نسخة الفيديو النصية
إذا كان الحد الرابع للمتتابعة ﺃﻥ زائد ﺏ هو ٢٦، والحد الثامن هو ٤٦، فأوجد الحد التاسع لهذه المتتابعة.
لدينا صيغة يمكننا أن نعرف من خلالها الحد العام في هذه المتتابعة. وتكتب هذه الصيغة على الصورة ﺡﻥ يساوي ﺃﻥ زائد ﺏ؛ حيث ﺡﻥ يمثل الحد النوني. نريد إيجاد الحد التاسع في هذه المتتابعة، ما يعني أن علينا التعويض عن ﻥ بتسعة في هذه الصيغة العامة. لكننا لا نعلم بعد قيمتي ﺃ وﺏ. لذا علينا إيجاد هاتين القيمتين أولًا، ويمكننا فعل ذلك باستخدام المعطيات الأخرى الواردة في السؤال.
علمنا أن الحد الرابع في هذه المتتابعة هو ٢٦ وأن الحد الثامن هو ٤٦. هذا يعني أنه عند التعويض عن ﻥ بأربعة في هذه الصيغة العامة، فإننا نحصل على ٢٦، وعند التعويض عن ﻥ بثمانية، نحصل على ٤٦. من ثم يمكننا كتابة معادلتين آنيتين. إذا كان الحد الرابع هو ٢٦، فسنحصل على المعادلة أربعة ﺃ زائد ﺏ يساوي ٢٦. وإذا كان الحد الثامن هو ٤٦، فسنحصل على المعادلة ثمانية ﺃ زائد ﺏ يساوي ٤٦.
يمكننا الآن حل هذا النظام المكون من معادلتين آنيتين خطيتين لإيجاد قيمتي ﺃ وﺏ. إذا طرحنا المعادلة رقم واحد من المعادلة رقم اثنين، فإن الحدين المشتملين على المتغير ﺏ سيحذف كل منهما الآخر، ومن ثم يصبح لدينا أربعة ﺃ يساوي ٢٠. ويمكننا قسمة طرفي هذه المعادلة على أربعة، فنجد أن قيمة ﺃ هي خمسة. يمكننا بعد ذلك التعويض بقيمة ﺃ هذه في أي من المعادلتين، وقد اخترت المعادلة رقم واحد، لإيجاد قيمة ﺏ. لدينا أربعة مضروبًا في خمسة زائد ﺏ يساوي ٢٦. ويمكن تبسيط ذلك إلى ٢٠ زائد ﺏ يساوي ٢٦. وبطرح ٢٠ من كلا الطرفين، نجد أن قيمة ﺏ هي ستة.
حسنًا، بعد أن أوجدنا قيمتي ﺃ وﺏ، يمكننا الآن كتابة هذه القاعدة العامة في صيغتها الصريحة. ونعلم أن الحد النوني لهذه المتتابعة يساوي خمسة ﻥ زائد ستة. لإيجاد الحد التاسع، سنعوض عن ﻥ بتسعة، ما يعطينا خمسة مضروبًا في تسعة زائد ستة. وهذا يساوي ٤٥ زائد ستة، ما يساوي ٥١. إذن بمعلومية قيمتي ﺃ وﺏ، وجدنا أن الحد التاسع لهذه المتتابعة هو ٥١.
ثمة طريقة بديلة يمكننا اتباعها، تتمثل في ملاحظة أن حدود هذه المتتابعة تتبع في الواقع نمطًا معينًا. باستخدام قاعدة الحد النوني ﺡﻥ يساوي ﺃﻥ زائد ﺏ، نجد أن الحد الأول ﺡ واحد هو ﺃ زائد ﺏ. الحد الثاني ﺡ اثنان هو اثنان ﺃ زائد ﺏ. الحد الثالث هو ثلاثة ﺃ زائد ﺏ. الحد الرابع هو أربعة ﺃ زائد ﺏ. وبذلك نلاحظ أنه للانتقال من حد إلى الحد الذي يليه، نضيف قيمة ﺃ. وبعد أن علمنا أن قيمة ﺃ هي خمسة، يمكننا إيجاد الحد التاسع بإضافة خمسة إلى الحد الثامن. نحصل بذلك على ﺡ تسعة يساوي ﺡ ثمانية زائد خمسة، أي ٤٦ زائد خمسة، ما يساوي ٥١ أيضًا.
في الواقع يمكننا استخدام هذه العلاقة بين الحدود المتتالية لكتابة تعريف تكراري للمتتابعة. للانتقال من حد إلى الحد الذي يليه، نضيف خمسة. إذن يمكننا القول إن ﺡﻥ زائد واحد يساوي خمسة زائد ﺡﻥ. وباستخدام أي من الطريقتين، نجد أن الحد التاسع من المتتابعة التي حدها العام ﺃﻥ زائد ﺏ هو ٥١، علمًا بأن الحد الرابع هو ٢٦ والحد الثامن هو ٤٦.
