تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

فيديو السؤال: تحليل حركة جسم على مستوى مائل أملس موصل بجسم آخر معلق رأسيًّا بواسطة خيط يمر فوق بكرة الرياضيات

يستند جسم كتلته ٨٫١ كجم على مستوى أملس يميل بزاوية 𝛼 على الأفقي؛ حيث ظا 𝛼 = ٤‏/‏٣. وصل الجسم بطرف خيط يمر فوق بكرة مثبتة عند أعلى المستوى. في الطرف الآخر للخيط، جسم كتلته ٢٦٫٩ كجم كجم معلق بحرية. بدأ النظام التحرك من السكون، وبعد ثانيتين قطع الخيط. أوجد المسافة التي صعدها الجسم على المستوى بعد قطع الخيط وقبل أن يصل لحظيًا إلى السكون، علمًا بأن ﺩ = ٩٫٨ م‏/‏ث^٢.

١١:٥٧

‏نسخة الفيديو النصية

يستند جسم كتلته ٨٫١ كيلوجرامات على مستوى أملس يميل بزاوية 𝛼 على الأفقي؛ حيث ظل الزاوية 𝛼 يساوي أربعة على ثلاثة. وصل الجسم بطرف خيط يمر فوق بكرة مثبتة عند أعلى المستوى. في الطرف الآخر للخيط، جسم كتلته ٢٦٫٩ كيلوجرامًا معلق بحرية. بدأ النظام التحرك من السكون. وبعد ثانيتين، قطع الخيط. أوجد المسافة التي صعدها الجسم على المستوى بعد قطع الخيط وقبل أن يصل لحظيًّا إلى السكون. علمًا بأن ﺩ تساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة.

لنبدأ بكتابة المعطيات التي لدينا. الكتلة على المستوى المائل، والتي يمكننا أن نطلق عليها ﻙ واحد، تساوي ٨٫١ كيلوجرامات. والكتلة في الطرف الآخر للخيط، والتي يمكن أن نطلق عليها ﻙ اثنين، تساوي ٢٦٫٩ كيلوجرامًا. وتقع ﻙ واحد على مستوى مائل بزاوية 𝛼 يساوي ظل الزاوية 𝛼 أربعة على ثلاثة. نعلم كذلك أن هناك فترة زمنية قدرها ثانيتان، والتي يمكننا أن نطلق عليها ﻥ، كانت فيها الكتلتان متصلتين بخيط وتتحركان مع تحرك الكتلة الأولى أعلى المستوى. ونعلم أيضًا أن هناك عجلة بفعل الجاذبية، ﺩ، تساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة.

هذا الشكل بناء على المعطيات التي لدينا. حيث لدينا كتلتان ﻙ واحد وﻙ اثنان، متصلتان بخيط يمر فوق بكرة عديمة الاحتكاك. ونعلم أن المستوى الموجود عليه ﻙ واحد أملس، وهو ما يعني عدم وجود احتكاك بين هذا المستوى والكتلة ﻙ واحد. بناء على ذلك، إذا بدأ النظام في التحرك من السكون، فستتحرك ﻙ اثنان إلى أسفل المستوى وﻙ واحد إلى أعلى المستوى. نعلم أيضًا أن هذا يحدث خلال فترة مدتها ثانيتان، وبعدها ينقطع الخيط الذي يربط الكتلتين.

بعد حدوث ذلك، لن تتمكن ﻙ اثنان من سحب ﻙ واحد لأعلى المستوى المائل. وستتحرك ﻙ واحد بفعل قصورها الذاتي. وبعد انقطاع الخيط، وبفعل القصور الذاتي، ستستمر ﻙ واحد في التحرك لأعلى المستوى المائل لمسافة يمكننا أن نطلق عليها ﻑ. إن المسافة ﻑ هذه هي ما نريد إيجادها. بداية، دعونا نضع زوجًا من محاور الإحداثيات في الشكل، بحيث تكون الحركة ﺱ الموجبة إلى أعلى المستوى، والحركة ﺹ الموجبة عمودية عليه.

والآن، تهمنا في المقام الأول حركة ﻙ واحد. فلنبدأ بكتابة القوى التي تؤثر على ﻙ واحد. في الحالة الأولى، هناك قوة الجاذبية التي تؤثر على ﻙ واحد. وهذه القوة تساوي ﻙ واحد في ﺩ. وهناك أيضًا قوة عمودية تدفع ﻙ واحد بعيدًا عن المستوى. وأخيرًا، هناك قوة تؤثر على ﻙ واحد ناتجة عن شد الخيط. يمكننا أن نطلق على هذه القوة ﺵ. وبتذكر قانون نيوتن الثاني، القائل بأن محصلة القوى المؤثرة على جسم ما تساوي كتلته في عجلته، يمكننا تطبيق هذا القانون على القوى التي تؤثر على ﻙ واحد في الاتجاه ﺱ.

القوتان اللتان تؤثران على ﻙ واحد بالمركبات في ذلك الاتجاه هما قوة الشد ﺵ وقوة الوزن ﻙ واحد في ﺩ. بالنسبة إلى قوة الوزن، فيمكننا تقسيمها إلى المركبة ﺹ والمركبة ﺱ، وهو ما يشكل مثلثًا قائم الزاوية حيث الزاوية في الجانب العلوي تساوي 𝛼. إذن، المركبة ﺱ لقوة الجاذبية تساوي ﻙ واحد في ﺩ في جيب الزاوية 𝛼. ووفقًا لقانون نيوتن الثاني، يمكننا كتابة أن قوة الشد ﺵ ناقص ﻙ واحد في ﺩ‏ في جيب الزاوية 𝛼 يساوي كتلة النظام في عجلته ﺟ. ولكن ما مقدار قوة الشد؟ وما كتلة النظام؟

ربما تكون ﻙ واحد. وربما تكون ﻙ اثنين. بالرجوع إلى الشكل، نلاحظ أن النظام يشمل الكتلة الثانية ﻙ اثنين. وهذه الكتلة هي ما يولد شدًّا على الخيط، ومن ثم تنشأ قوة الشد التي نطلق عليها ﺵ. وعلى وجه الخصوص، فإن قوة وزن الكتلة الثانية هي التي تؤدي إلى هذا الشد. إذن، يمكننا استبدال ﻙ اثنين في ﺩ بـ ﺵ في المعادلة. وبما أن الكتلتين ﻙ اثنين وﻙ واحد تتحركان معًا ما دام أن الخيط سليم، فإن كتلة النظام تساوي مجموع ﻙ واحد وﻙ اثنين.

وإذا أعدنا ترتيب هذا المقدار بأكمله جبريًّا لإيجاد العجلة ﺟ، فسنجد أنها تساوي ﺩ في الكمية ﻙ اثنين ناقص ‏ﻙ واحد في جيب الزاوية 𝛼 على مجموع الكتلتين. هذه العجلة ﺟ هي عجلة ﻙ واحد أثناء حركتها أعلى المستوى بفعل شد الخيط. ولكننا نعلم أن شد الخيط لن يستمر إلى الأبد. فبعد ثانيتين، يختفي هذا الشد مع انقطاع الخيط.

إذن ما نود أن نتمكن من إيجاده هو سرعة ﻙ واحد، التي سنطلق عليها ﻉ، عندما يساوي الزمن ثانيتين؛ أي، في اللحظة التي ينقطع فيها الخيط. وبالرجوع إلى عجلة الكتلة ﻙ واحد تحت تأثير شد الخيط، نلاحظ أن العجلة تتكون من حدود ثابتة؛ أي، حدود لا تتغير بتغير الزمن. يعني هذا أن العجلة نفسها ثابتة، وهو ما يعني أنه يمكننا الاستفادة من حقيقة أن العجلة تساوي التغير في السرعة المتجهة على التغير في الزمن.

وبما أن نظامنا المكون من الكتلتين بدأ من سكون، فهذا يعني أن سرعة الكتلة ﻙ واحد في الزمن ﻥ الذي يساوي ثانيتين تساوي دلتا ﻉ، وأن دلتا ﻥ يساوي ثانيتين. هذا معناه أنه يمكننا أخذ المقدار ﻉ عندما يساوي ﻥ ثانيتين، وقسمته على ﻥ، ثم التعويض به عن ﺟ في المعادلة. ثم بعد ذلك نضرب طرفي المعادلة في الزمن ﻥ، نحصل على هذا المقدار لسرعة ﻙ واحد في لحظة انقطاع الخيط. في هذه اللحظة، ستتغير معطيات الموقف تمامًا. فلم تعد هناك قوة شد تؤثر على ﻙ واحد.

في الواقع، يمكننا أن نسمي سرعة ﻙ واحد في هذه اللحظة عند الزمن ﻉ صفر، وهي سرعة ﻙ واحد في لحظة انقطاع الخيط. وبناء على هذه المعطيات الجديدة، عندما لم يعد الخيط يربط الكتلتين، يمكننا إعادة رسم الشكل بحيث يعكس هذه المعلومة الجديدة. لم يعد للكتلة الثانية وجود في الصورة لأن الكتلتين غير متصلتين. وبالمثل، لم تعد هناك قوة الشد ﺵ لأن الخيط انقطع. وهذا يعني، من منظور القوى، أن القوة الوحيدة المؤثرة الآن على ﻙ واحد في الاتجاه ﺱ هي مركبة قوة الوزن إلى أسفل المستوى.

تذكر أن مركبة قوة الوزن هذه هي ‏ﻙ واحد في ﺩ في جيب الزاوية 𝛼. وبما أنه لم تعد هناك قوة شد تؤثر على ﻙ واحد، فيمكننا إعادة تطبيق قانون نيوتن الثاني على ﻙ واحد للقوى في الاتجاه ﺱ. ويمكننا الآن كتابة أن سالب ﻙ واحد في ﺩ في جيب الزاوية 𝛼 يساوي كتلة النظام، الآن ﻙ واحد فقط، في عجلته، التي أطلقنا عليها ﺟ واحد للتعبير عن أن هذه هي العجلة بعد انقطاع الخيط.

‏ﻙ واحد مشتركة في كلا الطرفين، ومن ثم، تلغي إحداها الأخرى. إذن، نلاحظ أن عجلة الكتلة الأولى بعد انقطاع الخيط تساوي سالب ﺩ في جيب الزاوية 𝛼. الآن، الحدان الموجودان في هذا الطرف من المعادلة ثابتان. إن ﺩ لا تتغير، وكذلك الزاوية 𝛼، وهو ما يعني أن هذه العجلة ثابتة أيضًا. هذا معناه أنه يمكننا استخدام مجموعة من المعادلات تسمى معادلات الحركة، التي نستعين بها عندما تكون العجلة ثابتة.

في إحدى هذه المعادلات الأربعة، مربع السرعة المتجهة النهائية لجسم ما يساوي مربع سرعته المتجهة الابتدائية زائد اثنين في عجلته في إزاحته. عندما نطبق هذه العلاقة على الموقف الحالي، لأننا نريد إيجاد أقصى مسافة تتحركها ﻙ واحد إلى أعلى المستوى، ستكون السرعة النهائية صفرًا. إن ﻉ صفر، السرعة الابتدائية، أي السرعة في لحظة انقطاع الخيط، هي ما أوجدناه بدلالة المتغيرات. والعجلة ﺟ هي ﺟ واحد، أي العجلة بعد انقطاع الخيط. والمسافة ﻑ هي ما نريد إيجاده.

فعندما نعيد ترتيب هذه المعادلة جبريًّا لإيجاد ﻑ، سنجد أنها تساوي سالب ﻉ صفر تربيع على اثنين ﺟ واحد. وإذا عوضنا عن ﻉ صفر وﺟ واحد، فيمكننا أن نلاحظ في هذا المقدار أن عاملي عجلة الجاذبية ﺩ يلغيان أحدهما الآخر في البسط والمقام وكذلك الحال مع علامتي السالب في بداية كل من البسط والمقام. الآن وقد كتبنا المعادلة الخاصة بـ ﻑ، يمكننا الإعداد للتعويض عن كل من القيم الموجودة في هذا المقدار.

بملاحظة هذه الحدود واحدًا تلو الآخر، ندرك أن العجلة الناتجة عن الجاذبية ﺩ معطاة لنا في رأس المسألة، وأن هذا ينطبق على قيمة الزمن ﻥ. كذلك ندرك أن ﻙ اثنين وﻙ واحد معطاتان لنا بالكيلوجرامات، وهو ما يعني أنه لم يعد مجهولًا سوى جيب الزاوية 𝛼 فقط. إذن، نحن لا نعرف جيب الزاوية 𝛼، ولكننا نعلم أن ظل هذه الزاوية يساوي أربعة على ثلاثة. فإذا رسمنا مثلثًا قائم الزاوية، ووضعنا الرمزين ﺱ وﺹ للساقين، إذا كانت 𝜃 هي الزاوية في الجانب الأيمن السفلي؛ فإن هذا معناه أن ظل تلك الزاوية 𝜃 يساوي ﺹ على ﺱ.

الآن في المثلث ذي الزاوية 𝛼، نعلم أن ظل تلك الزاوية يساوي أربعة على ثلاثة. وبما أن هذا المثلث قائم الزاوية، فيمكننا القول بأن الوتر سيكون طوله خمسة فهو مثلث أطوال أضلاعه ثلاثة وأربعة وخمسة. يعني هذا أنه يمكننا الآن معرفة جيب الزاوية 𝛼. فهو يساوي ﺹ على الوتر أو أربعة على خمسة. بذلك، نكون جاهزين للتعويض وإيجاد قيمة ﻑ. فبالتعويض عن ﺩ وﻥ وﻙ اثنين وﻙ واحد وجيب الزاوية 𝛼، نكون على استعداد لإدخال جميع هذه الحدود على الآلة الحاسبة.

عندما نفعل ذلك، نجد أن ﻑ تساوي ٨٫٣٤ مترًا. وهذه هي المسافة التي تتحركها ﻙ واحد إلى أعلى المستوى بعد انقطاع الخيط وقبل توقفها.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.