نسخة الفيديو النصية
مستطيل تقع رءوسه عند النقاط 𝐴 و𝐵 و𝐶
و𝐷 التي إحداثياتها واحد، واحد؛ وأربعة، اثنان؛ وستة، سالب أربعة؛
وثلاثة، سالب خمسة، على الترتيب. أولًا، احسب محيط المستطيل 𝐴𝐵𝐶𝐷. قرب الحل لأقرب منزلتين عشريتين. ثانيًا، احسب مساحة المستطيل 𝐴𝐵𝐶𝐷.
لدينا إذن إحداثيات رءوس المستطيل الأربعة. ويطلب منا السؤال أن نحسب كلًا من محيط المستطيل ومساحته. لنبدأ بالمحيط.
يمكننا حساب محيط المستطيل عن طريق جمع أطوال أضلاعه الأربعة. إذا جعلنا 𝐿 يمثل طول المستطيل و𝑊 يمثل عرضه، إذن سنحسب المحيط
عن طريق ضرب الطول في اثنين والعرض في اثنين ثم جمع الحاصلين معًا.
إذن لسنا بحاجة لحساب أطوال أضلاع المستطيل كلها كلًا على حدة، إذ إن الأضلاع المتقابلة
لها الطول نفسه بلا شك. لذا لسنا بحاجة إلا لحساب ضلعين متجاورين. وهو ما سنفعله باستخدام صيغة المسافة.
تخبرنا صيغة المسافة كيفية حساب المسافة بين نقطتين في شبكة إحداثيات، تكون فيها
الإحداثيات 𝑥 واحد، 𝑦 واحد و𝑥 اثنين،
𝑦 اثنين. المسافة بين هاتين النقطتين تساوي الجذر التربيعي لـ 𝑥 اثنين ناقص
𝑥 واحد الكل تربيع زائد 𝑦 اثنين ناقص 𝑦 واحد
الكل تربيع، وهو ما يعتبر مجرد تطبيق لنظرية فيثاغورس.
سنبدأ بحساب طول الضلع 𝐴𝐵. بالنسبة لقيم 𝑥، سيعطينا هذا أربعة ناقص واحد الكل تربيع وبالنسبة لقيم
𝑦 فهي اثنان ناقص واحد الكل تربيع. هذا يساوي الجذر التربيعي لثلاثة تربيع زائد واحد تربيع. ثلاثة تربيع يساوي تسعة، وواحد تربيع يساوي واحدًا. إذن لدينا الجذر التربيعي لـ 10. سنترك طول 𝐴𝐵 على هيئة جذر أصم كما هو الآن.
الآن علينا حساب طول أحد الأضلاع المجاورة. سنختار الضلع 𝐶𝐵. العملية الحسابية هنا هي الجذر التربيعي لستة ناقص أربعة الكل تربيع زائد سالب أربعة
ناقص اثنين الكل تربيع. وهو ما يعطينا الجذر التربيعي لاثنين تربيع زائد سالب ستة تربيع. اثنان تربيع يساوي أربعة وسالب ستة تربيع يساوي 36. إذن لدينا الجذر التربيعي لـ 40.
يمكن تبسيط هذا الجذر الأصم لأن العدد 40 له عامل مربع. إنه يساوي أربعة في 10. إذن لدينا الجذر التربيعي لأربعة في الجذر التربيعي لـ 10. وهو ما يمكن تبسيطه ليصبح اثنين جذر 10.
نعرف الآن طول المستطيل وعرضه. وبالتالي، يمكننا حساب محيطه. تذكروا أن المحيط يساوي ضعف الطول زائد ضعف العرض. إذن فهو اثنان في جذر 10 زائد اثنين في اثنين جذر 10. وهو ما يعطينا اثنين جذر 10 زائد أربعة جذر 10، وهو ما يمكن
تبسيطه ليصبح ستة جذر 10.
لنتذكر أن السؤال قد طلب منا أن نوجد الحل ولكن ليس على صورة جذر أصم، بل لأقرب منزلتين
عشريتين. لذا نحتاج الآن لاستخدام الآلة الحاسبة لحساب ذلك. سيساوي 18.97366 في صورته العشرية. وإن قربناه لأقرب منزلتين عشريتين، فسنحصل على 18.97.
إذن فقد أوجدنا محيط المستطيل باستخدام صيغة المسافة لحساب طول ضلعين من الأضلاع
المتجاورة. والآن لنركز على حساب المساحة. تحسب مساحة المستطيل بضرب طوله في عرضه. ونحن نعلم قيمتهما بالفعل. ألا وهما جذر 10 واثنان جذر 10. إذن، حساب مساحة المستطيل هو جذر 10 في اثنين جذر 10. جذر 10 في جذر 10 يعطينا 10 فقط. إذن لدينا اثنان في 10، وهو ما يساوي 20.
وبالتالي، فإجابتنا النهائية للمسألة هي أن محيط هذا المستطيل لأقرب منزلتين عشريتين
يساوي 18.97. ومساحته — وهي قيمة دقيقة — تساوي 20.
