فيديو السؤال: حل المعادلات التربيعية باستخدام القانون العام الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

إذا كان ﺱ يساوي سالب اثنين أحد جذري المعادلة ﺱ تربيع ناقص أربعة ﻡﺱ ناقص ﻡ تربيع ناقص ستة يساوي صفرًا، فما مجموعة قيم ﻡ الممكنة؟

في هذا السؤال، لدينا المعادلة التربيعية ﺱ تربيع ناقص أربعة ﻡﺱ ناقص ﻡ تربيع ناقص ستة يساوي صفرًا، وعلمنا أن أحد جذري أو حلي هذه المعادلة هو ﺱ يساوي سالب اثنين. هذا يعني أنه عندما نعوض بـ ﺱ يساوي سالب اثنين في الطرف الأيمن، فإننا نحصل على الناتج صفر. إذن، سالب اثنين تربيع ناقص أربعة مضروبًا في ﻡ مضروبًا في سالب اثنين ناقص ﻡ تربيع ناقص ستة يساوي صفرًا.

بتربيع سالب اثنين، نحصل على أربعة. وبضرب سالب أربعة ﻡ في سالب اثنين، نحصل على ثمانية ﻡ. وعند فك القوسين بضرب سالب واحد في ﻡ تربيع ناقص ستة، نحصل على سالب ﻡ تربيع زائد ستة. أربعة زائد ثمانية ﻡ ناقص ﻡ تربيع زائد ستة يساوي صفرًا. ويمكن إعادة كتابة هذه المعادلة لتصبح سالب ﻡ تربيع زائد ثمانية ﻡ زائد ١٠ يساوي صفرًا.

أصبح لدينا الآن معادلة تربيعية على الصورة ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ يساوي صفرًا، حيث ﺃ وﺏ وﺟ ثوابت، وﺃ لا يساوي صفرًا. يمكننا حل أي معادلة من هذا النوع باستخدام القانون العام، والذي ينص على أن ﺱ يساوي سالب ﺏ زائد أو ناقص الجذر التربيعي لـ ﺏ تربيع ناقص أربعة ﺃﺟ الكل مقسوم على اثنين ﺃ. وفي هذا السؤال، يمكننا استخدام القانون العام لإيجاد مجموعة القيم الممكنة لـ ﻡ. لدينا قيم ﺃ وﺏ وﺟ تساوي سالب واحد وثمانية و١٠، على الترتيب.

بالتعويض بهذه القيم، نحصل على ﻡ يساوي سالب ثمانية زائد أو ناقص الجذر التربيعي لثمانية تربيع ناقص أربعة مضروبًا في سالب واحد مضروبًا في ١٠ الكل مقسوم على اثنين مضروبًا في سالب واحد. ثمانية تربيع يساوي ٦٤. وسالب أربعة مضروبًا في سالب واحد مضروبًا في ١٠ يساوي ٤٠. إذن، ﻡ يساوي سالب ثمانية زائد أو ناقص الجذر التربيعي لـ ١٠٤ مقسومًا على سالب اثنين. وباستخدام قوانين الجذور أو الجذور الصماء، يمكننا إعادة كتابة الجذر التربيعي لـ ١٠٤ على صورة الجذر التربيعي لأربعة مضروبًا في الجذر التربيعي لـ ٢٦. وبما أن الجذر التربيعي لأربعة يساوي اثنين، فإن هذا يساوي اثنين جذر ٢٦.

إذن، توجد قيمتان ممكنتان لـ ﻡ. فإما أن ﻡ يساوي سالب ثمانية زائد اثنين جذر ٢٦ على سالب اثنين، وإما ﻡ يساوي سالب ثمانية ناقص اثنين جذر ٢٦ على سالب اثنين. وفي الحالتين، يمكننا قسمة كل من القيمتين على سالب اثنين لنحصل على ﻡ يساوي أربعة ناقص الجذر التربيعي لـ ٢٦، وﻡ يساوي أربعة زائد الجذر التربيعي لـ ٢٦. وهاتان هما القيمتان الممكنتان لـ ﻡ، حيث ﺱ يساوي سالب اثنين هو أحد جذري المعادلة ﺱ تربيع ناقص أربعة ﻡﺱ ناقص ﻡ تربيع ناقص ستة يساوي صفرًا.