نسخة الفيديو النصية
أوجد تكامل ثلاثة جا سبعة ﺱ زائد أربعة جتا سبعة ﺱ ﺩﺱ .
حسنًا، أول ما يمكننا فعله هو تقسيم التعبير. وذلك لأننا إذا أردنا إيجاد تكامله، فسنلاحظ أنه يمكننا إيجاد تكامل كل حد على حدة. إذن، لدينا تكامل ثلاثة جا سبعة ﺱ ﺩﺱ زائد تكامل أربعة جتا سبعة ﺱ ﺩﺱ . بعد ذلك، يمكننا إخراج الحدود الثابتة لتسهيل التكامل. ومن ثم، يتبقى لدينا ثلاثة مضروبًا في تكامل جا سبعة ﺱ ﺩﺱ زائد أربعة مضروبًا في تكامل جتا سبعة ﺱ ﺩﺱ . ويمكننا أن نفعل ذلك لأنه لن يؤثر على التكامل نفسه. إذن سنتعامل مع الحد الأيمن أولًا. وهذا يعني أننا سنحسب تكامل جا سبعة ﺱ . وعند حساب تكامل جا سبعة ﺱ، نحصل على: سالب واحد على سبعة جتا سبعة ﺱ. لدينا زائد ﺙ. وهذا هو ثابت التكامل. لكننا سنضيفه في النهاية.
السبب في الحصول على ذلك التعبير هو أننا نعرف أن تكامل جا ﺃﺱ ﺩﺱ يساوي سالب واحد على ﺃ جتا ﺃﺱ زائد ﺙ. ﺃ هنا يساوي سبعة. أصبح السؤال هو: كيف نحصل على هذه النتيجة العامة؟ يمكننا توضيح ذلك باستخدام التعويض. حسنًا، باستخدام التعويض، يمكننا القول إن ﻉ يساوي سبعة ﺱ . إذن، يمكننا إجراء الاشتقاق لإيجاد ﺩﻉ على ﺩﺱ . وعندما نفعل ذلك، نجد أن ﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي سبعة. وذلك لأننا إذا اشتققنا سبعة ﺱ ، فسنحصل على سبعة عند إجراء الاشتقاق بالنسبة إلى ﺱ . بعد ذلك، يمكننا القول إن ﺩﺱ يساوي واحدًا على سبعة ﺩﻉ. ويمكننا الحصول على ذلك من خلال التعامل مع ﺩﻉ على ﺩﺱ باعتباره كسرًا. لكنه بالتأكيد ليس كسرًا. ومع ذلك، يمكننا استخدامه بهذه الطريقة في هذه العملية فقط.
يصبح لدينا سبع مضروبًا في تكامل جاﻉ ﺩﻉ؛ لأننا أخرجنا الثابت خارج علامة التكامل. ويمكننا إيجاد تكامل جاﻉ؛ لأن تكامل جاﺱ هو أحد التكاملات القياسية. إذن، تكامل جاﺱ يساوي سالب جتا ﺱ زائد ﺙ. ومن ثم، هذا التكامل يساوي سالب واحد على سبعة جتا ﻉ. وكما ذكرنا من قبل، سنضيف ثابت التكامل في النهاية. وأخيرًا، نعوض مرة أخرى. فنحصل على: سالب واحد على سبعة جتا سبعة ﺱ ، وهو ما حصلنا عليه باستخدام الصيغة العامة للتكامل التي نعرفها. هذا رائع. لقد أوضحنا الآن الطريقة التي حصلنا بها على الإجابة باستخدام التعويض. والآن يمكننا الانتقال إلى الجزء التالي.
إذا حسبنا الآن تكامل الحد الأيسر، فسنحصل على أربعة مضروبًا في ذلك التكامل. وإذا حسبنا بعد ذلك تكامل جتا سبعة ﺱ ، فسنحصل على: واحد على سبعة جا سبعة ﺱ . ويمكننا الحصول على ذلك باستخدام الطريقة نفسها التي استخدمناها مع الحد الأيمن. لكن هذه المرة، التكامل القياسي الذي نستخدمه هو تكامل جتا ﺱ ، وهو ما يساوي جاﺱ زائد ﺙ. مرة أخرى، كان بإمكاننا أن نوضح ذلك باستخدام التعويض الذي أجريناه في الحد الأيمن؛ حيث استخدمنا جتا ﻉ بدلًا من جاﻉ ثم تابعنا العملية. وبهذه الطريقة، نتوصل إلى نتيجة الحد الأيسر؛ وهي: واحد على سبعة جا سبعة ﺱ . عند تجميع ذلك معًا، نحصل على: سالب ثلاثة على سبعة جتا سبعة ﺱ زائد أربعة على سبعة جا سبعة ﺱ زائد ﺙ. وقد حصلنا على هذه النتيجة؛ لأنه إذا ضربنا ثلاثة في سالب واحد على سبعة، فسنحصل على سالب ثلاثة على سبعة. وإذا ضربنا أربعة في واحد على سبعة، فسنحصل على أربعة على سبعة.
وبذلك نحصل على الإجابة النهائية التي نعيد ترتيبها ليكون الحد الموجب على اليمين، فيصبح لدينا: أربعة على سبعة جا سبعة ﺱ ناقص ثلاثة على سبعة جتا سبعة ﺱ زائد ﺙ.
