نسخة الفيديو النصية
احسب 𝐣 هات في 𝐢 هات.
يمكننا ملاحظة أن هذا سؤال يتعلق بالضرب الاتجاهي. ومطلوب منا حساب حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهي الوحدة 𝐣 هات و𝐢 هات. تذكر أن 𝐣 هات هو متجه الوحدة في اتجاه المحور 𝑦، و𝐢 هات هو متجه الوحدة في اتجاه المحور 𝑥. بما أنه مطلوب منا إيجاد حاصل الضرب الاتجاهي، لنبدأ بتذكر المعادلة العامة لحاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين. سنسمي هذين المتجهين العامين 𝚨 و𝚩، ونفترض أنهما يقعان في المستوى 𝑥𝑦.
يمكننا كتابة هذين المتجهين على الصورة المركبة كالآتي: 𝚨 يساوي مركبة 𝑥، وهي 𝐴𝑥 مضروبة في 𝐢 هات؛ زائد مركبة 𝑦، وهي 𝐴𝑦 مضروبة في 𝐣 هات، وبالمثل بالنسبة إلى المتجه 𝚩. حاصل الضرب الاتجاهي لـ 𝚨 في 𝚩 يعرف بأنه المركبة 𝑥 للمتجه 𝐴 مضروبة في المركبة 𝑦 للمتجه 𝐵، ناقص المركبة 𝑦 للمتجه 𝐴 مضروبة في المركبة 𝑥 للمتجه 𝐵؛ الكل مضروب في متجه الوحدة 𝐤، الذي يشير في اتجاه المحور 𝑧. إذن، حاصل الضرب الاتجاهي لـ 𝚨 في 𝚩 ينتج متجهًا له هذا المقدار وله اتجاه عمودي على اتجاه كل من 𝚨 و𝚩.
إذن، هذه هي الحالة العامة. لنطبقها الآن على المتجهين 𝐣 هات و𝐢 هات. يمكننا كتابة متجهي الوحدة هذين على الصورة المركبة كما فعلنا مع المتجهين العامين 𝚨 و𝚩. يمكننا كتابة أن 𝐣 هات يساوي صفرًا في 𝐢 هات زائد واحد في 𝐣 هات. يخبرنا هذا أن 𝐣 هات؛ أي متجه الوحدة في الاتجاه 𝑦، له صفر وحدة في الاتجاه 𝑥 ووحدة واحدة في الاتجاه 𝑦، وهذا أمر منطقي. وبالمثل، يمكننا كتابة أن المتجه 𝐢 هات يساوي واحدًا مضروبًا في 𝐢 هات زائد صفر مضروبًا في 𝐣 هات. يطلب منا السؤال حساب حاصل الضرب الاتجاهي لـ 𝐣 هات في 𝐢 هات. إذن، في هذه المعادلة العامة لـ 𝚨 في 𝚩، نريد أن نعوض عن المتجه 𝚨 بالمتجه 𝐣 هات ونعوض عن المتجه 𝚩 بالمتجه 𝐢 هات. الحد الأول في معادلة حاصل الضرب الاتجاهي يساوي المركبة 𝑥 للمتجه 𝐴 مضروبة في المركبة 𝑦 للمتجه 𝐵.
لقد قلنا إنه لحساب حاصل الضرب الاتجاهي هنا، عندما نرى المتجه 𝚨، علينا التعويض عنه بالمتجه 𝐣 هات. إذن، بالنسبة إلى المركبة 𝑥 للمتجه 𝐴، علينا استخدام المركبة 𝑥 للمتجه 𝐣 هات، وهي صفر. وبالمثل، عندما نرى المتجه 𝚩، علينا استخدام المتجه 𝐢 هات. إذن، بالنسبة إلى المركبة 𝑦 للمتجه 𝐵، علينا استخدام المركبة 𝑦 للمتجه 𝐢 هات، والتي تساوي صفرًا أيضًا. بعد ذلك، نطرح من هذا الحد الأول في معادلة الضرب الاتجاهي حدًّا ثانيًا. هذا الحد الثاني هو المركبة 𝑦 للمتجه 𝚨 مضروبة في المركبة 𝑥 للمتجه 𝚩. وفي حالتنا هذه، نعوض عن المتجه 𝚨 بالمتجه 𝐣 هات.
إذن، بالنسبة إلى المركبة 𝑦 للمتجه 𝐴، نحتاج إلى المركبة 𝑦 لـ 𝐣 هات، وهي واحد. وبما أننا نعوض عن المتجه 𝚩 بالمتجه 𝐢 هات، فعلينا أن نعوض عن المركبة 𝑥 للمتجه 𝐵 بالمركبة 𝑥 للمتجه 𝐢 هات، والتي تساوي واحدًا أيضًا. وأخيرًا، نضرب هذا التعبير بالكامل في 𝐤 هات، وهو متجه الوحدة في اتجاه المحور 𝑧. بإيجاد قيمة هذا التعبير، نجد أن الحد الأول هو صفر مضروبًا في صفر، وهو ما يعطينا صفرًا. والحد الثاني، الذي نطرحه من الحد الأول، يساوي واحدًا مضروبًا في واحد، وهو ما يعطينا واحدًا. وبعد ذلك، الكل مضروب في 𝐤 هات، وهو متجه الوحدة في اتجاه المحور 𝑧.
بما أن صفرًا ناقص واحد يساوي سالب واحد، فهذا يعطينا سالب 𝐤 هات. وبذلك نكون قد توصلنا إلى إجابة السؤال، حاصل الضرب الاتجاهي لـ 𝐣 هات في 𝐢 هات يساوي سالب 𝐤 هات؛ أي متجه الوحدة في الاتجاه السالب للمحور 𝑧.
