فيديو السؤال: تذكر معادلة الخطأ النسبي الفيزياء

نسخة الفيديو النصية

أي مما يأتي يمثل المعادلة الصحيحة للخطأ النسبي في القياس، ‪𝑟‬‏، إذا كانت القيمة المعيارية، ‪𝑥₀‬‏، والخطأ المطلق، ‪Δ𝑥‬‏؟ ‏‪𝑟‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ صفرًا في ‪Δ𝑥‬‏. ‏‪𝑟‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ صفرًا مقسومًا على ‪Δ𝑥‬‏. ‏‪𝑟‬‏ يساوي ‪Δ𝑥‬‏ مقسومًا على ‪𝑥‬‏ صفر. ‏‪𝑟‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ صفرًا زائد ‪Δ𝑥‬‏. ‏‪𝑟‬‏ يساوي القيمة المطلقة لـ ‪𝑥‬‏ صفر ناقص ‪Δ𝑥‬‏.

يطلب منا هذا السؤال تحديد المعادلة الصحيحة للخطأ النسبي في قياس بمعلومية القيمة المعيارية للكمية المقيسة والخطأ المطلق في القياس. وعلى الرغم من أنه يمكننا ببساطة تذكر المعادلة بعد أن حفظناها مسبقًا، فلنبدأ بتعريف الخطأ النسبي ونر أي معادلة من هذه المعادلات تناظر هذا التعريف. الخطأ النسبي طريقة تمكننا من تحديد مدى اختلاف القيمة المقيسة عن القيمة المعيارية بشكل عددي. وعلى وجه التحديد، يعبر الخطأ النسبي عن هذا الاختلاف في صورة كسر من القيمة المعيارية. إن الخطأ النسبي مفيد إلى حد كبير. وذلك لأنه يتيح لنا تقدير ضبط القياس بسرعة، وكذلك المقارنة بين القياسات المختلفة لأنواع الكميات المختلفة.

دعونا نتناول مثالًا موجزًا. سنتناول قياسين مختلفين. أحدهما كتلة فاكهة، والآخر طول كتاب. ودعونا نفترض أن الكتلة الحقيقية للفاكهة تساوي كيلوجرامًا واحدًا، وأن الكتاب ضخم جدًّا وطوله الحقيقي 100 سنتيمتر. ولكن، عندما قسنا هاتين الكميتين، لم نجد أن كتلة الفاكهة كيلوجرام واحد، بل وجدناها 1.020 كيلوجرام. وبدلًا من أن يكون طول الكتاب 100 سنتيمتر، وجدنا أنه 98 سنتيمترًا. ومن ثم، فإن هذين القياسين لا يتطابقان مع القيمة الحقيقية لكل منهما. وذلك لأن الكتلة المقيسة للفاكهة أكبر من القيمة الحقيقة بمقدار 20 جرامًا، والطول المقيس للكتاب أقل من القيمة الحقيقية بمقدار سنتيمترين.

وإذا قارنا 20 جرامًا بكيلوجرام واحد، أي ما يساوي 1000 جرام، فسنلاحظ أن 20 جرامًا تساوي اثنين بالمائة من الكيلوجرام الواحد. وعليه، فإن الفرق بين القيمة المقيسة والقيمة المعيارية لكتلة هذه الفاكهة يساوي اثنين بالمائة من القيمة المعيارية. وهذا ما نعنيه بالخطأ النسبي. من ناحية أخرى، 20 جرامًا هي الكمية الفعلية التي تختلف بها القيمة المقيسة عن القيمة المعيارية. إذن، هذا هو الخطأ المطلق. بالنظر إلى قياس الكتاب، نلاحظ أننا كتبنا الخطأ المطلق بالفعل، وهو سنتيمتران. وبمقارنة السنتيمترين بالطول الحقيقي للكتاب، وهو 100 سنتيمتر، نجد مرة أخرى أن الخطأ النسبي يساوي اثنين بالمائة من القيمة المعيارية.

يمكننا الآن ملاحظة بعض الأمور الهامة. أولًا: يظل الخطأ النسبي ثابتًا سواء كان القياس أكبر من القيمة المعيارية أو أقل منها. ثانيًا: الخطأ النسبي لا أبعاد له، الأمر الذي يتيح لنا المقارنة بين هذين القياسين مباشرة. وفي واقع الأمر، بالنسبة لهذين القياسين، الخطأ النسبي هو نفسه تمامًا. ومن ثم، يمكننا القول إن هذين القياسين لهما الضبط نفسه. لاحظ أن هذه المقارنة لن تكون مفهومة إذا حاولنا المقارنة بين الأخطاء المطلقة؛ لأن لها أبعادًا مختلفة. وذلك لأن أحدهما خطأ مطلق بأبعاد الكتلة، والآخر خطأ مطلق بأبعاد الطول، ولا توجد طريقة للمقارنة المباشرة بين الكتلة والطول.

وينطبق الأمر نفسه على المقارنة بين قياسات ذات مقاييس مختلفة. وحدة قياس الكتاب هي السنتيمتر، وهو جزء من مائة جزء من المتر. وبدلًا من ذلك، إذا قسنا جسمًا طوله 100 متر، ووجدنا أن طوله يساوي 98 مترًا، فإن الخطأ المطلق سيكون مترين، وهو أكبر بكثير من سنتيمترين. ولكن، متران من 100 متر يمثلان خطأ نسبيًّا مقداره اثنان بالمائة. وعليه، سيكون قياس الجسم الأكبر وقياس الكتاب مضبوطين بالقدر نفسه تمامًا. أصبحنا جاهزين الآن لتحديد أي من الخيارات هو الصحيح.

يمكننا على الفور تضييق نطاق الخيارات إلى الخيارين ب، ج. وذلك لأن هذين الخيارين هما الخياران الوحيدان المكتوبان على صورة كسر، والأهم من ذلك أن هذين الخيارين هما الخياران الوحيدان اللذان لا أبعاد لهما. ومثلما نرى من المثال الذي ناقشناه، القيمة المعيارية والخطأ المطلق لهما الأبعاد نفسها. بالنسبة إلى الفاكهة، كلاهما له أبعاد الكتلة، وبالنسبة إلى الكتاب، كلاهما له أبعاد الطول. لاحظ أنه بالنسبة إلى الفاكهة، لدينا وحدتان مختلفتان، وهما الكيلوجرام والجرام، ولكنهما وحدتا كتلة. ولذا فالأبعاد هي نفسها.

في الخيار أ، لدينا القيمة المعيارية مضروبة في الخطأ المطلق. ولكن، بما أن هاتين الكميتين لهما الأبعاد نفسها، فإن حاصل ضربهما سيتضمن تربيع هذه الأبعاد. وبصورة أكثر تحديدًا، حاصل ضرب القيمة المعيارية لكتلة الفاكهة والخطأ المطلق في القياس ستكون له أبعاد الكتلة مضروبة في أبعاد الكتلة، أو أبعاد الكتلة تربيع، وطول الكتاب مضروبًا في الخطأ المطلق في ذلك القياس سيكون له أبعاد الطول تربيع. ولذا فإن الخيار أ ليس بلا أبعاد ولا يمكن أن يكون الإجابة الصحيحة. وبالمثل، فإن جمع كميتين لهما الأبعاد نفسها، أو إيجاد الفرق بينهما، سينتج عنه كمية لها الأبعاد نفسها أيضًا. وعليه، فإن الخيارين د، هـ ليسا الإجابة الصحيحة؛ لأنهما ليسا بلا أبعاد أيضًا.

ولكن، عندما نقسم كمية على كمية أخرى لها الأبعاد نفسها، تكون النتيجة كمية لا بعدية، ولهذا السبب فإن الخيارين ب، ج هما الخياران الوحيدان الممكنان للإجابة. بالنسبة إلى هذين الخيارين، لدينا القيمة المعيارية مقسومة على الخطأ المطلق، الذي يمكننا القول أيضًا إنه القيمة المعيارية في صورة كسر من الخطأ المطلق. ولدينا العكس من ذلك، وهو الخطأ المطلق مقسومًا على القيمة المعيارية. ويمكننا القول إن هذا هو الخطأ المطلق في صورة كسر من القيمة المعيارية. وبالرجوع إلى تعريف الخطأ النسبي، نلاحظ أن الكمية التي نبحث عنها هي كسر من القيمة المعيارية، وليست كسرًا من الخطأ المطلق.

إذن، الإجابة الصحيحة هي الخيار ج. الخطأ النسبي، ‪𝑟‬‏، يساوي الخطأ المطلق، ‪Δ𝑥‬‏، مقسومًا على القيمة المعيارية للكمية، ‪𝑥‬‏ صفر.