فيديو: إيجاد قيمة مشتقة الدالة عند نقطة بمعلومية معادلة مماس المنحنى عند هذه النقطة

إذا كان المستقيم ‪𝑦 = 3𝑥 + 9‬‏ يمثل مماسًا لمنحنى الدالة 𝑓 عند النقطة ‪(2, 15)‬‏، فما قيمة ‪𝑓′(2)‬‏؟

٠٣:٠١

‏نسخة الفيديو النصية

إذا كان المستقيم 𝑦 يساوي ثلاثة 𝑥 زائد تسعة يمثل مماسًا لمنحنى الدالة 𝑓 عند النقطة اثنين و15، فما قيمة الدالة 𝑓 شرطة لاثنين؟

بالنظر إلى المسألة هنا، نرى أن المعطيات تقول إن لدينا المستقيم 𝑦 يساوي ثلاثة 𝑥 زائد تسعة، وهو مماس لمنحنى. حسنًا، ما الذي يعنيه ذلك؟ رسمت هذا التمثيل البياني المصغر ليساعدنا هنا.

وهو يظهر دالة ما، ومستقيمًا يمثل مماس منحنى الدالة عند نقطة ما. ما فعلته هنا من خلال هذا الرسم — وقد اخترت دالة ومستقيمًا بنحو عشوائي — هو تمثيل علاقة لدينا تقول إنه عند هذه النقطة، التي أشرت إليها هنا، يكون ميل الدالة مساويًا لميل المستقيم.

وسيكون ذلك مهمًا جدًا، لأننا سوف نستخدمه في حل المسألة. بالتفكير في الميل، ما سنفعله أولًا هو أن ننظر إلى المستقيم، الذي هو 𝑦 يساوي ثلاثة 𝑥 زائد تسعة. وما نراه هو أن المستقيم يتخذ الصيغة 𝑦 يساوي 𝑚 في 𝑥 زائد 𝑐، حيث 𝑚 هو الميل و𝑐 هو الجزء المقطوع من المحور 𝑦.

وإذا ما نظرنا إلى معادلة المستقيم، فسنرى أن الميل أو 𝑚 يساوي ثلاثة. وذلك لأن هذا هو معامل 𝑥. حسنًا، لقد حصلنا على الميل عند هذه النقطة من المماس. وجدير بالذكر هنا أن هذا هو مماس منحنى الدالة عند النقطة اثنين و15.

لذا، نعلم أنه عند النظر إلى الدالة ذاتها، ستكون هذه هي النقطة التي سوف نستخدمها. والآن، ننتقل إلى الجزء التالي من المسألة. ما قيمة الدالة 𝑓 شرطة لاثنين؟ الدالة 𝑓 شرطة للمتغير 𝑥 هي دالة الميل. وقد تراها في صورة 𝑑𝑦 على 𝑑𝑥.

إذ إن هناك طرقًا متنوعة لتمثيلها. لكن ما نحاول قوله هنا هو: ما قيمة دالة الميل عند 𝑥 يساوي اثنين؛ أي، ما ميل الدالة عند النقطة التي يكون فيها 𝑥 يساوي اثنين؟ عند هذه النقطة، يمكننا العودة إلى العلاقة التي أشرنا إليها من قبل.

ما تخبرنا به هذه العلاقة هو أنه عند النقطة التي يمس فيها المماس منحنى الدالة، سيكون ميل منحنى الدالة وميل الخط المماسي عند هذه النقطة متساويين. لذا، إذا ما أدخلنا هذا في السياق الذي لدينا، فيمكننا القول إنه عند النقطة اثنين و15، فسيكون ميل المماس 𝑦 يساوي ثلاثة 𝑥 زائد تسعة مساويًا لميل الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥.

وهكذا، فإن الدالة 𝑓 شرطة لاثنين، أو قيمة دالة الميل عند 𝑥 يساوي اثنين، ستساوي ميل المماس 𝑦 يساوي ثلاثة 𝑥 زائد تسعة، لأن النقطة التي تكون عندها قيمة دالة الميل 𝑥 يساوي اثنين هي النقطة نفسها التي يتقابل عندها المماس والدالة، لأنها اثنان و15؛ فقيمة 𝑥 هنا هي اثنان.

لذلك، يمكننا القول إن قيمة الدالة 𝑓 شرطة لاثنين لا بد أن تساوي ثلاثة؛ لأن ثلاثة هو الميل الذي أوجدناه منذ قليل؛ إذ كان لدينا 𝑚 يساوي ثلاثة للمماس ثلاثة 𝑥 زائد تسعة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.