نسخة الفيديو النصية
قذف جسم بسرعة ١٤٫٢٨ مترًا لكل ثانية لأعلى خط أكبر ميل لمستوى يميل على الأفقي بزاوية ظلها الجذر التربيعي لاثنين على أربعة. إذا كان معامل الاحتكاك بين المستوى والجسم ثلاثة مضروبًا في الجذر التربيعي لاثنين على خمسة، فما أقصى مسافة يمكن للجسم أن يقطعها أعلى المستوى؟ عجلة الجاذبية الأرضية ﺩ تساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة.
حسنًا، دعونا نفترض أن هذا هو المستوى. وإذا افترضنا أن هذه هي زاوية ميل المستوى على الأفقي، فإننا نعلم من المعطيات أن ظلها يساوي الجذر التربيعي لاثنين على أربعة. ظل الزاوية هو نسبة الضلع المقابل لها إلى الضلع المجاور لها. إذن، طول قاعدة المستوى يساوي أربع وحدات، والارتفاع يساوي الجذر التربيعي لاثنين وحدة طول. نعلم من المعطيات أيضًا أن جسمًا قذف بسرعة ١٤٫٢٨ مترًا لكل ثانية لأعلى ميل هذا المستوى. كذلك نعلم قيمة معامل الاحتكاك بين المستوى والجسم. وعلينا أن نوجد المسافة التي يمكن أن يقطعها الجسم لأعلى المستوى المائل قبل أن يصل إلى السكون. سنسمي هذه المسافة ﻑ.
علمنا أن عجلة الجاذبية تساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة، فدعونا الآن نفرغ بعض المساحة ونبدأ الحل بملاحظة أنه كلما زادت المسافة التي يقطعها الجسم لأعلى هذا المستوى، تباطأت سرعته بفعل الجاذبية وقوة الاحتكاك. ينص قانون نيوتن الثاني للحركة على أن محصلة القوى المؤثرة على جسم تساوي كتلته في عجلته. وعند النظر إلى القوى المؤثرة على الجسم الذي لدينا، نجد معطيات مشابهة لذلك. نلاحظ أولًا أن هناك قوة جاذبية تساوي ﻙ في ﺩ تؤثر على هذا الجسم، وهناك أيضًا قوة عمودية أو قوة رد فعل تؤثر عليه في اتجاه عمودي على سطح المستوى.
وأخيرًا، عندما يتحرك الجسم لأعلى المستوى المائل، فإن قوة مقاومة الاحتكاك تدفع الجسم في الاتجاه المعاكس. وسنسمي هذه القوة ﺡﻙ. أصبح لدينا الآن القوى الثلاث التي تؤثر على هذا الجسم أثناء تحركه لأعلى المستوى المائل. وعلينا إيجاد عجلة الجسم على طول خط أكبر ميل هذا. دعونا نعرف الاتجاه الذي يشير لأسفل المستوى المائل بأنه الاتجاه الموجب للمحور ﺱ. لننظر الآن إلى جميع القوى المؤثرة في هذا البعد. محصلة هذه القوى، وفقًا لقانون نيوتن الثاني، تساوي كتلة الجسم في عجلته في الاتجاه ﺱ. وبالنظر إلى الرسم الموضح للقوى المؤثرة على الجسم لدينا، نلاحظ أن قوة الاحتكاك، ﺡﻙ، تؤثر في الاتجاه الموجب للمحور ﺱ، وكذلك تؤثر إحدى مركبتي قوة الوزن، التي نميزها هنا باللون البرتقالي، في الاتجاه نفسه.
لإيجاد هذه المركبة، علينا أن نوجد قياس هذه الزاوية هنا في المثلث القائم الزاوية. وإذا رجعنا إلى الرسم الأصلي في الجزء السفلي من الشاشة، فسنجد أن هذه الزاوية هنا تطابق الزاوية التي نشير إليها في مخطط القوى. ولتوضيح ذلك، يمكننا أن نشير إليهما بالرمز نفسه. سنشير إلى هذه الزاوية بالرمز 𝜃. وعليه، فإن مركبة قوة الوزن التي نحاول إيجادها تساوي ﻙ في ﺩ في جا 𝜃. وبما أن هذه القوة تؤثر في نفس اتجاه تأثير قوة الاحتكاك، فيمكننا أن نضيفها إلى محصلة القوى المؤثرة على الجسم في الاتجاه ﺱ.
ولكن، لعلنا نتساءل ما قيمة جا 𝜃؟ بالعودة مرة أخرى إلى الرسم الأصلي، نلاحظ أن لدينا مثلثًا قائم الزاوية حيث طولا الضلعين القصيرين هما الجذر التربيعي لاثنين وأربعة. وفقًا لنظرية فيثاغورس، فإن طول الوتر لهذا المثلث يساوي الجذر التربيعي لأربعة تربيع زائد الجذر التربيعي لاثنين تربيع. وهذا يساوي الجذر التربيعي لـ ١٦ زائد اثنين، أو الجذر التربيعي لـ ١٨. ولكن، لعلنا نتذكر أن ١٨ يساوي تسعة في اثنين. والجذر التربيعي لتسعة يساوي ثلاثة. إذن، فإن المقدار المبسط لطول الوتر هو ثلاثة مضروبًا في الجذر التربيعي لاثنين.
والآن بعد أن عرفنا الطول النسبي لوتري المثلثين، يمكننا إيجاد جا 𝜃. وهو يساوي طول الضلع المقابل لهذه الزاوية مقسومًا على طول الوتر. نلاحظ هنا أن الجذر التربيعي لاثنين يحذف من البسط والمقام، وبذلك يصبح جا 𝜃 يساوي ثلثًا. وعليه، يمكن كتابة ﻙ في ﺩ في جا 𝜃 على الصورة ﻙ في ﺩ في ثلث. بالإضافة إلى ذلك، يمكننا كتابة قوة الاحتكاك ﺡﻙ بطريقة مختلفة. وبصفة عامة، قوة الاحتكاك التي تؤثر على أي جسم متحرك تساوي معامل الاحتكاك مضروبًا في قوة رد الفعل المؤثرة على الجسم.
في هذه الحالة، مقدار قوة رد الفعل ﺭ يساوي مقدار مركبة الوزن في الاتجاه ﺹ هنا. ويمكن الحصول على هذه المركبة من خلال ضرب ﻙ في ﺩ في جتا 𝜃. وإذا كان هذا التعبير يمثل مقدار قوة رد الفعل ﺭ، فكل ما علينا فعله هو ضربه في معامل الاحتكاك ﻡﻙ للحصول على تعبير بديل لإيجاد قوة الاحتكاك ﺡﻙ. ولا يزال بإمكاننا إجراء المزيد من التبسيط على هذا التعبير؛ لأنه يمكننا إيجاد قيمة جتا 𝜃. وهي تساوي طول الضلع المجاور للزاوية 𝜃، أي أربعة، مقسومًا على طول الوتر، أي ثلاثة في الجذر التربيعي لاثنين.
إذن، هذا هو التعبير المبسط لقوة الاحتكاك ﺡﻙ التي تؤثر على الجسم. إذا أضفنا هذا التعبير إلى قوة الوزن التي تؤثر عليه في الاتجاه ﺱ، فإن المحصلة تساوي كتلة الجسم مضروبة في عجلته في هذا البعد. لاحظ أن كتلة الجسم ﻙ موجودة في جميع حدود هذا التعبير. وهذا يعني أنه إذا قسمنا طرفي المعادلة على الكتلة، فستحذف الكتلة من هذه المعادلة بالكامل. يمكننا بعد ذلك التحليل بإخراج عجلة الجاذبية من كلا الحدين في الطرف الأيمن، ثم التعويض عن ﻡﻙ بالقيمة المعطاة في المسألة حتى نتمكن من إيجاد قيمة ﺟﺱ بدلالة عجلة الجاذبية الأرضية ﺩ. إذن، ﺟﺱ يساوي ﺩ في أربعة على ثلاثة جذر اثنين في ثلاثة جذر اثنين على خمسة زائد ثلث.
نلاحظ أن ثلاثة في الجذر التربيعي لاثنين يحذف في هذا الحد من كل من البسط والمقام. وعليه، فإن أربعة مقسومًا على خمسة زائد واحد مقسومًا على ثلاثة يساوي ١٧ مقسومًا على ١٥. إذن، هذا هو معدل تباطؤ الجسم عندما يتحرك لأعلى المستوى المائل. وهذا التباطؤ الثابت مهم لمساعدتنا في إيجاد المسافة ﻑ التي يقطعها الجسم حتى يصل إلى السكون. ونظرًا لأن سرعة هذا الجسم تتغير بمعدل ثابت، يمكن وصف حركته باستخدام ما يسمى بمعادلات الحركة. ثمة أربع معادلات حركة إجمالًا، ولكننا سنستخدم هذه المعادلة الموضحة تحديدًا. تخبرنا هذه المعادلة بأن مربع السرعة المتجهة النهائية لجسم يساوي مربع سرعته المتجهة الابتدائية أو الأصلية زائد اثنين مضروبًا في عجلته مضروبة في إزاحته.
إذا أعدنا ترتيب هذه المعادلة جبريًّا لإيجاد الإزاحة ﻑ، فسنجد أنها تساوي ﻉ تربيع ناقص ﻉ صفر تربيع، الكل مقسوم على اثنين ﺟ. في هذا السؤال، نعلم أن السرعة المتجهة النهائية للجسم تساوي صفرًا؛ لأننا نوجد المسافة التي يقطعها حتى يصل إلى السكون. إذن، ﻉ تربيع تساوي صفرًا. نحن نعلم قيمة ﻉ صفر. فقد ورد في المعطيات أنها تساوي ١٤٫٢٨ مترًا لكل ثانية. ومن ثم، فإن بسط الكسر سيبدو هكذا. أصبح بإمكاننا الآن التعويض بقيمة العجلة ﺟ التي أوجدناها سابقًا. وهي تساوي ﺩ في ١٧ على ١٥. يمكننا بعد ذلك التعويض عن ﺩ، التي نعلم من المعطيات أنها تساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة.
أصبحنا الآن مستعدين لحساب قيمة ﻑ، لكن لاحظ أنه إذا فعلنا ذلك، فسنحصل على ناتج سالب. وهذا يتفق بالفعل مع نظام الإشارات الذي حددناه؛ فقد افترضنا أن اتجاه الحركة لأسفل المستوى المائل يكون موجبًا. في الواقع، إننا نحسب الإزاحة، وهي تختلف عن المسافة. ولكن، تطلب منا المسألة إيجاد المسافة لا الإزاحة. ولحساب المسافة، كل ما علينا فعله هو أن نأخذ القيمة المطلقة للإجابة. وعندما نحسب قيمة هذا الكسر، نحصل على الناتج ٩٫١٨. وهذه المسافة مقيسة بوحدة المتر. إذن، يقطع الجسم ٩٫١٨ أمتار لأعلى المستوى المائل قبل أن يتوقف.
