فيديو الدرس: الدفع وكمية الحركة الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سنتعرف على الدفع وكمية الحركة. وهما كميتان فيزيائيتان تساعداننا على فهم كيفية تحرك الأجسام. في هذا الدرس، سنتعرف على العلاقة بين هاتين الكميتين كما سنتعلم كيف يرتبط الدفع والقوة أحدهما بالآخر.

في البداية، لنذكر أنفسنا بما يعنيه أن يكون لجسم كمية حركة. لنفترض أن لدينا جسمًا هنا. وسنفترض أن كتلة الجسم هي ﻙ وأن الجسم في البداية في حالة سكون. بتذكر أن كمية حركة الجسم ﻡ تساوي كتلة هذا الجسم مضروبة في سرعته، يمكننا القول إنه نظرًا لأن هذا الجسم لا يتحرك، فإن كمية حركته تساوي صفرًا. لتغيير ذلك، علينا التأثير عليه بقوة محصلة.

لنفترض أننا فعلنا ذلك، وأثرنا على الجسم بقوة ثابتة هي ﻕ في اتجاه اليمين. لنفترض أيضًا أن هذه هي القوة الوحيدة المؤثرة على الجسم في الاتجاه الأفقي. ستجعل هذه القوة الكتلة تبدأ بالتحرك. وبعد فترة من الزمن، تكتسب الكتلة سرعة يمكننا أن نطلق عليها ﻉ. خلال الفترة الزمنية التي تؤثر فيها هذه القوة، نقول إن الجسم يتعرض لدفع. وهذا الدفع ﺩ يساوي كتلة هذا الجسم مضروبة في التغير في سرعته. توجد طريقة أخرى للتعبير عن ذلك، وهي أن الدفع يساوي التغير في كمية حركة الجسم، بافتراض أن كتلة هذا الجسم تظل كما هي.

ومن المثير للاهتمام، أننا يمكننا أيضًا فهم الدفع من ناحية القوة المؤثرة على جسم ما. في حالة هذا الصندوق، لدينا قوة ثابتة ﻕ تؤثر عليه لفترة من الزمن. بيانيًّا، يمكن أن يبدو ذلك هكذا، حيث نمثل بيانيًّا القوة المؤثرة على الجسم في مقابل الزمن. نرى أن هذه القوة تحتفظ بقيمة ثابتة، وتستمر في التأثير على الجسم حتى زمن ما سنطلق عليه ﻥﻥ. عند هذه اللحظة بالضبط، ازدادت السرعة بمقدار ﻉ، ما يعني أن الكتلة قد تعرضت لدفع مقداره ﻙΔﻉ.

اتضح فيما بعد أن هذا الدفع يساوي أيضًا المساحة الموجودة أسفل هذا المنحنى. بعبارة أخرى، يساوي القوة المحصلة المؤثرة على جسم ما مضروبة في الفترة الزمنية التي تؤثر خلالها هذه القوة. وتتحقق هذه المعادلة في الواقع حتى وإن كانت القوة المحصلة المؤثرة على الجسم ليست ثابتة بمرور الزمن.

على سبيل المثال، لنفترض أن القوة المؤثرة على الصندوق تبدو هكذا. لا يزال بإمكاننا إيجاد الدفع الذي أثر على الصندوق عن طريق حساب المساحة أسفل هذا المنحنى. ولكن في هذه الحالة، تكون القوة دالة في الزمن. إذن، لحساب الدفع، علينا حساب التكامل.

سنتدرب قليلًا على هذه الأفكار بعد قليل. لكن في الوقت الحالي، لاحظ أنه يمكننا حساب دفع جسم بطريقتين مختلفتين. إذ يعرف بدلالة التغير في كمية حركة الجسم وكذلك القوة المؤثرة عليه خلال فترة زمنية معينة. لاحظ أيضًا أنه يمكننا تحقيق الدفع نفسه لجسم محدد من خلال التأثير عليه بقوة صغيرة خلال فترة زمنية طويلة، أو بقوة كبيرة خلال فترة زمنية قصيرة. ولأن الدفع يساوي ﻕ في Δﻥ، فإن كلتا الطريقتين يمكن أن تنتجا القيمة نفسها. بعدما تعرفنا على كل ذلك، لنلق نظرة على بعض التمارين.

تحركت كرة ملساء كتلتها ١٤١٢ جرامًا أفقيًّا في خط مستقيم بسرعة ١٣٫٥ مترًا لكل ثانية، فاصطدمت بحائط رأسي أملس وارتدت بسرعة تسعة أمتار لكل ثانية. أوجد مقدار الدفع المبذول على الكرة.

لنفترض أن هذا هو الحائط الرأسي. ونعلم أن الكرة تتحرك في البداية باتجاه الحائط بسرعة ١٣٫٥ مترًا لكل ثانية. ثم اصطدمت بالحائط وارتدت، وتحركت في الاتجاه المعاكس بسرعة تسعة أمتار لكل ثانية. بمعلومية ذلك كله وبمعلومية أن كتلة الكرة تساوي ١٤١٢ جرامًا، علينا إيجاد مقدار الدفع المبذول على الكرة.

لكي نبدأ بإيجاد ذلك، يمكننا أن نتذكر أن الدفع المؤثر على جسم ما يساوي كتلة هذا الجسم مضروبة في التغير في سرعته. ومن المهم أن نحدد السرعة المتجهة وليس السرعة؛ لأن السرعة المتجهة، كما نتذكر، هي كمية متجهة، بينما السرعة هي كمية قياسية. يمكننا حساب التغير في السرعة المتجهة للكرة بطرح سرعتها المتجهة الابتدائية من سرعتها المتجهة النهائية.

لكننا نلاحظ أن هاتين السرعتين المتجهتين تؤثران في اتجاهين متعاكسين. يعني هذا أن إحداهما ستكون موجبة والأخرى سالبة. إذا قررنا أن الحركة نحو اليسار هي الحركة في الاتجاه الموجب، فعندئذ يمكننا القول إن السرعة الابتدائية للكرة تساوي سالب ١٣٫٥ مترًا لكل ثانية، وسرعتها النهائية تساوي موجب تسعة أمتار لكل ثانية. عندما نعوض بقيمتي هاتين السرعتين المتجهتين، أي ﻉﻕ وﻉﺃ، نجد أن Δﻉ يساوي تسعة أمتار لكل ثانية ناقص سالب ١٣٫٥ مترًا لكل ثانية. وهذا يساوي ٢٢٫٥ مترًا لكل ثانية. ولاحظ أن الإجابة قد تختلف إذا كنا نتعامل مع سرعات قياسية وليس مع سرعات متجهة.

على أية حال، أصبحنا نعرف الآن قيمة Δﻉ، وكل ما نحتاج لفعله هو ضربها في كتلة الجسم لكي نحسب الدفع. قبل أن نعوض عن كتلة الكرة ﻙ بالقيمة المعطاة، لنحولها إلى الوحدة الأساسية لقياس الكتلة في النظام الدولي للوحدات. حاليًّا، الكتلة معطاة بوحدة الجرام، فلنحولها إلى وحدة الكيلوجرام. يمكننا أن نفعل ذلك من خلال تذكر أن ١٠٠٠ جرام يساوي كيلوجرامًا واحدًا، ما يعني أن ١٤١٢ جرامًا يساوي ١٫٤١٢ كيلوجرام. وهذه هي قيمة الكتلة التي سنستخدمها لحساب ﺩ. بالتعويض بقيمتي ﻙ وΔﻉ، نجد أن حاصل ضربهما يساوي بالضبط ٣١٫٧٧. هذا هو مقدار الدفع المؤثر على الكرة.

لنتناول الآن مثالًا نحسب فيه الدفع باستخدام القوة.

ثلاث قوى: ﻕ واحد يساوي سالب خمسة ﺱ ناقص اثنين ﺹ زائد اثنين ﻉ نيوتن، وﻕ اثنان يساوي ﺹ ناقص ثلاثة ﻉ نيوتن، وﻕ ثلاثة يساوي سالب ﺱ ناقص خمسة ﺹ ناقص اثنين ﻉ نيوتن، حيث ﺱ وﺹ وﻉ متجهات وحدة يتعامد بعضها على بعض‎، هذه القوى تؤثر على جسم لمدة ثلاث ثوان. أوجد مقدار الدفع المشترك على الجسم.

في هذا التمرين، لدينا جسم ما، ونعلم أنه يخضع لتأثير ثلاث قوى في آن واحد: ﻕ واحد، وﻕ اثنين، وﻕ ثلاثة. جميع هذه القوى ثابتة، ونعلم أن تأثيرها يمتد خلال فترة زمنية سنطلق عليها Δﻥ ومقدارها ثلاث ثوان. ونريد معرفة مقدار الدفع المؤثر على الجسم بواسطة هذه القوى الثلاث المؤثرة معًا.

يمكننا حساب الدفع الناتج عن كل من هذه القوى الثلاث على حدة، ثم نجمع قيم الدفع هذه معًا. ولكن توجد طريقة أكثر اختصارًا تتمثل في جمع القوى الثلاث معًا كمتجهات لإيجاد القوة المحصلة المؤثرة على الجسم. لذا، سنكتب ﻕ واحد، وﻕ اثنين، وﻕ ثلاثة، ونرتبها طبقًا لمركباتها ﺱ، وﺹ، وﻉ. بعد ذلك نجمع مركباتها، بداية بالمركبة ﺱ. سالب خمسة ﺱ ناقص ﺱ يساوي سالب ستة ﺱ. ثم نجمع سالب اثنين ﺹ زائد ﺹ ناقص خمسة ﺹ ما يساوي سالب ستة ﺹ. وأخيرًا، اثنان ﻉ ناقص ثلاثة ﻉ ناقص اثنين ﻉ يساوي سالب ثلاثة ﻉ. ووحدة هذه المركبات جميعها هي النيوتن. ويساوي هذا المتجه عمومًا القوة المحصلة المؤثرة على الجسم.

بمعلومية ذلك، هيا نتذكر علاقة رياضية تتعلق بالدفع المؤثر على جسم نتيجة لقوة مؤثرة عليه. الدفع ﺃ يساوي ﻕ في Δﻥ. بعبارة أخرى، الدفع المؤثر على جسم يساوي القوة المحصلة المؤثرة على ذلك الجسم مضروبة في الفترة الزمنية التي تؤثر خلالها هذه القوة. في هذه المسألة، نعرف ﻕ المحصلة ونعرف أيضًا Δﻥ. نعرف أنها تساوي ثلاث ثوان.

لكن، لنتذكر أننا نريد إيجاد مقدار الدفع. يعني هذا أن علينا حساب مقدار القوة المحصلة واستخدامه في المعادلة. بإفراغ بعض المساحة، يمكننا أن نتذكر أنه إذا كان لدينا متجه ثلاثي الأبعاد — سنطلق على هذا المتجه ﺃ على سبيل المثال — فإن مقدار ﺃ يساوي الجذر التربيعي لمربع مركبته ﺱ زائد مربع مركبته ﺹ زائد مربع مركبته ﻉ.

بتطبيق هذه العلاقة على القوة المحصلة لدينا، نجد أنها تساوي الجذر التربيعي لسالب ستة تربيع زائد سالب ستة تربيع زائد سالب ثلاثة تربيع نيوتن. وهذا يساوي الجذر التربيعي لـ ٣٦ زائد ٣٦ زائد تسعة نيوتن أو الجذر التربيعي لـ ٨١ نيوتن، وهو ما يساوي تسعة نيوتن. هذا هو مقدار القوة المحصلة المؤثرة على الجسم. ولحساب قيمة ﺩ، نعوض بقيمة مقدار ﻕ المحصلة وΔﻥ التي تساوي ثلاث ثوان. إذن، عندما نحسب ﺩ، نجد أن النتيجة تساوي ٢٧ نيوتن ثانية. هذا هو مقدار الدفع الكلي المؤثر على الجسم.

والآن، لنلق نظرة على مثال نحسب فيه الدفع بناء على تمثيل بياني.

يوضح الشكل الآتي رسمًا بيانيًّا للعلاقة بين القوة التي تؤثر في اتجاه ثابت على جسم يتحرك على طول مستوى أفقي أملس والزمن الذي تستغرقه. باستخدام المعلومات المعطاة، احسب مقدار دفع القوة.

في هذه الحالة، لدينا مستوى أفقي أملس وجسم يتحرك عليه. يبين التمثيل البياني القوة المؤثرة على هذا الجسم مقابل الزمن المستغرق. في البداية، كانت القوة تساوي صفرًا. لكن بعد ذلك، خلال الـ ٢٠ ثانية التالية، ازدادت القوة المؤثرة على الجسم بمعدل ثابت حتى وصلت إلى ٩٠ نيوتن. وظلت هذه القوة ثابتة خلال الـ ٥٠ ثانية التالية حتى علامة الـ ٧٠ ثانية. عند هذه النقطة، بدأت القوة المؤثرة في التناقص بمعدل ثابت حتى عادت إلى الصفر عند الثانية الـ ٨٠.

بوضع ذلك في الاعتبار، نريد حساب مقدار الدفع المؤثر على هذا الجسم. يمكننا إفراغ جزء من المساحة للحل، ثم نتذكر أن الدفع المؤثر على الجسم يساوي القوة المحصلة المؤثرة على الجسم مضروبة في الزمن الذي تؤثر خلاله هذه القوة. يعرض التمثيل البياني القوة المحصلة المؤثرة على الجسم بمرور الزمن. إذن، لحساب الدفع المؤثر على الجسم، سنضرب قيمة كل قوة على حدة في الفترة الزمنية المناظرة لتلك القوة. يعني هذا أن الدفع الكلي يساوي المساحة الموجودة تحت منحنى القوة مقابل الزمن.

إذا حسبنا هذه المساحة، فسنوجد قيمة ﺩ. ولتسهيل هذه العملية، يمكننا تقسيم هذه المساحة الكلية إلى أشكال معتادة. نرى أنه خلال الفترة ما بين الثانية صفر والثانية ٢٠، تكون هذه المساحة مثلثًا قائم الزاوية. ثم خلال الفترة ما بين الثانية ٢٠ والثانية ٧٠، تكون مستطيلًا، وخلال الفترة ما بين الثانية ٧٠ والثانية ٨٠ تكون مثلثًا آخر قائم الزاوية. إذا أطلقنا على هذه المساحات ﻡ واحد، وﻡ اثنين، وﻡ ثلاثة، فإن مقدار الدفع الذي نريد إيجاد قيمته يساوي مجموع هذه المساحات.

يمكننا البدء بحساب المساحة ﻡ واحد. وهي مساحة مثلث قائم الزاوية، والتي يمكننا أن نتذكر أنها تساوي نصف قاعدة المثلث في ارتفاعه. يبلغ طول قاعدة المثلث ﻡ واحد، كما نرى في التمثيل البياني، ٢٠ ثانية، ويبلغ ارتفاعه كما نرى أيضًا ٩٠ نيوتن. وهذا يساوي مساحة كلية تبلغ ٩٠٠ نيوتن ثانية، والتي سنعوض بها عن ﻡ واحد.

بعد أن عرفنا ذلك، سننتقل لحساب المساحة ﻡ اثنين. وهي مساحة المستطيل، والتي تساوي طول قاعدة هذا المستطيل مضروبة في ارتفاعه. تساوي قاعدة المستطيل ٧٠ ثانية ناقص ٢٠ ثانية، أو ما يساوي ٥٠ ثانية، ويساوي ارتفاعه ٩٠ نيوتن. يعني هذا أن المساحة ﻡ اثنين تساوي ٤٥٠٠ نيوتن ثانية، ويمكننا التعويض بها في معادلة ﺩ.

ثم، أخيرًا، سنحسب المساحة ﻡ ثلاثة. وهي مساحة مثلث قائم الزاوية يبلغ طول قاعدته ٨٠ ثانية ناقص ٧٠ ثانية، أو ما يساوي ١٠ ثوان، ويبلغ ارتفاعه ٩٠ نيوتن أيضًا. ومن ثم تساوي المساحة ﻡ ثلاثة ٤٥٠ نيوتن ثانية.

يمكننا الآن حساب ﺩ. وبالمناسبة، كان بإمكاننا التعامل مع المساحة الموجودة أسفل المنحنى بالكامل باعتبارها شبه منحرف واحدًا وإيجاد المساحة بهذه الطريقة. على أية حال، عند حساب الدفع، نجد أن الناتج يساوي ٥٨٥٠ نيوتن ثانية. هذا هو مقدار الدفع المؤثر على الجسم.

لنلق نظرة الآن على مثال أخير نحسب فيه الدفع الناتج عن قوة تتغير بمرور الزمن.

يوضح الشكل البياني المعطى تمثيلًا بيانيًّا للقوة مقابل الزمن. عند الزمن ﻥ ثانية، حيث ﻥ أكبر من أو يساوي صفرًا، تعطى القوة من خلال ﻕ يساوي ﻥ ناقص اثنين الكل تربيع نيوتن. أوجد الدفع على مدار أول أربع ثوان.

وبالنظر إلى هذا الشكل البياني، نلاحظ أنه يوضح القوة مقابل الزمن وأن هذه القوة تبدأ عند أربعة نيوتن، ثم تنخفض إلى صفر نيوتن عند ثانيتين، ثم تتزايد بمعدل متزايد حتى تصل إلى تسعة نيوتن عند الزمن خمس ثوان. بالتركيز على أول أربع ثوان، نريد حساب دفع هذه القوة.

بيانيًّا، هذا يساوي المساحة تحت المنحنى من ﻥ يساوي صفرًا إلى ﻥ يساوي أربع ثوان. لكن لاحظ أننا نعلم المعادلة الجبرية لهذه القوة بدلالة الزمن ﻥ. بمعرفة أن ﻕ في المتغير ﻥ في هذه الحالة يساوي الكمية ﻥ ناقص اثنين تربيع نيوتن، يمكننا أن نتذكر أنه عندما يكون لدينا قوة تتغير بمرور الزمن، فإن الدفع الناتج عن هذه القوة يساوي تكامل القوة على مدار الزمن. في هذا التعبير الرياضي، ﻥ واحد هو الزمن الابتدائي لدينا، وﻥ اثنان هو الزمن النهائي. يعني هذا أننا نحسب تكامل الدالة ﻕ لـ ﻥ خلال الفترة الزمنية محل الاهتمام.

بتطبيق هذه العلاقة على الحالة التي لدينا، نبدأ بإيجاد التكامل من الفترة الزمنية ﻥ يساوي صفر ثانية إلى ﻥ يساوي أربع ثوان. سنجري عملية التكامل للدالة ﻕ لـ ﻥ بالنسبة إلى الزمن. وسنبقي على وحدة القياس المستخدمة.

الخطوة الأولى هي فك قوس هذا التعبير. التعبير ﻥ ناقص اثنين تربيع يساوي ﻥ تربيع ناقص أربعة ﻥ زائد أربعة. والآن، نريد حساب تكامل كل من هذه الحدود الثلاثة على حدة بالنسبة إلى ﻥ. تكامل ﻥ تربيع بالنسبة إلى ﻥ هو ﻥ تكعيب على ثلاثة. وتكامل سالب أربعة ﻥ يساوي سالب اثنين ﻥ تربيع. وتكامل أربعة يساوي أربعة في ﻥ. وسنوجد قيمة هذا التعبير من ﻥ يساوي أربع ثوان إلى ﻥ يساوي صفر ثانية.

لاحظ أننا عندما نعوض عن ﻥ بصفر ثانية، فإن كل هذه الحدود الثلاثة ستساوي صفرًا. لذا، علينا التعويض بأربع ثوان عن الزمن ﻥ. قبل أن نبدأ بالتعويض هذه المرة، هيا نقسم التعبير الرياضي إلى القيمة العددية، وهي أربعة، ووحدة القياس، وهي الثانية. نعرف أنه في النهاية، ستكون وحدة قياس الدفع نيوتن ثانية. وهذا ما يعنيه ضرب القوة في الزمن.

وبالتالي، عندما نعوض عن الزمن بأربع ثوان، فإننا لن نعوض عن الوحدة. لكننا، بدلًا من ذلك، سنخرجها وندمجها مع الوحدة الأخرى، وهي النيوتن. والآن، لاستكمال حساب هذا التكامل، سنعوض بأربعة عن ﻥ هنا، وهنا، وهنا. وبذلك نحصل على هذا التعبير.

والآن كل ما علينا فعله هو التبسيط. أربعة تكعيب على ثلاثة يساوي ٦٤ ثلثًا. سالب اثنين في أربعة تربيع يساوي سالب ٣٢. وأربعة في أربعة يساوي ١٦. لتجميع هذه القيم، علينا أولًا إيجاد مقام مشترك للقيم الثلاث. سنختار أن يكون هذا المقام ثلاثة، بحيث يصبح سالب ٣٢ سالب ٩٦ على ثلاثة، وموجب ١٦ يصبح موجب ٤٨ على ثلاثة. وبتجميع كل هذه الكسور، نصل إلى ناتج يساوي ١٦ على ثلاثة نيوتن ثانية. هذا إذن هو الدفع الناتج عن القوة المؤثرة خلال أول أربع ثوان.

لنأخذ لحظة لنراجع بعض النقاط الأساسية في هذا الدرس. رأينا أن الدفع المؤثر على جسم يساوي التغير في كمية الحركة. عند كتابة ذلك على صورة معادلة، يمكننا القول إن ﺩ يساوي ﻙ في Δﻉ. ورأينا أن هذه العلاقة تفترض أن كتلة الجسم ثابتة بمرور الزمن.

فيما يتعلق بذلك، رأينا أن دفع الجسم يساوي القوة المحصلة المؤثرة عليه مضروبة في الزمن الذي تؤثر خلاله هذه القوة. عرفنا أن هذه المعادلة تكون صحيحة سواء كانت القوة ﻕ ثابتة أم تتغير بمرور الزمن. عندما تتغير القوة، يمكننا كتابة التعبير الدال على التكامل لإيجاد الدفع.

وأخيرًا، رأينا أنه عندما يكون أمامنا تمثيل بياني للقوة مقابل الزمن، فإن الدفع الناتج عن هذه القوة خلال فترة زمنية معينة يساوي المساحة أسفل المنحنى.