تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

فيديو السؤال: حساب حاصل الضرب القياسي لمتجهين بمعلومية طوليهما والزاوية المحصورة بينهما الفيزياء

احسب ‪𝐣 × 𝐢‬‏.

٠٤:٣١

‏نسخة الفيديو النصية

احسب ‪𝐣‬‏ في ‪𝐢‬‏.

هذا سؤال عن حاصل الضرب الاتجاهي، ومطلوب منا حساب حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ‪𝐣‬‏ و‪𝐢‬‏. ‏‪𝐣‬‏ هو متجه الوحدة في الاتجاه ‪𝑦‬‏، و‪𝐢‬‏ هو متجه الوحدة في الاتجاه ‪𝑥‬‏. بما أن المطلوب منا هو حساب حاصل الضرب الاتجاهي، لنبدأ بتذكر التعبير العام لحاصل الضرب الاتجاهي بين متجهين. سنسمي هذين المتجهين العامين ‪𝐀‬‏ و‪𝐁‬‏ ونفترض أن كليهما يقعان في المستوى ‪𝑥𝑦‬‏. يمكننا كتابة هذين المتجهين على الصورة الإحداثية حيث ‪𝐀‬‏ يساوي ‪𝐴𝑥‬‏ في ‪𝐢‬‏ زائد ‪𝐴𝑦‬‏ في ‪𝐣‬‏، وبالمثل بالنسبة إلى ‪𝐁‬‏.

تذكر أن ‪𝐢‬‏ هو متجه الوحدة في الاتجاه ‪𝑥‬‏، إذن ‪𝐴𝑥‬‏ و‪𝐵𝑥‬‏ هما مركبتا ‪𝑥‬‏ للمتجهين. وبالمثل، فإن ‪𝐣‬‏ هو متجه الوحدة في الاتجاه ‪𝑦‬‏، إذن ‪𝐴𝑦‬‏ و‪𝐵𝑦‬‏ هما مركبتا ‪𝑦‬‏ للمتجهين. بالتالي، حاصل الضرب الاتجاهي لـ ‪𝐀‬‏ في ‪𝐁‬‏ يعرف بأنه ‪𝐴𝑥‬‏ مضروبًا في ‪𝐵𝑦‬‏ ناقص ‪𝐴𝑦‬‏ مضروبًا في ‪𝐵𝑥‬‏ الكل مضروب في متجه الوحدة ‪𝐤‬‏، الذي يشير إلى الاتجاه ‪𝑧‬‏. إذن، ينتج عن حاصل الضرب الاتجاهي لـ ‪𝐀‬‏ في ‪𝐁‬‏ متجه بهذا المقدار في اتجاه عمودي على اتجاه كل من ‪𝐴‬‏ و‪𝐵‬‏. إذن، هذه هي الحالة العامة. والآن لنطبق ذلك على المتجهين ‪𝐣‬‏ و‪𝐢‬‏.

يمكننا إعادة كتابة المتجه ‪𝐣‬‏ على صورة صفر مضروبًا في ‪𝐢‬‏ زائد واحد مضروبًا في ‪𝐣‬‏. ينص هذا على أن ‪𝐣‬‏، وهو متجه الوحدة في الاتجاه ‪𝑦‬‏، له صفر من الوحدات في الاتجاه ‪𝑥‬‏، ووحدة واحدة في الاتجاه ‪𝑦‬‏، وهذا منطقي. بالمثل، يمكننا إعادة كتابة المتجه ‪𝐢‬‏ على صورة واحد مضروبًا في ‪𝐢‬‏ زائد صفر مضروبًا في ‪𝐣‬‏. مطلوب منا في السؤال حساب حاصل الضرب الاتجاهي لـ ‪𝐣‬‏ في ‪𝐢‬‏. إذن، في هذا التعبير العام ‪𝐀‬‏ مضروب ضربًا اتجاهيًّا في ‪𝐁‬‏، نريد التعويض عن ‪𝐀‬‏ بـ ‪𝐣‬‏، وعن ‪𝐁‬‏ بـ ‪𝐢‬‏. الحد الأول في حاصل الضرب الاتجاهي هو ‪𝐴𝑥‬‏ مضروبًا في ‪𝐵𝑦‬‏. ‏‪𝐴𝑥‬‏ هو المركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه الأول في حاصل الضرب الاتجاهي، الذي سيصبح في هذه العملية الحسابية المتجه ‪𝐣‬‏. لذا نبحث عن المركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه ‪𝐣‬‏ ونجد أنها تساوي صفرًا.

في هذه الأثناء، سيصبح ‪𝐵𝑦‬‏ هو المركبة ‪𝑦‬‏ للمتجه الثاني في حاصل الضرب الاتجاهي، الذي سيصبح في هذه العملية الحسابية المتجه ‪𝐢‬‏. إذن إذا نظرنا إلى المركبة ‪𝑦‬‏ للمتجه ‪𝐢‬‏، فسنجد أنها أيضًا تساوي صفرًا. من هذا الحد الأول في معادلة الضرب الاتجاهي، سنطرح حدًّا آخر. نحصل على الحد الثاني من ‪𝐴𝑦‬‏ مضروبًا في ‪𝐵𝑥‬‏. ‏‪𝐴𝑦‬‏ هو المركبة ‪𝑦‬‏ للمتجه الأول في حاصل الضرب الاتجاهي. هذا هو المتجه ‪𝐣‬‏. بالتالي إذا نظرنا إلى المركبة ‪𝑦‬‏ للمتجه ‪𝐣‬‏، فسنجد أنها تساوي واحدًا. و‪𝐵𝑥‬‏ هي المركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه الثاني في حاصل الضرب الاتجاهي. في هذه الحالة، هذا هو المتجه ‪𝐢‬‏. إذن بالنظر إلى المركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه ‪𝐢‬‏، فسنجد أنها أيضًا تساوي واحدًا.

وأخيرًا، نضرب هذا المقدار بالكامل في ‪𝐤‬‏، وهو متجه الوحدة في الاتجاه ‪𝑧‬‏. بحساب قيمة هذا المقدار، نجد أن الحد الأول يساوي صفرًا مضروبًا في صفر، وهو ما يساوي صفرًا. ونجد أن الحد الثاني، الذي نطرحه من هذا الحد الأول، يساوي واحدًا مضروبًا في واحد، أي يساوي واحدًا. وبالطبع، هذا كله مضروب في ‪𝐤‬‏، وهو متجه الوحدة في الاتجاه ‪𝑧‬‏. وبما أن صفرًا ناقص واحد يساوي سالب واحد، فسنحصل على الإجابة النهائية وهي ‪𝐣‬‏ مضروب ضربًا اتجاهيًّا في ‪𝐢‬‏ يساوي سالب ‪𝐤‬‏، أي متجه الوحدة في الاتجاه السالب للمحور ‪𝑧‬‏.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.