فيديو السؤال: بحث وجود نهاية دالة متعددة التعريف عند نقطة معينة الرياضيات

‏نسخة الفيديو النصية

ابحث وجود نهاية ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من سالب واحد إذا كانت ﺩﺱ تساوي ﺱ ناقص أربعة عند ﺱ أقل من سالب واحد، وﺩﺱ تساوي ٢٠ عند ﺱ أكبر من سالب واحد.

يطلب منا السؤال بحث وجود نهاية ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من سالب واحد. ونعلم أنه لأي دالة ﺭﺱ، تكون نهاية ﺭﺱ عندما يقترب ﺱ من ﺃ موجودة إذا كانت كل من النهايتين اليسرى واليمنى موجودتين ومتساويتين. وفي مسألتنا، نختبر الدالة ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من سالب واحد. يمكننا إذن إضافة هذه المعطيات إلى التعريف الذي لدينا هنا. وهذا يعني أنه توجد ثلاثة أجزاء للتحقق من أن النهاية المذكورة في السؤال موجودة.

أولًا، علينا التحقق من أن نهاية ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من سالب واحد من اليمين موجودة. ثانيًا، علينا التحقق من أن نهاية ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من سالب واحد من اليسار موجودة. ثالثًا، علينا التحقق من أن هاتين النهايتين، إذا كانتا موجودتين، متساويتان. لذا علينا التحقق من وجود النهاية اليسرى والنهاية اليمنى. وسنبدأ بالنهاية عندما يقترب ﺱ من سالب واحد من اليمين.

بما أن لدينا ﺱ يقترب من سالب واحد من اليمين، فلا بد أن يكون ﺱ أكبر من سالب واحد. ونعرف أيضًا أنه إذا كانت الدالتان ﺩﺱ وﺭﺱ متساويتين عند ﺱ أكبر من ﺃ، فإن نهايتيهما اليمنيين عندما يقترب ﺱ من ﺃ يجب أن تكونا متساويتين. وفي السؤال، نجد أن الدالة ﺩﺱ تساوي ٢٠ عند ﺱ أكبر من سالب واحد. ومن ثم، بما أن ﺩﺱ يساوي ٢٠ عند ﺱ أكبر من سالب واحد، إذن يمكننا التعويض عن ﺩﺱ في النهاية اليمنى بـ ٢٠. ونعرف أيضًا أنه لأي ثابت ﻙ، فإن نهاية الثابت ﻙ عندما يقترب ﺱ من ﺃ تساوي ﻙ فقط. ومن ثم، يمكننا إيجاد قيمة النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب واحد لـ ٢٠، وهي ٢٠.

والآن يمكننا استخدام طريقة مماثلة لحساب النهاية اليسرى. سنبدأ بإعادة ذكر القاعدة. إذا اتفقت الدالتان ﺩﺱ وﺭﺱ في كل موضع، عند ﺱ أقل من ﺃ، فإن نهاية ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من ﺃ من اليسار تساوي نهاية ﺭﺱ عندما يقترب ﺱ من ﺃ من اليسار. وبما أن ﺱ يقترب من اليسار، فلا بد أن ﺱ أصغر من سالب واحد. ومن السؤال، نجد أنه عند ﺱ أقل من سالب واحد، فإن ﺩﺱ يجب أن يساوي ﺱ ناقص أربعة. وباستخدام قاعدتنا، يمكننا إعادة كتابة النهاية اليسرى على صورة نهاية ﺱ ناقص أربعة عندما يقترب ﺱ من سالب واحد من اليسار.

ونعرف أنه يمكننا إيجاد قيمة نهاية الدالة كثيرة الحدود ﺩ باستخدام التعويض المباشر. وفي مسألتنا، نريد إيجاد النهاية ﺱ ناقص أربعة، التي نعرف أنها نهاية دالة كثيرة حدود. من ثم، يمكننا استخدام التعويض المباشر لإيجاد نهاية ﺱ ناقص أربعة عندما يقترب ﺱ من سالب واحد. ولذا، نعوض بالقيمة سالب واحد في الدالة لنحصل على سالب واحد ناقص أربعة. وهو ما يمكننا من إيجاد أنه يساوي سالب خمسة. بما أن النهاية اليسرى لا بد أن تساوي النهاية، فإن النهاية ﺱ ناقص أربعة عندما يقترب ﺱ من سالب واحد يجب أن تساوي سالب خمسة. يظهر الأمر المثير للاهتمام هنا إذا رسمنا منحنى الدالة ﺩﺱ. لنفسح إذن بعض المساحة.

عند ﺱ أكبر من سالب واحد، فإن ﺩﺱ تساوي ٢٠. وهذا يعطينا الخط المستقيم ﺹ يساوي ٢٠، عند ﺱ أكبر من سالب واحد. وعند ﺱ أقل من سالب واحد، يكون لدينا ﺩﺱ تساوي ﺱ ناقص أربعة. إذن، نرسم الخط المستقيم ﺹ يساوي ﺱ ناقص أربعة. لكننا نقصر المجال على كون ﺱ أقل من سالب واحد. ومن ثم، نلاحظ أن الدالة ﺩﺱ ليس لها قيمة مخرجة عند ﺱ يساوي سالب واحد. ويمكننا أيضًا ملاحظة النهايتين اللتين حسبناهما على التمثيل البياني. يمكننا ملاحظة أنه عندما يقترب ﺱ من سالب واحد من اليسار، فإننا نقترب أكثر وأكثر من القيمة المخرجة سالب خمسة. ونلاحظ أنه عندما يقترب ﺱ من سالب واحد من اليمين، فإننا نحصل على قيمة ثابتة تساوي ٢٠.

ومن خلال العمليات الحسابية التي أجريناها، يمكننا ملاحظة أن النهاية اليسرى والنهاية اليمنى لـ ﺩﺱ، عندما يقترب ﺱ من سالب واحد، غير متساويتين. كما يمكننا أن نلاحظ بيانيًّا أن النهاية اليسرى والنهاية اليمنى لـ ﺩﺱ، عندما يقترب ﺱ من سالب واحد، غير متساويتين. ومن ثم، يمكننا استنتاج أن نهاية ﺩﺱ، عندما يقترب ﺱ من سالب واحد، غير موجودة. ذلك لأن النهاية اليسرى والنهاية اليمنى لـ ﺩﺱ، عندما يقترب ﺱ من سالب واحد، غير متساويتين.