمانية يساوي سالب ١٦. وهذا يعطينا سالب ١٦ قتا تربيع ثمانية ﺱ مضروبًا في ظتا ثمانية ﺱ. وكما فعلنا من قبل، سنعوض بذلك في المقدار الذي يعبر عن ﺹ شرطة. إذن نجد أن ﺹ شرطة يساوي سالب اثنين في قتا تربيع ﺱ مضروبًا في ظتا ﺱ ناقص سالب ١٦ قتا تربيع ثمانية ﺱ مضروبًا في ظتا ثمانية ﺱ.
يمكننا تبسيط ذلك. لدينا سالب واحد مضروبًا في سالب ١٦، ونحن نعلم أن هذا يساوي موجب ١٦. يمكننا أن نترك إجابتنا هكذا. لكننا سنجري عملية تبسيط أخرى. أولًا، علينا تذكر المتطابقة المثلثية: ظتا 𝜃 يساوي جتا 𝜃 مقسومًا على جا 𝜃. بعد ذلك، علينا تذكر أن القسمة على جا 𝜃 هي نفسها الضرب في قتا 𝜃.
دعونا نفرغ الآن بعض المساحة ونستخدم هذه المتطابقة لتبسيط الإجابة. سنستخدم هذه المتطابقة لتحويل ظتا ﺱ إلى جتا ﺱ مضروبًا في قتا ﺱ، وظتا ثمانية ﺱ إلى جتا ثمانية ﺱ مضروبًا في قتا ثمانية ﺱ. باستخدام هذه المتطابقة، قد أعدنا كتابة ﺹ شرطة على صورة: سالب اثنين في قتا تربيع ﺱ مضروبًا في جتا ﺱ في قتا ﺱ زائد ١٦ في قتا تربيع ثمانية ﺱ مضروبًا في جتا ثمانية ﺱ في قتا ثمانية ﺱ.
علينا الآن تبسيط هذا المقدار. في الحد الأول، لدينا قتا تربيع ﺱ مضروبًا في قتا ﺱ. يمكننا تبسيط ذلك لنحصل على: قتا تكعيب ﺱ. ويمكننا فعل الأمر نفسه في الحد الثاني. لدينا قتا تربيع لثمانية ﺱ مضروبًا في قتا ثمانية ﺱ. وهذا يساوي قتا تكعيب ثمانية ﺱ. وهذا يعطينا الإجابة النهائية.
بذلك، نكون قد استطعنا توضيح أنه إذا كان ﺹ يساوي قتا ﺱ زائد ظتا ثمانية ﺱ مضروبًا في قتا ﺱ ناقص ظتا ثمانية ﺱ، يمكننا تبسيط هذا المقدار باستخدام الفرق بين المربعين. بعد ذلك، يمكننا إيجاد مشتقة هذا المقدار بالنسبة إلى ﺱ باستخدام قاعدة القوة العامة. وبذلك، فقد حصلنا على: ﺹ شرطة يساوي سالب اثنين جتا ﺱ مضروبًا في قتا تكعيب ﺱ زائد ١٦ في جتا ثمانية ﺱ مضروبًا في قتا تكعيب ثمانية ﺱ.
