فيديو الدرس: المسافات ونقاط المنتصف على المستوى المركب الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعرف على المسافات ونقاط المنتصف على المستوى المركب. وسنتناول، في أثناء ذلك، بعض الأمثلة البسيطة التي توضح كيف يمكن أن تساعد الأعداد المركبة في حل المسائل الهندسية. لننتقل مباشرة إلى مثال.

ما المسافة بين العددين سالب اثنين وستة على المستوى المركب؟

نلاحظ أن لدينا بالفعل مستوى مركبًا أو مخطط أرجاند مرسومًا أمامنا، مع تحديد العددين سالب اثنين وستة عليه. وسؤالنا هو ما المسافة بين هذين العددين على المستوى المركب؟ سالب اثنين وستة ليسا مجرد أي عددين مركبين. إنما هما أيضًا عددان حقيقيان. وبالتالي، فإنهما يقعان على محور الأعداد الحقيقية في المستوى المركب، الذي يمكن أن نتعامل معه باعتباره خط الأعداد الحقيقية المعتاد.

تقاس المسافة على طول خط الأعداد الحقيقية هذا. ونلاحظ أنه للانتقال من سالب اثنين إلى ستة، يجب الانتقال بمقدار وحدتين للوصول إلى الصفر ثم بمقدار ست وحدات أخرى للوصول إلى ستة، فينتج عن ذلك ثماني وحدات إجمالًا. هذه هي المسافة بين العددين سالب اثنين وستة على المستوى المركب. وهي المسافة نفسها بالضبط بين العددين الحقيقيين سالب اثنين وستة على خط الأعداد الحقيقية.

لنتناول الآن مثالًا يتضمن أعدادًا تخيلية.

ما المسافة بين العددين سالب ثلاثة ﺕ وسبعة ﺕ في المستوى المركب؟

لنرسم مخطط أرجاند لمساعدتنا، ونحدد النقطتين سالب ثلاثة ﺕ وسبعة ﺕ عليه. كلا العددين من الأعداد التخيلية البحتة؛ ولذلك فإنهما يقعان على محور الأعداد التخيلية في المستوى المركب. وبالتالي، تقاس المسافة بينهما على طول هذا المحور. للانتقال من سالب ثلاثة ﺕ إلى الصفر، عليك الانتقال بمقدار ثلاث وحدات لأعلى. وللوصول من الصفر إلى سبعة ﺕ، عليك الانتقال بمقدار سبع وحدات أخرى. إذن، المسافة الإجمالية هي ثلاثة زائد سبعة، أي ما يساوي ١٠.

لنلق الآن نظرة على مثال لا يقع فيه العددان على المحور نفسه.

أوجد المسافة بين العددين المركبين ﻉ واحد وﻉ اثنين الموضحين في المستوى المركب. وضح إجابتك في صورة مبسطة دقيقة.

لنحدد، أولًا، العددين ﻉ واحد وﻉ اثنين. الجزء الحقيقي من ﻉ واحد هو سالب اثنين. والجزء التخيلي هو سبعة. هذا إذن العدد المركب سالب اثنين زائد سبعة ﺕ، وهو ممثل بالنقطة سالب اثنين، سبعة. نفعل الشيء نفسه مع ﻉ اثنين. وهو يساوي ستة ناقص ثلاثة ﺕ، وتمثله النقطة ستة، سالب ثلاثة. ما نبحث عنه هو المسافة بين هذين العددين على المستوى المركب. تذكر أن المسافة بين النقطتين ﺱ واحد، ﺹ واحد وﺱ اثنين، ﺹ اثنين على المستوى الإحداثي هي الجذر التربيعي لـ ﺱ واحد ناقص ﺱ اثنين الكل تربيع زائد ﺹ واحد ناقص ﺹ اثنين الكل تربيع. يمكننا التعويض بإحداثيات النقطتين اللتين تناظران العددين المركبين في هذه الصيغة لإيجاد المسافة.

نبحث عن المسافة بين النقطتين سالب اثنين، سبعة؛ وستة، سالب ثلاثة. إذن، ﺱ واحد يساوي سالب اثنين. وﺹ واحد يساوي سبعة. وﺱ اثنين يساوي ستة. وﺹ اثنين يساوي سالب ثلاثة. بالتعويض، نحصل على الجذر التربيعي لسالب اثنين ناقص ستة الكل تربيع زائد سبعة ناقص سالب ثلاثة الكل تربيع. سالب اثنين ناقص ستة يساوي سالب ثمانية. وسبعة ناقص سالب ثلاثة يساوي ١٠. سالب ثمانية تربيع يساوي ثمانية تربيع. إذن، المسافة هي الجذر التربيعي لثمانية تربيع زائد ١٠ تربيع، وهو ما يساوي الجذر التربيعي لـ ٦٤ زائد ١٠٠، أي الجذر التربيعي لـ ١٦٤. ‏و١٦٤ يساوي اثنين تربيع في ٤١. وفي صورة جذر أصم مبسط، يساوي ذلك اثنين جذر ٤١.

لا يجب بالضرورة استخدام صيغة المسافة. فيمكننا استخدام نظرية فيثاغورس أيضًا، وذلك من خلال رسم مثلث قائم الزاوية على المخطط، وعد المربعات لنجد أن لدينا ضلعين طولهما ثمانية و١٠. هاتان هما قيمتا الفرق بين الأجزاء الحقيقية والتخيلية للعددين المركبين، على الترتيب. وتنص نظرية فيثاغورس على أن طول الوتر، الذي يمثل المسافة بين العددين المركبين، هو الجذر التربيعي لثمانية تربيع زائد ١٠ تربيع، وهو بالضبط ما حصلنا عليه في هذه الخطوة من الحل هنا. ونظرية فيثاغورس هي التي تثبت صيغة المسافة بين النقاط على شبكة الإحداثيات.

في سياق المستوى المركب، تمثل هذه النقاط أعدادًا مركبة. ومن ثم، يمكننا إعادة كتابة هذه الصيغة ونحن نضع ذلك في اعتبارنا. المسافة بين العددين المركبين، ﻉ واحد يساوي ﺱ واحد زائد ﺹ واحد ﺕ وﻉ اثنين يساوي ﺱ اثنين زائد ﺹ اثنين ﺕ، تساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ واحد ناقص ﺱ اثنين الكل تربيع زائد ﺹ واحد ناقص ﺹ اثنين الكل تربيع. الفرق الوحيد هنا هو أننا نتحدث عن العددين المركبين ﺱ واحد زائد ﺹ واحد ﺕ وﺱ اثنين زائد ﺹ اثنين ﺕ، بدلًا من النقطتين ﺱ واحد، ﺹ واحد وﺱ اثنين، ﺹ اثنين. هذا ما نحصل عليه عندما نعتبر الأعداد المركبة نقاطًا ممثلة على المستوى المركب. لكن يمكننا كذلك اعتبار الأعداد المركبة متجهات. لنر ما ستقودنا إليه هذه الطريقة.

فلنعتبر العددين المركبين ﻉ واحد، الذي يساوي سالب اثنين زائد سبعة ﺕ، وﻉ اثنين، الذي يساوي ستة ناقص ثلاثة ﺕ، متجهين. وبدلًا من التفكير في المسافة بين ﻉ واحد وﻉ اثنين، سنفترض وجود هذا المتجه هنا، الذي سأسميه ﺭ. للانتقال من طرف بداية ﺭ أو نقطة البداية إلى طرف نهايته أو نقطة النهاية، يمكننا الانتقال من سالب ﻉ اثنين إلى نقطة الأصل. ثم ننتقل من ﻉ واحد إلى حيثما نريد. إذن، ﺭ يساوي سالب ﻉ اثنين زائد ﻉ واحد أو ﻉ واحد ناقص ﻉ اثنين.

وبالطبع، باعتباره متجهًا على المستوى المركب، فهو يمثل أيضًا عددًا مركبًا، وهو العدد المركب ﻉ واحد ناقص ﻉ اثنين. والمسافة بين العددين المركبين تساوي مقدار المتجه ﺭ، وهو مقياس العدد المركب ﺭ. وبالطبع، ﺭ بوصفه عددًا مركبًا يساوي ﻉ واحد ناقص ﻉ اثنين. ثمة طريقة أخرى إذن للتفكير في المسافة بين العددين المركبين ﻉ واحد وﻉ اثنين. فهذه المسافة هي مقياس الفرق بينهما.

لننه حل المسألة باستخدام هذه الطريقة. نعلم أن ﻉ واحد يساوي سالب اثنين زائد سبعة ﺕ. وﻉ اثنين يساوي ستة ناقص ثلاثة ﺕ. بطرح الأجزاء الحقيقية والتخيلية، نحصل على مقياس سالب ثمانية زائد ١٠ﺕ. وباستخدام صيغة المقياس، نحصل على الجذر التربيعي لسالب ثمانية تربيع زائد ١٠ تربيع، وهو ما يصبح بعد التبسيط اثنين جذر ٤١.

الأمر يستحق تدوين استنتاجاتنا مرة أخرى. يمكنك إيقاف الفيديو مؤقتًا وإلقاء نظرة عليها إذا أردت. يمكننا هنا ملاحظة كيف يمثل المقياس للأعداد المركبة ما تمثله دالة القيمة المطلقة للأعداد الحقيقية. فالمسافة بين عددين حقيقيين هي القيمة المطلقة للفرق بينهما. والمسافة بين عددين مركبين هي مقياس الفرق بينهما.

فلنحل مسألة أخرى.

العدد المركب ﻭ يقع على مسافة خمسة جذر اثنين من ﻉ واحد يساوي ثلاثة زائد خمسة ﺕ، وعلى مسافة أربعة جذر خمسة من ﻉ اثنين يساوي سالب ستة ناقص اثنين ﺕ. هل المثلث الذي تكونه النقاط ﻭ وﻉ واحد وﻉ اثنين مثلث قائم الزاوية؟

‏ﻉ واحد يساوي ثلاثة زائد خمسة ﺕ. وﻉ اثنين يساوي سالب ستة ناقص اثنين ﺕ، وهو ما يمكننا تحديده بدقة على مخطط أرجاند أو المستوى المركب. لكن من الصعب تخمين أين يجب أن يكون العدد المركب ﻭ. كل ما نعرفه هو أنه يقع على مسافة قدرها خمسة جذر اثنين من ﻉ واحد، وأربعة جذر خمسة من ﻉ اثنين. والمطلوب هو معرفة إذا ما كان المثلث الذي له هذه الرءوس قائم الزاوية أم لا. وكما نعلم، يمكننا معرفة طولي ضلعين باستخدام نظرية فيثاغورس.

وإذا كان مربع طول أطول ضلع يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين، يكون ذلك مثلثًا قائم الزاوية. لكننا بحاجة، أولًا، إلى إيجاد طول أطول ضلع، الذي سنسميه ﻑ. ويمثل ﻑ المسافة بين العددين المركبين ﻉ واحد وﻉ اثنين. وبالتالي، فهو مقياس ﻉ واحد ناقص ﻉ اثنين. نعوض بالقيمتين المعلومتين لـ ﻉ واحد وﻉ اثنين، ونطرح العددين المركبين لنحصل على تسعة زائد سبعة ﺕ. ومقياس ذلك هو الجذر التربيعي لتسعة تربيع زائد سبعة تربيع، وهو ما يساوي الجذر التربيعي لـ ١٣٠.

الآن، يمكننا تطبيق عكس نظرية فيثاغورس. نحتاج إلى تحديد أطول ضلع. تذكر، المخطط قد لا يكون دقيقًا. يمكننا إلغاء تبسيط طولي الضلعين الآخرين للحصول على جذر ٥٠ وجذر ٨٠، على الترتيب. طول الضلع الأطول هو فعلًا ﻑ. ونحتاج فقط إلى التأكد من أن ﻑ تربيع يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين. ‏ﻑ يساوي جذر ١٣٠، وبالتالي ﻑ تربيع يساوي ١٣٠. وخمسة جذر اثنين الكل تربيع يساوي خمسة تربيع، وهو ما يساوي ٢٥ في اثنين. وبالمثل، أربعة جذر خمسة الكل تربيع يساوي أربعة تربيع، وهو ما يساوي ١٦ في خمسة. فيكون لدينا بذلك ١٣٠ يساوي ٥٠ زائد ٨٠. هذا صحيح. ومن ثم، فإن المثلث مثلث قائم الزاوية، تقع زاويته القائمة عند ﻭ.

أوجد نقطة منتصف ثلاثة زائد خمسة ﺕ وسبعة ناقص ١٣ﺕ.

نفكر في هذين العددين المركبين بتمثيلهما على مخطط أرجاند أو المستوى المركب. يمكننا تحديد هذين العددين على مخطط أرجاند وتوصيلهما بقطعة مستقيمة. ونبحث عن نقطة منتصف هذه القطعة المستقيمة. وهي النقطة التي تقع على القطعة المستقيمة وتقسمها إلى نصفين متساويين. يمكننا هنا استخدام حقيقة أن الأعداد المركبة على مخطط أرجاند تعامل مثل النقاط. ويمكننا التذكر من الهندسة الإحداثية أن نقطة منتصف النقطتين ﺱ واحد، ﺹ واحد؛ وﺱ اثنين، ﺹ اثنين؛ هي النقطة ﺱ واحد زائد ﺱ اثنين على اثنين، ﺹ واحد زائد ﺹ اثنين على اثنين، وبالتالي نجد أن نقطة المنتصف يجب أن يكون لها الإحداثيان ثلاثة زائد سبعة على اثنين، وخمسة ناقص ١٣ على اثنين. وهو ما يناظر العدد المركب ثلاثة زائد سبعة على اثنين زائد خمسة ناقص ١٣ على اثنين ﺕ. علينا الآن فقط تبسيط هذا العدد. ثلاثة زائد سبعة يساوي ١٠. وخمسة ناقص ١٣ يساوي سالب ثمانية. نلاحظ إذن أن نقطة المنتصف تمثل العدد المركب خمسة ناقص أربعة ﺕ.

يمكننا أخذ هذه الحقيقة التي عرفناها من الهندسة الإحداثية وكتابتها بصيغة الأعداد المركبة. فتصبح النقطة ﺱ واحد، ﺹ واحد؛ العدد المركب ﻉ واحد يساوي ﺱ واحد زائد ﺹ واحد ﺕ. والنقطة ﺱ اثنين، ﺹ اثنين تصبح العدد المركب ﻉ اثنين يساوي ﺱ اثنين زائد ﺹ اثنين ﺕ. ونقطة المنتصف تصبح ﺱ واحد زائد ﺱ اثنين على اثنين زائد ﺹ واحد زائد ﺹ اثنين على اثنين ﺕ. لم يبد هذا مثيرًا للاهتمام؟ يتضح لنا أنه يمكننا إعادة ترتيب ذلك بشكل ما. فمن خلال تجميع الكسور وإعادة ترتيب حدين في البسط، يصبح لدينا ﻉ واحد زائد ﻉ اثنين على اثنين. نقطة منتصف عددين مركبين على مخطط أرجاند هي الوسط الحسابي لهما. هذا يعمم حقيقة أن نقطة منتصف أي عددين حقيقيين على خط الأعداد الحقيقية يمثلها الوسط الحسابي لهما.

واستخدام صيغة الأعداد المركبة يجعل ما ذكرناه عن نقاط المنتصف أكثر وضوحًا. ليس بالضرورة أن نقول إن نقطة المنتصف هي النقطة التي إحداثياها هما الوسطان الحسابيان لإحداثيات النقطتين. وإنما يكفي أن نقول إن نقطة المنتصف هي الوسط الحسابي للنقطتين.

دعونا نر تطبيقًا سريعًا.

افترض أن ﻉ واحد وﻡ وﻉ اثنين أعداد مركبة، حيث ﻡ يقع عند نقطة منتصف القطعة المستقيمة التي تصل بين ﻉ واحد وﻉ اثنين. إذا كان ﻉ اثنين يساوي أربعة زائد خمسة ﺕ وﻡ يساوي سالب ١٢ زائد ٢٠ﺕ، فأوجد قيمة ﻉ واحد.

يمكننا رسم مخطط أرجاند وحل ذلك هندسيًّا. لكن ثمة طريقة أخرى. فنحن نعلم أن نقطة المنتصف ﻡ هي الوسط الحسابي للعددين المركبين ﻉ واحد وﻉ اثنين. ويمكننا إعادة ترتيب هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﻉ واحد بدلالة ﻡ وﻉ اثنين. نضرب الطرفين في اثنين، ونطرح ﻉ اثنين من كلا الطرفين، ثم نبدل الطرفين لنجد أن ﻉ واحد يساوي اثنين ﻡ ناقص ﻉ اثنين. ونحن نعلم قيمتي ﻡ وﻉ اثنين. فنعوض بهما. ونوزع العدد اثنين وإشارة السالب، ثم نبسط، لنجد أن ﻉ واحد يساوي سالب ٢٨ زائد ٣٥ﺕ.

قبل أن نتناول مثالنا الأخير، لنفكر في تعميم لنقطة المنتصف.

نقطة المنتصف للعددين المركبين ﻉ واحد وﻉ اثنين تقسم القطعة المستقيمة التي تصل بينهما إلى جزأين متساويين. لكن ماذا لو لم نكن نريد أن يكون هذان الجزآن متساويين؟ ماذا لو، بدلًا من ذلك، أردنا تقسيم القطعة المستقيمة بنسبة واحد إلى اثنين؟ كيف يمكننا إيجاد العدد المركب ﻭ الذي يناظر النقطة التي تقسم القطعة المستقيمة بهذه النسبة؟ تكمن الحيلة هنا في استخدام المتجهات. نفكر في ﻉ واحد وﻉ اثنين بوصفهما متجهي موضع. وننظر أيضًا إلى القطعة المستقيمة التي تصل بين ﻉ واحد وﻉ اثنين باعتبارها متجهًا. ما هذا المتجه؟ يمكننا الانتقال من طرف بدايته إلى طرف نهايته بالتحرك عكس اتجاه ﻉ واحد ثم التحرك بطول المتجه ﻉ اثنين. هذا بالتالي المتجه سالب ﻉ واحد زائد ﻉ اثنين، ويكافئ ﻉ اثنين ناقص ﻉ واحد.

نريد إيجاد متجه الموضع للنقطة ﻭ. نلاحظ أنه يمكننا الوصول إلى ﻭ من خلال التحرك بطول المتجه ﻉ واحد ثم التحرك جزءًا من المسافة بطول المتجه ﻉ اثنين ناقص ﻉ واحد. هذا المتجه الذي نضيفه إلى ﻉ واحد هو أحد مضاعفات المتجه الأخضر الطويل ﻉ اثنين ناقص ﻉ واحد. لكن ما قيمة هذا المضاعف؟ يمكننا إعادة كتابة النسبة على صورة ثلث إلى ثلثين. وبالتالي يكون لدينا، إجمالًا، واحد. تسهل الآن ملاحظة أننا نحتاج إلى إضافة ثلث ﻉ اثنين ناقص ﻉ واحد إلى ﻉ واحد. ويمكننا توزيع الثلث للحصول على ثلثين ﻉ واحد زائد ثلث ﻉ اثنين.

ويمكننا تقسيم القطعة المستقيمة بأي نسبة أخرى نريدها، مثل النسبة الافتراضية ﺃ إلى ﺏ. يمكن إعادة كتابة هذه النسبة بحيث يكون مجموع الأعداد واحدًا. وبالتالي، إذا كان ﺃ على ﺃ زائد ﺏ يساوي ﻙ، فإن ﺏ على ﺃ زائد ﺏ يساوي واحدًا ناقص ﻙ. وبهذه الطريقة، نجد أن ﻭ يساوي ﻉ واحدًا زائد ﻙ في ﻉ اثنين ناقص ﻉ واحد، أو واحدًا ناقص ﻙ في ﻉ واحد زائد ﻙ في ﻉ اثنين. بكتابة ﻙ يساوي نصفًا، نحصل على نقطة المنتصف. وبالتالي، نلاحظ أن لدينا تعميمًا لنقطة المنتصف. يمكنك أيضًا التعرف على المعادلة من صورة المعادلة المتجهة للخط المستقيم إذا كنت قد درستها. في ذلك السياق، تكون قيمة ﻙ غير محصورة بين الصفر والواحد، وإنما يمكن أن تأخذ أي قيمة حقيقية. فلنستخدم الآن هذا التعميم لنقاط المنتصف لحل مسألة هندسية.

مثلث تقع رءوسه عند النقاط ﺃ، وﺏ، وﺟ في المستوى المركب. أوجد مقدارًا يعبر عن المركز المتوسط للمثلث بدلالة ﺃ، وﺏ، وﺟ. يمكنك استخدام حقيقة أن المركز المتوسط يقسم المتوسط بنسبة اثنين إلى واحد.

فلنرسم مثلثًا افتراضيًّا في المستوى المركب رءوسه ﺃ، وﺏ، وﺟ. نحاول إيجاد المركز المتوسط لهذا المثلث. ونستخدم حقيقة أن هذا المركز المتوسط يقسم أي متوسط للمثلث بنسبة اثنين إلى واحد. فما هو متوسط المثلث؟ إنه القطعة المستقيمة التي تصل بين أحد رءوس المثلث ونقطة منتصف الضلع المقابل لذلك الرأس. إذا أخذنا الرأس ﺃ، فعلينا إذن إيجاد نقطة منتصف الضلع المقابل. أعتقد أنها هنا. وبتوصيل النقطتين، نحصل على متوسط. لإيجاد المركز المتوسط، نستخدم حقيقة أن المركز المتوسط يقسم أي متوسط بنسبة اثنين إلى واحد. وبالتالي، يقع المركز المتوسط هنا تقريبًا. وهو يبعد عن الرأس بضعف المسافة التي يبعدها عن نقطة منتصف الضلع المقابل.

الآن، نريد إيجاد مقدار يعبر عن هذا المركز المتوسط بدلالة ﺃ، وﺏ، وﺟ. كيف سنفعل ذلك؟ نعلم أن نقطة منتصف العددين المركبين ﺏ وﺟ هي الوسط الحسابي لهما، أي ﺏ زائد ﺟ على اثنين. فلنسم ذلك ﻡ للتبسيط. يقسم المركز المتوسط القطعة المستقيمة من ﺃ إلى ﻡ بنسبة ثلثين إلى ثلث. يمكننا إذن إيجاده بالانتقال إلى ﻡ ثم التحرك بمقدار ثلث المسافة من ﻡ إلى ﺃ. وباستخدام ما نعرفه عن ﻡ، يمكننا كتابة المركز المتوسط بدلالة ﺃ، وﺏ، وﺟ. والآن، نحتاج فقط إلى التبسيط.

نضرب بسط الكسر الثاني ومقامه في اثنين لنحصل على كسر مقامه ستة. ونكتب الكسر الأول بحيث يكون مقامه ستة أيضًا. يمكننا بعد ذلك تجميع الكسرين. ومن خلال ذلك، نجمع بعض الحدود المتشابهة في البسط. وأخيرًا، نحذف العامل المشترك، وهو العدد اثنان، من البسط والمقام، ونعيد ترتيب بعض الحدود في البسط لنتوصل إلى أن المركز المتوسط يساوي ﺃ زائد ﺏ زائد ﺟ على ثلاثة. باستخدام الأعداد المركبة وبعض الطرق البسيطة، نحصل على هذا الحل البارع.

لنلخص ما تعلمناه، المسافة ﻑ بين العددين المركبين، ﻉ واحد يساوي ﺱ واحد زائد ﺹ واحد ﺕ وﻉ اثنين يساوي ﺱ اثنين زائد ﺹ اثنين ﺕ، يمكن التعبير عنها بدلالة مقياس عدد مركب، حيث تساوي ﻑ مقياس ﻉ واحد ناقص ﻉ اثنين، وهو ما يكافئ الجذر التربيعي لـ ﺱ واحد ناقص ﺱ اثنين الكل تربيع زائد ﺹ واحد ناقص ﺹ اثنين الكل تربيع. نقطة المنتصف ﻡ لعددين مركبين ﻉ واحد وﻉ اثنين تقع عند الوسط الحسابي لهما، حيث ﻡ تساوي ﻉ واحد زائد ﻉ اثنين على اثنين. ويمكننا تعميم ذلك لإيجاد النقطة ﻭ التي تكون قيمتها كسرًا بين الصفر والواحد وتقع على طول القطعة المستقيمة التي تصل بين ﻉ واحد وﻉ اثنين. ونحصل عليها باستخدام ﻭ تساوي واحدًا ناقص ﻙ في ﻉ واحد زائد ﻙ في ﻉ اثنين. وإذا كانت قيمة ﻙ أكبر من واحد، فإن النقطة ﻭ ستقع على الخط المار بـ ﻉ اثنين. وإذا كانت قيمة ﻙ أقل من صفر، فستقع النقطة ﻭ على الخط المار بـ ﻉ واحد. هذه كانت النقاط الرئيسية التي تطرقنا إليها في هذا الفيديو لحل المسائل الهندسية باستخدام الأعداد المركبة بطريقة بسيطة وبارعة.