تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

فيديو السؤال: حل المعادلات التربيعية بالتحليل الرياضيات

أوجد مجموعة حل المعادلة (ﺱ + ٢)(ﺱ − ٧) = −٨ في ﺝ.

٠٥:٠٤

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد مجموعة حل المعادلة ﺱ زائد اثنين مضروبًا في ﺱ ناقص سبعة يساوي سالب ثمانية في مجموعة الأعداد الحقيقية.

مجموعة الحل تعني أن علينا إيجاد مجموعة كل قيم المتغير، وهو في هذه الحالة ﺱ، التي تحقق المعادلة المعطاة. ويخبرنا السؤال أننا نبحث عن الحلول التي تنتمي إلى مجموعة الأعداد الحقيقية فقط. للوهلة الأولى، قد تبدو هذه المعادلة التربيعية كما لو أنها على صورتها التحليلية بالفعل. لكن إذا أمعنا النظر، فسنجد أن الطرف الأيسر يساوي سالب ثمانية، وليس صفرًا. ولحل معادلة تربيعية باستخدام طريقة التحليل، يجب أن نتأكد من أن أحد طرفي المعادلة يساوي صفرًا. إذن، ما سنفعله بدلًا من ذلك هو توزيع الأقواس في الطرف الأيمن، ثم إعادة ترتيب المعادلة الناتجة بحيث يكون لدينا صفر في أحد الطرفين.

يمكننا توزيع الأقواس باستخدام الطريقة التي نريدها. وربما تكون طريقة ضرب حدي القوس الأول في حدي القوس الثاني هي الأنسب هنا. بضرب أول حدين، أي ﺱ مضروبًا في ﺱ، نحصل على ﺱ تربيع. وبضرب الحدين الخارجيين، ﺱ مضروبًا في سالب سبعة، نحصل على سالب سبعة ﺱ. وبضرب الوسطين، نحصل على موجب اثنين ﺱ. وبضرب الحدين الأخيرين، نحصل على سالب ١٤. في الطرف الأيسر، ما علينا سوى أن نكتب القيمة سالب ثمانية. بعد ذلك، يمكننا التبسيط بتجميع الحدود المتشابهة. سالب سبعة ﺱ زائد اثنين ﺱ يعطينا سالب خمسة ﺱ. وبإضافة ثمانية إلى كلا الطرفين، يصبح لدينا الحد الثابت سالب ستة في الطرف الأيمن. وهو ناتج سالب ١٤ زائد ثمانية. ولدينا صفر في الطرف الأيسر.

أصبحت المعادلة التربيعية الآن في أكثر صورة متعارف عليها. وهي الصورة ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ، حيث ﺃ وﺏ وﺟ ثوابت. والآن سنحاول حل هذه المعادلة التربيعية بالتحليل. معامل ﺱ تربيع هو واحد؛ وهو ما يعني أن الحد الأول في كل من القوسين يجب أن يكون ﺱ؛ لأن ﺱ مضروبًا في ﺱ يعطينا ﺱ تربيع. لإكمال القوسين، نبحث عن عددين مجموعهما يساوي معامل ﺱ، أي سالب خمسة، وحاصل ضربهما يساوي الحد الثابت، أي سالب ستة. يمكننا كتابة أزواج عوامل العدد ستة. وهما واحد وستة، واثنان وثلاثة.

وكي يكون حاصل الضرب يساوي سالب ستة، يجب أن يكون أحد العددين موجبًا، والآخر سالبًا. إذا أخذنا الزوج المكون من العاملين واحد وستة وجعلنا العدد ستة سالبًا، فإن حاصل الضرب سيساوي سالب ستة، والمجموع سيساوي بالفعل سالب خمسة. إذن، هذان هما العددان اللذان نبحث عنهما لإكمال القوسين. ومن ثم، يمكننا كتابتهما بين القوسين. نلاحظ أن الصورة التحليلية للمعادلة التربيعية هي ﺱ زائد واحد مضروبًا في ﺱ ناقص ستة يساوي صفرًا. يمكننا بالطبع التأكد من صحة ذلك بإعادة توزيع هذين القوسين إن أردنا.

بعد ذلك، نتذكر أن لدينا عاملين حاصل ضربهما يساوي صفرًا. والطريقة الوحيدة ليتحقق ذلك هي أن يكون أحد العاملين على الأقل يساوي صفرًا. وعليه، لإيجاد جميع القيم في مجموعة حل هذه المعادلة، نأخذ كل عامل على حدة، ونساويه بالصفر، ثم نحل المعادلة الخطية الناتجة. لدينا ﺱ زائد واحد يساوي صفرًا، أو ﺱ ناقص ستة يساوي صفرًا. بطرح واحد من كلا طرفي المعادلة الأولى، نحصل على ﺱ يساوي سالب واحد. وبإضافة ستة إلى كلا طرفي المعادلة الثانية، نحصل على ﺱ يساوي ستة. وعليه، توجد قيمتان في مجموعة حل هذه المعادلة، وهما القيمتان سالب واحد وستة.

يمكننا بالطبع التحقق من صحة كل من القيمتين بالتعويض بهما في المعادلة الأصلية. على سبيل المثال، عند ﺱ يساوي سالب واحد، فإن التعويض بهذه القيمة يعطينا سالب واحد زائد اثنين مضروبًا في سالب واحد ناقص سبعة. وهذا يعني واحد مضروبًا في سالب ثمانية، وهو ما يساوي بالفعل سالب ثمانية، وهو الطرف الأيمن من المعادلة، وبذلك نتأكد من أن ﺱ يساوي سالب واحد هو حل صحيح في مجموعة حل هذه المعادلة. وبهذا نكون قد أكملنا حل المسألة. مجموعة حل المعادلة التربيعية ﺱ زائد اثنين مضروبًا في ﺱ ناقص سبعة يساوي سالب ثمانية هي مجموعة من القيمتين سالب واحد، ستة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.