فيديو السؤال: إيجاد مساحة منطقة محددة بمنحنيي دالتين تربيعيتين الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد مساحة المنطقة المحددة بمنحنى الدالة ﺩ ومنحنى الدالة ﺭ؛ حيث ﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع ناقص ١١، وﺭﺱ تساوي سالب ﺱ زائد خمسة تربيع زائد ستة.

في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد مساحة منطقة محددة بمنحنيي دالتين، وهما الدالة ﺩ والدالة ﺭ. وهاتان الدالتان معطاتان في السؤال. يمكننا ملاحظة أن الدالتين تربيعتان. ونعلم أن ﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع ناقص ١١، وﺭﺱ تساوي سالب ﺱ زائد خمسة تربيع زائد ستة. وعندما يطلب منا إيجاد مساحة منطقة محددة بمنحنيات دوال، يحبذ دائمًا أن نرسم المنطقة التي علينا إيجادها.

للقيام بذلك، علينا رسم منحنيي الدالتين ﺹ يساوي ﺩﺱ وﺹ يساوي ﺭﺱ. هيا نبدأ برسم ﺹ يساوي ﺩﺱ على المستوى الإحداثي. للقيام بذلك، يمكننا البدء بتحليل ﺱ تربيع ناقص ١١ باستخدام الفرق بين مربعين. وبناء عليه، نجد أن المنحنى ﺹ يساوي ﺩﺱ هو نفسه ﺹ يساوي ﺱ ناقص جذر ١١ مضروبًا في ﺱ زائد جذر ١١. والآن أصبح لدينا معادلة تربيعية على الصورة التحليلية؛ لذا يمكننا استخدامها لتمثيل المعادلة التربيعية.

أولًا: ننظر إلى المعامل الرئيسي للمعادلة التربيعية. نلاحظ أن المعامل الرئيسي موجب. ومن ثم، سيكون القطع المكافئ مفتوحًا لأعلى. بعد ذلك، بما أننا كتبنا المقدار التربيعي على الصورة التحليلية، يمكننا أن نرى أنه سيكون لدينا جزآن مقطوعان من المحور الإحداثي ﺱ، أحدهما عند جذر ١١ والآخر عند سالب جذر ١١. وأخيرًا، مع أن هذه الخطوة ليست ضرورية، يمكننا التعويض بـ ﺱ يساوي صفرًا في الدالة لإيجاد الجزء المقطوع من المحور ﺹ. وبذلك نجد أن الجزء المقطوع من المحور ﺹ يساوي سالب ١١. وهكذا نحصل على الشكل التالي. تجدر الإشارة أيضًا إلى أنه كان بإمكاننا رسم هذا الشكل من خلال ملاحظة أن ﺩﺱ عبارة عن انتقال للمنحنى ﺹ يساوي ﺱ تربيع بمقدار ١١ وحدة لأسفل.

علينا الآن أن نرسم ﺹ يساوي ﺭﺱ على المستوى الإحداثي نفسه. هذه المرة، يمكننا أن نلاحظ أن ﺭﺱ معادلة تربيعية معطاة بصيغة رأس المنحنى. لذا يمكننا استخدام ذلك لإيجاد إحداثيات رأس المنحنى ﺹ يساوي ﺭﺱ. نلاحظ أنه عندما يكون ﺱ يساوي سالب خمسة، فإن المقدار الموجود داخل القوسين يساوي صفرًا، وبذلك يصبح لدينا العدد ستة في المقدار. إذن، إحداثيات الرأس هي سالب خمسة، ستة. وهنا، ندرك أنه من الصعب جدًّا رسم المنحنى على المستوى الإحداثي نفسه.

إحدى طرق تحديد موضع الرأس على هذا التمثيل البياني هي التعويض بـ ﺱ يساوي سالب خمسة في الدالة ﺩﺱ. نجد أن قيمة ﺩ عند سالب خمسة تساوي سالب خمسة تربيع ناقص ١١، وهو ما يمكننا إيجاد قيمته بحساب ٢٥ ناقص ١١، وهو ما يساوي ١٤. من ثم، عندما يكون ﺱ يساوي سالب خمسة، تكون القيمة المخرجة للدالة ﺩ هي ١٤. لكن ﺭﺱ ستعطي القيمة المخرجة ستة، إذن قيمة ﺭﺱ أقل من قيمة ﺩﺱ عند هذه القيمة لـ ﺱ. يمكننا بعد ذلك إضافة إحداثيات رأس المنحنى ﺹ يساوي ﺭﺱ على التمثيل البياني؛ حيث نعلم أنه يجب أن يكون أسفل المنحنى ﺹ يساوي ﺩﺱ.

نحن الآن مستعدون تقريبًا لرسم المنحنى ﺹ يساوي ﺭﺱ. ولكن، سيساعدنا كثيرًا إيجاد الجزء المقطوع من المحور ﺹ لهذا المنحنى أولًا. نفعل ذلك بالتعويض بـ ﺱ يساوي صفرًا في الدالة ﺭﺱ. وبذلك نحصل على سالب واحد في صفر زائد خمسة تربيع زائد ستة. وهذا يعطينا سالب ٢٥ زائد ستة، وهو ما يساوي سالب ١٩. تذكر أن الجزء المقطوع من المحور ﺹ للمنحنى ﺹ يساوي ﺩﺱ كان عند سالب ١١. لذا فإن قيمة الجزء المقطوع من المحور ﺹ للمنحنى ﺹ يساوي ﺭﺱ أقل من نظيرتها بالمنحنى ﺹ يساوي ﺩﺱ. وبذلك، يمكننا رسم المنحنى ﺹ يساوي ﺭﺱ؛ حيث نلاحظ أيضًا أن المعامل الرئيسي لـ ﺭﺱ سالب. إذن فهو قطع مكافئ مفتوح لأسفل.

يمكننا أن نرى الآن أن المنحنيين يتقاطعان عند نقطتين مختلفتين؛ حيث تكون قيمتا الإحداثي ﺱ سالبتين. ويمكننا أيضًا إضافة المنطقة المظللة التي نرغب في إيجاد مساحتها إلى التمثيل البياني. في هذه المنطقة بأكملها، يمكننا أن نلاحظ أن قيم ﺭﺱ أكبر من قيم ﺩﺱ؛ لذا يمكننا استخدام إحدى قواعد التكامل لتحديد هذه المساحة.

نتذكر أنه إذا كانت لدينا دالتان ﺭﺱ وﺩﺱ؛ حيث ﺭﺱ أكبر من أو تساوي ﺩﺱ على الفترة المغلقة من ﺃ إلى ﺏ، فإن المساحة المحددة بالمنحنيين ﺹ يساوي ﺭﺱ و ﺹ يساوي ﺩﺱ والخطين الرأسيين ﺱ يساوي ﺃ وﺱ يساوي ﺏ تعطى بواسطة التكامل المحدد من ﺃ إلى ﺏ لـ ﺭﺱ ناقص ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ. وتجدر الإشارة إلى أن ذلك يكون على افتراض أن الدالتين ﺭﺱ وﺩﺱ قابلتان للتكامل على الفترة المغلقة من ﺃ إلى ﺏ. ويمكننا ملاحظة أن هذا ينطبق على مساحة المنطقة في التمثيل البياني.

أولًا: قيمتا ﺃ وﺏ سيكونان قيمتي الإحداثي ﺱ لنقطتي التقاطع بين المنحنيين؛ حيث ﺏ هي القيمة الأكبر بين هاتين القيمتين. ونلاحظ أن ﺭﺱ أكبر من أو تساوي ﺩﺱ على الفترة المغلقة من ﺃ إلى ﺏ. وبالطبع المنطقة محددة بالمنحنيين والخطين الرأسيين. وأخيرًا، كلتا الدالتين ﺭﺱ وﺩﺱ من كثيرات الحدود، ومن ثم فهما قابلتان للتكامل على مجموعة الأعداد الحقيقية كلها. ومن ثم، لتحديد هذه المساحة، علينا الآن إيجاد إحداثيات نقطتي التقاطع بين ﺹ يساوي ﺩﺱ وﺹ يساوي ﺭﺱ.

سنفعل ذلك بأن نجعل ﺩﺱ تساوي ﺭﺱ ونحل لإيجاد قيمتي ﺱ؛ حيث إننا نحتاج فقط قيمتي الإحداثي ﺱ على أي حال. لدينا ﺱ تربيع ناقص ١١ يساوي سالب واحد في ﺱ زائد خمسة تربيع زائد ستة. والآن سنبدأ بفك الأقواس بالتوزيع. في الطرف الأيسر من المعادلة، نحصل على سالب واحد في ﺱ تربيع زائد ١٠ﺱ زائد ٢٥ زائد ستة. يمكننا بعد ذلك توزيع الإشارة السالبة على ما بداخل القوسين. في الطرف الأيسر من المعادلة، يصبح لدينا سالب ﺱ تربيع ناقص ١٠ﺱ ناقص ٢٥ زائد ستة. يمكننا الآن إعادة ترتيب المعادلة بتجميع الحدود المتشابهة. وبذلك، نحصل على اثنين ﺱ تربيع زائد ١٠ﺱ زائد ثمانية يساوي صفرًا. يمكننا تبسيط هذه المعادلة بقسمة الطرفين على اثنين. من ثم نحصل على ﺱ تربيع زائد خمسة ﺱ زائد أربعة يساوي صفرًا.

والآن، يمكننا حل هذه المعادلة عن طريق التحليل. نحتاج إلى عددين حاصل ضربهما أربعة ومجموعهما خمسة. نستنج أن هذين العددين هما واحد وأربعة. إذن نحصل على ﺱ زائد واحد مضروبًا في ﺱ زائد أربعة يساوي صفرًا. وأخيرًا، لكي يساوي حاصل الضرب صفرًا، يجب أن يكون أحد العوامل يساوي صفرًا. وعليه، إما أن يكون ﺱ زائد واحد يساوي صفرًا، أو ﺱ زائد أربعة يساوي صفرًا. يمكننا حل هاتين المعادلتين لنحصل على ﺱ يساوي سالب واحد أو ﺱ يساوي سالب أربعة. وهذان هما قيمتا الإحداثي ﺱ لنقطتي التقاطع بين المنحنيين. تذكر أن العدد الأصغر هو قيمة ﺃ، والعدد الأكبر هو قيمة ﺏ. إذن قيمة ﺃ هي سالب أربعة، وقيمة ﺏ هي سالب واحد. يمكننا الآن إيجاد مساحة المنطقة التي علينا تحديدها.

بتطبيق قاعدة التكامل، تصبح مساحة المنطقة المظللة هي التكامل من سالب أربعة إلى سالب واحد لسالب واحد في ﺱ زائد خمسة تربيع زائد ستة ناقص ﺱ تربيع ناقص ١١ بالنسبة إلى ﺱ. يمكننا الآن البدء في فك الأقواس بالتوزيع، ومن ثم تبسيط الدالة التي سيجرى عليها التكامل. ولكن هذا ليس ضروريًّا. فقد أوجدنا بالفعل مقدارًا لـ ﺩﺱ ناقص ﺭﺱ أثناء الحل لإيجاد قيمتي الإحداثي ﺱ لنقطتي التقاطع. لذا، في الواقع، يمكننا ضرب هذا في سالب واحد لإيجاد مقدار ﺭﺱ ناقص ﺩﺱ. يصبح لدينا ﺭﺱ ناقص ﺩﺱ يساوي سالب اثنين ﺱ تربيع ناقص ١٠ﺱ ناقص ثمانية.

بعد ذلك، يمكننا حساب هذا التكامل باستخدام قاعدة القوة للتكامل. نضيف واحدًا إلى أس ﺱ ثم نقسم على هذا الأس الجديد في كل حد. نحصل على سالب اثنين ﺱ تكعيب على ثلاثة ناقص ١٠ﺱ تربيع على اثنين ناقص ثمانية ﺱ ونحسب ذلك عند حدي التكامل: ﺱ يساوي سالب أربعة وﺱ يساوي سالب واحد. ويمكننا تبسيط ذلك قليلًا. لدينا هنا ١٠ مقسومًا على اثنين يساوي خمسة.

الآن، كل ما علينا فعله هو حساب قيمة المشتقة العكسية عند حدي التكامل. دعونا نبدأ بالحد العلوي للتكامل، وهو ﺱ يساوي سالب واحد. نحصل على سالب اثنين في سالب واحد تكعيب على ثلاثة ناقص خمسة في سالب واحد تربيع ناقص ثمانية في سالب واحد. وإذا حسبنا قيمة هذا المقدار، فسنحصل على ١١ مقسومًا على ثلاثة. وأخيرًا، علينا طرح قيمة المشتقة العكسية عند الحد سالب أربعة. بحساب قيمة المشتقة العكسية عند الحد سالب أربعة، نحصل على سالب اثنين في سالب أربعة تكعيب على ثلاثة ناقص خمسة في سالب أربعة تربيع ناقص ثمانية في سالب أربعة. وهنا نجد أن قيمة المشتقة العكسية عند سالب أربعة يمكن تبسيطها لتصبح سالب ١٦ على ثلاثة.

وبذلك، نكون قد أوضحنا أن مساحة الجزء المظلل تساوي ١١ مقسومًا على ثلاثة ناقص سالب ١٦ على ثلاثة، وبحساب ذلك نجد أنه يساوي تسعة. وبما أن هذه القيمة تمثل مساحة، فسنستخدم الوحدات المربعة. وهكذا، نكون قد تمكنا من توضيح أن مساحة المنطقة المحددة بمنحنى الدالة ﺩ ومنحنى الدالة ﺭ تساوي تسع وحدات مربعة.