نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نبسط الدوال الكسرية ونوجد مجالاتها.
نبدأ بتذكر أن الدالة الكسرية هي خارج قسمة كثيرتي حدود. الدالة 𝑓 لـ 𝑥، التي تساوي 𝑝 لـ 𝑥 على 𝑞 لـ 𝑥، تكون دالة كسرية إذا كان كل من 𝑝 لـ 𝑥 و𝑞 لـ 𝑥 كثيرتي حدود؛ حيث 𝑞 لـ 𝑥 ليست كثيرة الحدود الصفرية. وفي حين تكون عملية تبسيط الدوال الكسرية مماثلة لتبسيط الكسور العادية، نجد أن هناك تعقيدًا إضافيًّا. ويتضمن هذا مجال الدالة، وسنتناول ذلك أولًا.
إذا كانت الدالة 𝑓 لـ 𝑥، التي تساوي 𝑝 لـ 𝑥 على 𝑞 لـ 𝑥، دالة كسرية، فإن مجال الدالة 𝑓 لـ 𝑥 يساوي جميع الأعداد الحقيقية باستثناء تلك التي تكون عندها قيمة 𝑞 لـ 𝑥 مساوية لصفر. والسبب في ذلك أنه عندما تكون قيمة مقام الدالة صفرًا، فإن الدالة تكون غير معرفة. دعونا نفترض أن الدالة 𝑓 لـ 𝑥 تساوي 𝑥 زائد أربعة على 𝑥 ناقص ستة. ستكون هذه الدالة غير معرفة عندما تكون قيمة المقام مساوية لصفر. لذا، نساوي 𝑥 ناقص ستة بالصفر ونحل هذه المعادلة لمساعدتنا في إيجاد مجال الدالة 𝑓 لـ 𝑥. بإضافة العدد ستة إلى طرفي المعادلة، يصبح لدينا 𝑥 يساوي ستة. ومن ثم، يمكننا استنتاج أن مجال الدالة 𝑓 لـ 𝑥 هو مجموعة تضم جميع القيم الحقيقية باستثناء العدد ستة. وهذا لأن الدالة معرفة لجميع قيم 𝑥 باستثناء القيمة ستة.
قبل أن نتناول بعض الأمثلة، سنستعرض بإيجاز عملية من أربع خطوات يمكننا استخدامها لتبسيط الدوال الكسرية. لتبسيط الدالة الكسرية 𝑓 لـ 𝑥 تساوي 𝑝 لـ 𝑥 على 𝑞 لـ 𝑥، نتبع الخطوات التالية. أولًا: نوجد جميع قيم 𝑥 التي تكون عندها 𝑞 لـ 𝑥 مساوية لصفر؛ لأن مجال 𝑓 لـ 𝑥 هو جميع القيم الحقيقية باستثناء هذه الجذور. والخطوة الثانية هي تحليل كل من 𝑝 لـ 𝑥 و𝑞 لـ 𝑥 تحليلًا كاملًا. بعد ذلك، نحذف أي عوامل مشتركة في البسط والمقام، مع ملاحظة أنه لا يزال علينا تقييد قيم 𝑥 لتكون ضمن مجال الدالة 𝑓 لـ 𝑥. وأخيرًا، نساوي 𝑓 لـ 𝑥 بالمقدار المبسط المقيد بمجال الدالة 𝑓 لـ 𝑥. والآن، سنستعرض كيفية تطبيق هذه العملية على مثال.
بسط الدالة 𝑓 لـ 𝑥 تساوي 𝑥 تربيع زائد اثنين 𝑥 على 𝑥 تربيع ناقص أربعة، وأوجد مجالها.
نلاحظ في البداية أن الدالة 𝑓 لـ 𝑥 هي خارج قسمة كثيرتي حدود، وعليه فهي دالة كسرية. لتبسيط دالة كسرية، نوجد مجالها، ونحلل البسط والمقام، ثم نحذف العوامل المشتركة على المجال. ومن ثم، سنبدأ بإيجاد مجال الدالة. للقيام بذلك، نتذكر أن مجال الدالة الكسرية هو جميع القيم الحقيقية لـ 𝑥 باستثناء تلك التي تكون عندها قيمة المقام مساوية لصفر.
بمساواة المقام 𝑞 لـ 𝑥 بالصفر، يصبح لدينا 𝑥 تربيع ناقص أربعة يساوي صفرًا. يمكن تحليل الطرف الأيسر باستخدام الفرق بين مربعين. 𝑥 تربيع ناقص أربعة يساوي 𝑥 زائد اثنين في 𝑥 ناقص اثنين. ولكي يساوي هذا صفرًا، فإننا نعلم أن أحد العاملين لا بد أن يساوي صفرًا: إما 𝑥 زائد اثنين يساوي صفرًا أو 𝑥 ناقص اثنين يساوي صفرًا. وهذا يعطينا حلين، وهما: 𝑥 يساوي سالب اثنين و𝑥 يساوي موجب اثنين. عند هاتين القيمتين، تكون الدالة 𝑓 لـ 𝑥 غير معرفة. يمكننا إذن استنتاج أن مجال الدالة لدينا هو مجموعة جميع القيم الحقيقية ناقص المجموعة التي تحتوي على سالب اثنين واثنين.
بما أننا قد حللنا المقام بالفعل، فإن خطوتنا التالية هي تحليل البسط. 𝑥 تربيع واثنان 𝑥 لهما العامل المشترك 𝑥. إذن، يمكننا إعادة كتابة هذا على الصورة 𝑥 في 𝑥 زائد اثنين. ومن ثم، فإن الدالة 𝑓 لـ 𝑥 تساوي 𝑥 في 𝑥 زائد اثنين على 𝑥 زائد اثنين في 𝑥 ناقص اثنين. يمكننا الآن حذف العامل المشترك 𝑥 زائد اثنين من البسط والمقام. يمكننا فعل ذلك؛ لأننا أثبتنا بالفعل أن 𝑥 يساوي سالب اثنين لا يقع ضمن مجال الدالة 𝑓 لـ 𝑥. وبذلك تبسط الدالة إلى 𝑥 على 𝑥 ناقص اثنين.
لدينا الآن إجابتان لهذا السؤال. تبسط الدالة 𝑓 لـ 𝑥 إلى 𝑥 على 𝑥 ناقص اثنين، ومجالها هو مجموعة الأعداد الحقيقية ناقص المجموعة التي تحتوي على سالب اثنين واثنين. في مثالنا التالي، سنستخدم تبسيطًا لدالة كسرية من أجل تحديد قيمة مجهول في الدالة.
إذا كانت 𝑛 لـ 𝑥 تساوي 𝑥 تربيع زائد 12𝑥 زائد 36 على 𝑥 تربيع ناقص 𝑎 تبسط إلى 𝑛 لـ 𝑥 تساوي 𝑥 زائد ستة على 𝑥 ناقص ستة، فما قيمة 𝑎؟
نبدأ بتذكر أنه لتبسيط دالة كسرية، نوجد مجالها، ونحلل البسط والمقام، ثم نحذف العوامل المشتركة على المجال. في هذا السؤال، نجد أنه للدالة المبسطة مقام عبارة عن مقدار خطي، في حين أن مقام الدالة الأصلية عبارة عن مقدار تربيعي. ومن ثم، يجب أن نكون قادرين على تحليل 𝑥 تربيع ناقص 𝑎 إلى عاملين خطيين، يكون أحدهما 𝑥 ناقص ستة. نلاحظ أن المقدار الأصلي يبدو على الصورة 𝑥 تربيع ناقص 𝑦 تربيع. ويمكن تحليل ذلك باستخدام الفرق بين مربعين إلى العاملين الخطيين: 𝑥 ناقص 𝑦، 𝑥 زائد 𝑦. وبما أن 𝑦 يساوي ستة، يصبح لدينا 𝑥 تربيع ناقص 𝑎 يساوي 𝑥 ناقص ستة في 𝑥 زائد ستة. وبفك الأقواس باستخدام التوزيع أو ملاحظة أن 𝑎 يساوي 𝑦 تربيع، فإن قيمة 𝑎 تساوي 36.
يمكننا التحقق من ذلك بالنظر في المقدار الأول لـ 𝑛 لـ 𝑥. إذا كان 𝑎 يساوي 36، فإن 𝑛 لـ 𝑥 تساوي 𝑥 تربيع زائد 12𝑥 زائد 36 على 𝑥 تربيع ناقص 36. يمكن تحليل البسط إلى مجموعتين من الأقواس؛ حيث يكون الحد الأول فيهما هو 𝑥. ولا بد أن يكون حاصل ضرب الحد الثاني في كل مجموعة من مجموعتي الأقواس هاتين هو 36 ومجموعهما يساوي 12. 𝑥 تربيع زائد 12𝑥 زائد 36 يساوي 𝑥 زائد ستة في 𝑥 زائد ستة أو 𝑥 زائد ستة الكل تربيع. بما أننا قد حللنا المقام بالفعل، فإن 𝑛 لـ 𝑥 تساوي 𝑥 زائد ستة في 𝑥 زائد ستة على 𝑥 ناقص ستة في 𝑥 زائد ستة. يكون للمقام أصفار عند 𝑥 يساوي موجب وسالب ستة. ومن ثم، فإن الدالة غير معرفة عند هاتين القيمتين. وهذا يعني أن مجال 𝑛 لـ 𝑥 هو مجموعة جميع القيم الحقيقية ناقص المجموعة التي تحتوي على سالب ستة وستة. وبما أن سالب ستة ليس ضمن المجال، يمكننا حذف العامل 𝑥 زائد ستة. وتبسط الدالة 𝑛 لـ 𝑥 إلى 𝑥 زائد ستة على 𝑥 ناقص ستة كما هو مطلوب. وهذا يؤكد أن قيمة 𝑎 تساوي 36.
لقد اقتصر تعاملنا في هذا الفيديو حتى الآن على كثيرات حدود تربيعية، لكننا سنتناول الآن مثالًا يتضمن كثيرة حدود تكعيبية.
بسط الدالة 𝑓 لـ 𝑥 تساوي 𝑥 تربيع ناقص 81 على 𝑥 تكعيب زائد 729 وأوجد مجالها.
في هذا السؤال، سنبدأ بإيجاد مجال الدالة ثم نبسطها عن طريق تحليل البسط والمقام وحذف أي عوامل مشتركة. نتذكر أن مجال الدالة الكسرية هو جميع القيم الحقيقية لـ 𝑥 باستثناء تلك التي عندها قيمة المقام مساوية للصفر. ومن ثم، علينا أن نساوي كثيرة الحدود التكعيبية 𝑥 تكعيب زائد 729 بالصفر. لحل هذه المعادلة، سنبدأ بتحليل الطرف الأيسر. 729 هو رقم مكعب. إذ إنه يساوي تسعة تكعيب. هذا يعني أن الحدين 𝑥 تكعيب زائد 729 مكتوبان على صورة 𝑥 تكعيب زائد 𝑎 تكعيب. تنص صيغة مجموع مكعبين على أن هذا يساوي 𝑥 زائد 𝑎 مضروبًا في 𝑥 تربيع ناقص 𝑎𝑥 زائد 𝑎 تربيع. إذن، 𝑥 تكعيب زائد 729 يساوي 𝑥 زائد تسعة مضروبًا في 𝑥 تربيع ناقص تسعة 𝑥 زائد 81.
في هذه المرحلة، لدينا حاصل ضرب عامل خطي وعامل تربيعي يساوي صفرًا. بجعل العامل الخطي يساوي صفرًا، نحصل على 𝑥 يساوي سالب تسعة. المعادلة التربيعية 𝑥 تربيع ناقص تسعة 𝑥 زائد 81 تساوي صفرًا ليست لها حلول حقيقية. وذلك لأن قيمة المميز 𝑏 تربيع ناقص أربعة 𝑎𝑐 أقل من صفر. إذن، لدينا حل حقيقي واحد فقط للمعادلة التكعيبية، 𝑥 تكعيب زائد 729 يساوي صفرًا. وهو 𝑥 يساوي سالب تسعة. وبما أن هذه هي القيمة الوحيدة لـ 𝑥 التي تجعل الدالة غير معرفة، يمكننا أن نستنتج أن مجال الدالة 𝑓 لـ 𝑥 هو مجموعة جميع القيم الحقيقية ناقص المجموعة التي تحتوي على سالب تسعة.
دعونا ننتقل الآن إلى تبسيط الدالة. البسط مكتوب على الصورة 𝑥 تربيع ناقص 𝑎 تربيع، وعليه يمكن تحليله باستخدام الفرق بين مربعين. وهذا يساوي 𝑥 زائد 𝑎 مضروبًا في 𝑥 ناقص 𝑎. بما أن الجذر التربيعي لـ 81 هو تسعة، فإن الدالة 𝑓 لـ 𝑥 تساوي 𝑥 زائد تسعة في 𝑥 ناقص تسعة على 𝑥 زائد تسعة في 𝑥 تربيع ناقص تسعة 𝑥 زائد 81. بما أن 𝑥 لا يمكن أن يساوي سالب تسعة، يمكننا حذف العامل المشترك 𝑥 زائد تسعة من البسط والمقام. وتبسط الدالة 𝑓 لـ 𝑥 إلى 𝑥 ناقص تسعة على 𝑥 تربيع ناقص تسعة 𝑥 زائد 81. لدينا الآن إجابتان لجزأي السؤال.
قبل الانتقال إلى مثال أخير، سنتناول المقصود بأن تكون دالتان كسريتان متساويتين ومتكافئتين. إذا كانت 𝑛 واحد لـ 𝑥 و𝑛 اثنان لـ 𝑥 دالتين كسريتين، فإننا نقول إن 𝑛 واحدًا تساوي 𝑛 اثنين إذا كان لهما المجال نفسه ومتساويان على هذا المجال بأكمله. لاحظ أن يماثل تمامًا قولنا إن أصفار مقامي كلتا الدالتين متساوية و𝑛 واحد تساوي 𝑛 اثنين على هذا المجال. ويتمثل الفرق بين هذا وبين تكافؤ الدوال الكسرية فيما يلي. إذا كان 𝑛 واحد لـ 𝑥 و𝑛 اثنان لـ 𝑥 دالتين كسريتين، فإننا نقول إن 𝑛 واحدًا تكافئ 𝑛 اثنين إذا كانتا متساويتين على المجال المشترك بينهما. سنلقي نظرة الآن على مثال يتناول ذلك.
إذا كانت الدالتان 𝑛 واحد لـ 𝑥 تساوي 𝑥 على 𝑥 تربيع ناقص 10𝑥 و𝑛 اثنان لـ 𝑥 تساوي واحدًا على 𝑥 ناقص 10، فما مجموعة القيم التي تجعل 𝑛 واحدًا تساوي 𝑛 اثنين؟
في هذا السؤال، نريد تحديد مجموعة القيم التي تتساوى عندها الدالتان. نلاحظ أنه إذا كانت الدالتان متساويتين على مجالهما المشترك بأكمله، فإنهما تكونان متكافئتين. وبما أن الدالتين كسريتان، يمكننا تبسيطهما بإيجاد مجالهما وحذف العوامل المشتركة. وبما أن بسط الدالة 𝑛 اثنين لـ 𝑥 ومقامها ليس بهما عوامل مشتركة، فلا يمكن تبسيط هذه الدالة. لذلك، سنبدأ بالدالة الأولى.
نتذكر أن مجال الدالة الكسرية هو مجموعة جميع الأعداد الحقيقية باستثناء تلك التي تكون عندها قيمة المقام مساوية للصفر. بمساواة 𝑥 تربيع ناقص 10𝑥 بالصفر، يمكننا إخراج العامل المشترك 𝑥 بحيث يصبح لدينا 𝑥 في 𝑥 ناقص 10 يساوي صفرًا. وهذا يعطينا حلين هما: 𝑥 يساوي صفرًا و𝑥 يساوي 10. قيمة المقام تساوي صفرًا وتكون الدالة غير معرفة عندما يساوي 𝑥صفرًا ويساوي 𝑥10. يمكننا إذن أن نستنتج أن مجال الدالة 𝑛 واحد لـ 𝑥 هو مجموعة جميع القيم الحقيقية ناقص المجموعة التي تحتوي على صفر و 10.
بتبسيط 𝑛 واحد لـ 𝑥، يمكننا حذف العامل المشترك 𝑥. وهذا يعني أن 𝑛 واحدًا لـ 𝑥 تساوي واحدًا على 𝑥 ناقص 10 عندما يكون 𝑥 أي عدد حقيقي باستثناء صفر أو 10. هذا يماثل مقدار 𝑛 اثنين لـ 𝑥. ومن ثم، يمكننا أن نستنتج أن الدالتين متساويتان عند المجموعة التي تتضمن جميع القيم الحقيقية ناقص المجموعة التي تحتوي على صفر و 10. وتجدر الإشارة إلى أنه بما أن الدالتين متساويتان على هذه المجموعة، فهما متكافئتان.
سنلخص الآن النقاط الرئيسية في هذا الفيديو. لقد رأينا في هذا الفيديو أن مجال الدالة الكسرية هو جميع القيم الحقيقية باستثناء تلك التي تكون عندها قيمة المقام مساوية للصفر. لتبسيط الدالة الكسرية 𝑓 لـ 𝑥، التي تساوي 𝑝 لـ 𝑥 على 𝑞 لـ 𝑥، فإننا نوجد مجال الدالة 𝑓 لـ 𝑥 بإيجاد جذور 𝑞 لـ 𝑥. وبعد ذلك، نحلل كلًّا من 𝑝 لـ 𝑥 و𝑞 لـ 𝑥، ونحذف العوامل المشتركة في البسط والمقام، ونساوي 𝑓 لـ 𝑥 بالمقدار المبسط على مجال 𝑓 لـ 𝑥. لقد رأينا أيضًا أنه إذا كان لدالتين كسريتين المقدار المبسط نفسه، فإنهما تكونان متساويتين على تقاطعات مجاليهما. وأخيرًا، إذا كانت الصورتان المبسطتان لدالتين كسريتين متساويتين، فإن الدالتين تكونان متكافئتين.
